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Comment calculer la quantité de mouvement totale d'un système?
b) On peut écrire la quantité de mouvement totale du système ??????? comme la somme de la quantité de mouvement de la fusée ???????? et du combustible ??? ???????? soit ??????? = ??? ????? + ??????????? ? Initialement, la vitesse de la fusée et du combustible est nulle ??????? (à t = 0) = ? .
Qu'est-ce que la théorie de la quantité de mouvement ?
La théorie de la quantité de mouvement est, en dynamique des fluides, une formulation mathématique de la physique des hélices fondée sur la variation de quantité de mouvement. Elle a été élaborée au XIXe siècle par William John Macquorn Rankine et Robert Edmund Froude (1889).
Comment définir la quantité de mouvement ?
On définit classiquement la quantité de mouvement de la façon suivante : La quantité de_mouvement d’un système constitué de plusieurs solides est la somme vectorielle des quantités de mouvement des solides qui constituent le système. Si le système est formé par n solides sa quantité de_mouvement est :
Quelle est la direction de la quantité de mouvement de l’enfant avant et après le changement ?
La direction de la quantité de mouvement de l’enfant avant et après le changement est la même que la direction de la vitesse de l’enfant : orientée vers le bas du toboggan. La vitesse est une grandeur vectorielle, ainsi la variation de la vitesse d’un objet lorsque cet objet change de direction est soumise aux règles de l’addition vectorielle.
Cinetique
Torseur cinetique- Torseur dynamique -
Energie cinetique
Papanicola
Lycee Jacques Amyot
7 octobre 2012Sommaire
Torseur cinetique
Denition
Resultante cinetique
Changement de point
Solide indeformable
Torseur dynamique
Denition
Changement de point de
reductionRelation entreet
Solide indeformable
Energie cinetique
Denition
Solide indeformable
cas particuliersCaracteristiques cinetiques d'un
ensemble de solideTorseur cinetique d'un ensemble
de solidesTorseur dynamique d'un
ensemble de solidesEnergie cinetique d'un ensemble de solidesTorseur cinetiqueDenition
CE=R=8
pE=R=Z p2E# VP=RdmA;E=R=Z
p2E# AP^# VP=Rdm9 A(1) Le torseur cinetique est le torseur des quantites de mouvement d'un systeme materiel E dans son mouvement par rapport au referentielR.Torseur cinetique
Denition
CE=R=8
pE=R=Z p2E# VP=RdmA;E=R=Z
p2E# AP^# VP=Rdm9 A I # VP=R: Vitesse du point P du systeme materiel E dans son mouvement par rapport au referentielR; I # pE=R=Z p2E# VP=Rdm: Resultante cinetique de l'ensemble materiel E dans son mouvement par rapport aR; I # A;E=R=Z p2E# AP^# VP=Rdm: Moment cinetique au point A de l'ensemble materiel E dans son mouvement par rapport aR.Torseur cinetique
Resultante cinetique
Soit O un point lie au referentielRetGle centre d'inertie de l'ensemble materielE, par denition du centre d'inertie : mE# OG=R
P2E# OPdm.
En derivant par rapport au temps dansR:
m Eddt # OG R =ddt ZP2E# OPdm
R Compte tenu du principe de conservation de la masse, on peut inverser la derivation par rapport au temps et l'integration sur la masse : m Eddt # OG R =Z P2E ddt # OP R dm: On reconna^t la vitesse du point G et celle du point P par rapport au referentielR: pE=R=Z p2E# VP=Rdm=mE# VG=R(2)Torseur cinetiqueChangement de point
Le champ des moments cinetiques
# A;E=Rest equiprojectif, on peut donc ecrire :B;E=R=# A;E=R+# BA^# pE=R(3)
soit B;E=R=# A;E=R+# BA^mE# VG=R:(4)Torseur cinetiqueCas du solide indeformable
L'hypothese de solide indeformable, permet d'associer les proprietes du champ des vecteurs vitesses d'un solide aux proprietes du torseur cinetique. Ainsi, pour P et A deux points lies au solide : # VP2S=R=# VA2S=R+#S=R^# AP(5)
avec S=R: le vecteur rotation du solide S par rapport au referentielRd'ou le torseur.
