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MAT-3900

Evolution des idees en mathematiques

Les medietes

Les Grecs de l'Antiquite se sont interesses a plusieurs sortes de moyennes. Cette notion est tres naturelle : etant donne deux nombres, il s'agit d'en introduire un troisieme qui vienne en quelque sorte synthetiserles deux premiers. Les moyennes se retrouvent des l'epoque de l'Ecole de Pythagore, qui en connaissait trois dierentes :arithmetique, geometriqueetharmonique. La decouverte d'autres moyennes s'est faite progressivement au cours des quelques siecles suivants. Suivant la tradition de divers auteurs, dont Nicomaque de Gerase (env. 60 a 120 de notre ere), il est utile de faire appel a la notion de mediete an d'introduire de maniere uniee les dierentes moyennes. Comme celles-ci sont alors vues en termes de rapports dans lesquels interviennent certaines dierences bien choisies, il en resulte une combinatoire plus riche. On appellemedieteun ensemble de trois nombres distinctsa,betz(on supposera ici a < z < b) tels que deux de leurs dierences sont entre elles dans le m^eme rapport qu'un de ces nombres avec lui-m^eme ou avec l'un des deux autres. L'idee sous-jacente est qu'etant donne une mediete arbitraire, le nombrezpeut alors ^etre vu comme unemoyenne(d'un certain type) deaetb. En raison de la conventiona < z < b, il y a donc ici trois dierences possibles en jeu : za; bz; ba: Un rapport de deux de ces dierences,d1etd2, peut donc a priori prendre neuf formes dierentes (car il y a trois choix possibles pour chacun des deux termes d'un tel rapport). De plus, la derniere clause de la denition d'une mediete stipule qu'on considere un autre rapport dans lequel interviennent deux termesxetychoisis parmifa;z;bg, ce qui donne la encore neuf choix possibles. Il y aurait donc en tout 81 medietes de la forme d 1d 2=xy En pratique, cependant, il s'avere que nombre de ces medietes potentielles sont soit mort-nees | car elles ne respectent pas la contraintea < z < bou encore menent a une indetermination |, soit de simples doublons d'autres medietes. Ainsi l'egalite de rapportszaba=za est impossible, car par hypothese on a d'une partz < b(et doncza < ba), et z > ad'autre part; l'egalite de rapportszaza=zz se ramene a l'identite 1 = 1, qui est veriee quels que soienta,betz; les deux rapportszabz=az etbzza=za inverses l'un par rapport a l'autre, correspondent de toute evidence a la m^eme mediete (la geometrique); on verie aisement que les deux rapports zabz=zb etbzza=bz reviennent encore a la mediete geometrique. Il subsiste de ces 81 possibilites onze medietes dierentes, qui ont toutes ete etudiees dans la tradition issue de l'Ecole pythagoricienne. Le tableau suivant, tire deA History of Greek Mathematicsde sir Thomas Heath (Volume 1 :From Thales to Euclid, p. 85), donne ces onze medietes ainsi que des expressions algebriques qui leur correspondent. L'usage a m^eme accole a certaines d'entre elles une terminologie propre (l'expression sous-contraire, empruntee a la logique, signalant que le rapport de droite a ete inverse). On notera que les six premieres lignes correspondent aux neuf cas qui sont obtenus a partir du rapport zabz. 2

Medietes

EquivalentsNoms :

algebriquesmediete ...

1:zabz=aa

=bb =zz z=a+b2arithmetique

2:zabz=az

h =zb iz=pabgeometrique

3:zabz=abz=2aba+bharmonique

4:zabz=baz=a2+b2a+b

sous-contrairea l'harmonique

5:zabz=zab=a+za2z

sous-contrairea la geometrique

6:zabz=bza=b+zb2z

sous-contrairea la geometrique

7:bzba=zbb

2= 2bzaz8:zaba=aba

2= 2abbz9:bzba=aba

2+b2=b(a+z)10:zaba=aza

2+z2=a(b+z)11:bzba=azb=z+a3

En pratique les medietes les plus usuelles (et les moyennes qui en resultent) sont les medietesarithmetique,geometriqueetharmonique, reconnues des l'epoque de Pythagore. Dans un traite sur la theorie pythagoricienne de la musique, Archytas de Tarente, philosophe grec du 4 esiecle av. J.-C., en parle ainsi : Il y a trois moyennes dans la musique : la premiere est l'arithmetique, la deuxieme la geometrique, la troisieme la sous-contraire, que l'on appelle harmonique. [Il y a moyenne] arithmetique quand trois termes sont en proportion quant a leur exces de la facon suivante : de ce dont le premier depasse le deuxieme, le deuxieme depasse le troisieme. (...) [Il y a moyenne] geometrique quand les [trois termes] sont tels que le premier est relativement au deuxieme comme le deuxieme rela- tivement au troisieme. (...) [Il y a moyenne] sous-contraire, que nous appelons harmonique, quand ils sont tels que le premier depasse le deuxieme par une m^eme partie de lui-m^eme que la partie du troisieme par laquelle le moyen depasse le troisieme. (Cite dans Bernard Vitrac,Euclide : LesElements, volume II, pp. 499{500) En d'autres termes, considerantt,uetv, avect > u > v, uest la moyenne arithmetique detetvsitu=uv; uest la moyenne geometrique detetvsit:u::u:v(i.e.tu =uv uest la moyenne harmonique detetvsi, ayantt=u+1n t, on a aussiu=v+1n v (avec le m^emen). Etant donneaetb, on retrouve ainsi les trois moyennes usuelles : moyennearithmetique:z=a+b2 moyennegeometrique:z=pab moyenneharmonique:z=2aba+b 4quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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