CS=R=8
pS=R=Z p2S# VP2S=RdmA;S=R=Z
p2S# AP^# VP2S=Rdm9A(6)Torseur cinetique
Cas du solide indeformable - resultante cinetique
La resultante cinetique devient :
pS=R=Z p2S# VP=Rdm=ms# VG2S=R:(7)Torseur cinetique
Cas du solide indeformable - moment cinetique
Determinons le moment cinetique :
A;S=R=Z
p2S# AP^# VP2S=Rdm=Z p2S# AP^# VA2S=R+#S=R^# AP
dm Z p2S# APdm ^# VA2S=R+Z p2S# AP^#S=R^# AP
dm avec : Z p2S# APdm=ms# AGet Z p2S# AP^#S=R^# AP
dm=IA(S)#
S=RA;E=R=ms# AG^# VA2S=R+I
A(S)#
S=R:(8)Torseur cinetique
Cas du solide indeformable
Resultante cinetique
pS=R=Z p2S# VP=Rdm=ms# VG2S=R:(9)Moment cinetique
A;E=R=ms# AG^# VA2S=R+I
A(S)#
S=R:(10)Torseur cinetique
Cas du solide indeformable - Cas particulier
AGG;E=R=I
G(S)#
S=R A xeA;E=R=I
A(S)#
S=RMvt de translation
A;E=R=ms# AG^# VA2S=RTorseur dynamiqueDenition
Le torseur dynamique est le torseur des quantites d'acceleration d'un systeme materiel E dans son mouvement par rapport aR:DE=R=8
AE=R=Z
p2E# P=RdmA;E=R=Z
p2E# AP^# P=Rdm9 A(11)Torseur dynamique
Denition
I # P=R: acceleration du point P de l'ensemble materiel E dans son mouvement par rapport aR; I # AE=R=Z p2E# P=Rdm: resultante dynamique de l'ensemble materiel E dans son mouvement par rapport aR, on montre aussi que# AE=R=mE# G=R; (12) I # A;E=R=Z p2E# AP^# P=Rdm: moment dynamique en A de l'ensemble materiel E dans son mouvement par rapport aR.Torseur dynamiqueChangement de point de reduction
Le champ des moments dynamiques est un champ de torseur. Pour changer de point de reduction on utilise donc la relation generale des torseurs :# B;E=R=# A;E=R+# BA^mE# G=S:(13)Torseur dynamiqueRelation entreet
A;E=R=Z
p2E# AP^# VP=Rdm, on peut ecrire en derivant ddt # A;E=R R =2 6 4ddt Z p2E#AP^# VP=Rdm3
7 5 R=Z p2E ddt # AP^# VP=R R dm Z p2E ddt # AP R ^# VP=Rdm+Z p2E# AP^ddt # VP=R R dm Z p2E ddt # OP# OA R ^# VP=Rdm+Z p2E# AP^# P=Rdm Z p2E # VP=R# VA=R ^# VP=Rdm+Z p2E# AP^# P=Rdm ddt # A;E=R R =Z p2E#AP^# P=RdmZ
p2E# VA=R^# VP=RdmTorseur dynamiqueRelation entreet
ddt # A;E=R R =Z p2E#AP^# P=RdmZ
p2E# VA=R^# VP=Rdm I Z p2E# AP^# P=Rdm=# A;E=R; I Z p2E#VA=R^# VP=Rdm=# VA=R^Z
p2E#VP=Rdm=mE# VA=R^# VG=R.
D'ou la relation cherchee entre le moment dynamique et le moment cinetique : # A;E=R=ddt # A;E=R R +mE# VA=R^# VG=R(14) A un point geometrique quelconque et G le centre d'inertie de cet ensemble materiel.Torseur dynamique
Relation entreet
Finalement
# A;E=R=ddt # A;E=R R +mE# VA=R^# VG=RCas particuliers
IAG :# G;E=R=ddt
# G;E=R R IA xe de R :# A;E=R=ddt
# A;E=R RDetermination du moment dynamique
Il est en general plus facile de determiner le moment cinetique que le moment dynamique (le champ des vitesses est en general connu) puis de deriver. On choisira de le calculer en un point caracteristique. Pour obtenir le moment dynamique en un autre point on utilise la relation liant les moments d'un torseur.Torseur dynamiqueCas du solide indeformable
Pour un solide, a partir de la relation de composition des vitesses des points du solide :# VP2S=R=# VQ2S=R+#S=R^# QP:
Resultante dynamique :
# AS=R=mS# G2S=R(15)Moment dynamique en A point geometrique :
A;S=R=ddt
# A;S=R R +mS# VA=R^# VG2S=R(16)AttentionCette derniere relation est a manipuler avec precaution, en eet# VA=Rn'est pas toujours facile a evaluer pour un point quelconque,
on se limitera donc a calculer le moment dynamique uniquement en des points avec des proprietes particulieres.Torseur dynamiqueCas du solide indeformable
Cas particuliers
IA est confondu avec G, alors :
G;S=R=ddt
# G;S=R R ; (17) IA est un point xe de R, alors :
A;S=R=ddt
# A;S=R R :(18) Puis on utilisera la relation de changement de point des torseurs.B;S=R=# A;S=R+# BA^mS# G=S:(19)
Energie cinetique
Denitions
Masse ponctuelle
L 'energiecin etique elementaired' unp ointP
aecte de la massedmdans son mouvement par rapport a un repere R est donnee par : dTP=R=12
# VP=R2dm(20)Ensemble materiel
L 'energiecin etiqued 'unen semblem aterielE en
mouvement par rapport a un repere R est alors : TE=R=12
ZP2E# VP=R2dm(21)
L'unite de l'energie cinetique est le Joule.
Energie cinetique
Cas du solide indeformable
Soit un solide S de masse m, de centre d'inertie G, en mouvement par rapport a un repereR, A un point lie au solide. On peut alors ecrire l'energie cinetique du solide dans son mouvement par rapport au referentielR: TS=R=12
ZP2E# VP2S=R2dm:(22)
Energie cinetique
Cas du solide indeformable
Determinons l'energie cinetique d'un solide :
TS=R=12
Z P2E# VP2S=R2dmavecVVPS=R=# VA2S=R+#S=R^# AP
12 Z P2E # VA2S=R+#S=R^# AP
2dm 12 ZP2E# VA2S=R2dm+Z
P2ES=R^# AP
2dm TS=R=12
ZP2E# VA2S=R2dm+Z
P2E# VA2S=R#
S=R^# AP
dm 12Z P2ES=R^# AP
2dmEnergie cinetique
Cas du solide indeformable
TS=R=12
ZP2E# VA2S=R2dm+Z
P2E# VA2S=R#
S=R^# AP
dm 12 Z P2ES=R^# AP
2dmVA2S=Ret#
S=Rindependant dedm
12 mS# VA2S=R2+# VA2S=R# S=R^ZP2E# APdm
12 Z P2ES=R^# AP
S=R^# AP
dmOn reconna^t le produit mixte (
#u^#v)#winvariant par permutation circulaire avec #u=#S=R,#v=# APet#w=#
S=R^# AP
Energie cinetique
Cas du solide indeformable
TS=R=12
mS# VA2S=R2+mS#S=R# AG^# VA2S=R
12 Z P2E # AP^#S=R^# AP
S=Rdm avec Z P2E # AP^#S=R^# AP
dm=IA(S), l'operateur d'inertie
du solide S en A. Finalement la relation permettant de determiner l'energie cinetique d'un solide : TS=R=12
mS# VA2S=R2+mS#S=R# AG^# VA2S=R
(23)12#
S=RIA(S)#
S=REnergie cinetique
Cas du solide indeformable
TS=R=12
mS# VA2S=R2+mS#S=R# AG^# VA2S=R
(24) 12 S=RIA(S)#
S=R Cette relation est assez dicile a utiliser, montrons que dans le cas d'un solide, l'energie cinetique peut aussi se calculer en realisant le comoment des torseurs cinematique et cinetique. TS=R=12
VS=RCS=R(25)
Energie cinetique
Cas du solide indeformable
I Torseur cinematique en A du solide S par rapportR:n V S=RoS=R# VA2S=R)
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