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Généralités sur les fonctions
Notion de fonction. Soit D un ensemble de nombres réels (intervalle ou réunion d'intervalles). Définir une fonction f sur D c'est associer à chaque nombre
Chapitre 2
Généralités
sur les fonctionsProblématique
0Comment défi nir, utiliser et
représenter une fonction ?Est fonctionnelle pour Descartes, une
relation qui permet de faire corres- pondre à une longueur donnée une autre longueur déduite de la première par un nombre fi ni d"opérations algébriques.Jules Vuillemin - (1920-2001)01)
EsPoints incontournables
14L"ESSENTIELL"ESSENTIEL
Notion de fonction
Soit D un ensemble de nombres réels (intervalle ou réunion d"intervalles).Défi nir une fonction
f sur D, c"est associer à chaque nombre réel x de D un unique nombre réel y ou encore ()fx.On note
:()fx yfx yD est l"ensemble de défi nition de la fonction f. yLe nombre x est la variable. yLe nombre ()fx est appelé l"image par la fonction f de x. ySi ()yfx alors x est un antécédent de y par la fonction f.Représentation graphique d"une fonction
Soit f une fonction et D son ensemble de défi nition. Dans un repère du plan, on appelle représentation graphique ou courbe représentative de f l"ensemble des points de coordonnées ;()xfx où xest un nombre de D.Cette courbe a pour équation
()yfx.Détermination d"images et d"antécédents
Considérons la fonction défi nie sur par () ²2 3 fx x x et dont la courbe représentative est donnée ci-dessous :Déterminer l"image d"un nombre
par une fonction f :Par le calcul
Pour déterminer l"image d"un nombre a par f, il suffit de remplacer x par a dans l"expression de la fonction, donc de calculer ()fa.Exemple :
L"image de 2 par la fonction
fest égale à (2) 2² 2 2 3 3 fÀ retenir
D est l"ensemble de défi nition de f
À retenir
Chaque nombre x de D a une unique image par f, notée ()fxÀ retenir
Chaque nombre y peut avoir plusieurs, un seul ou aucun antécédent(s) par f.À retenir
L"image de
a par f est ()faDéterminer une image
revient à calculer ()fa 2 15Graphiquement
Pour déterminer
l"image de 2 par f, on commence par repérer 2 sur l"axe des abscisses, puis on lit l"ordonnée de l"unique point de la courbe d"abscisse 2.On peut lire que l"image de 2 par la fonction
f est 3. Déterminer le ou les antécédents éventuels d"un nombre par une fonction f :Par le calcul
Pour déterminer le ou les antécédents d"un nombre b par f, il su?fi t de résoudre l"équation ()fx b.Exemple :
Résoudre
() 4fx revient à chercher les antécédents éventuels de4 par f. Avec la fonction f défi nie précédemment, () 4fx
équivaut à
²2 34xx, c"est-à-dire ²21 0xx, soit
210x qui a pour solution 1x. 1 est l"unique antécédent
de4 par f.
Graphiquement
Pour déterminer
le ou les antécédents éventuels de 3 par f, on commence par repérer3 sur l"axe des ordonnées, puis on trace la
droite passant par le point (0 ; 3) parallèle à l"axe des abscisses. Enfi n, on lit les abscisses des éventuels points d"intersection de cette droite avec la courbe.À retenir
Graphiquement,
l"image de a par f est l"or-donnée du point de la courbe représentative de f d"abscisse a.À retenir
Le ou les antécédents de b par f sont les solutions de ()fx bDéterminer un ou plusieurs
antécédents revient à résoudre une équation.À retenir
Graphiquement,
le ou les antécédents éven-tuels de b par f sont les abscisses du ou des points de la courbe représentative de f d"ordonnée b.
En général, une lecture
graphique ne donne qu"une valeur approchée sauf si le point considéré est sur un nud du quadrillage comme le codage ? + ? l"indique. 16L"ESSENTIEL
Sur la courbe donnée ci-dessus, 0 et 2 sont les deux antécédents de 3 par la fonction f.Montrer qu"un point appartient ou non
à une courbe représentative
Pour vérifi er si un point ; Ma b appartient à la courbe représen- tative d"une fonction f, notée fC, on calcule ()fa et on compare
le résultat à b. ySi ()fa b alors f MC ySi ()fa b alors f MCExemple :
Le point
1 ; 4A appartient à la courbe représentative de f
défi nie par () ²2 3 fx x x, car (1) 1² 2 1 3 4 f.En revanche, le point
-3 ;7B n"appartient pas à cette courbe car (3) 963 12 7f.Je prends des notes
À retenir
si ()fa b alors f Mab C 2 17Je lis, je surfe !
co rrigés.Dernière minute
On défi nit une fonction sur un ensemble D lorsque, à chaque réel X deD, on associe un unique réel noté ()fx.
O n note :()fx y f x Sa représentation graphique est l"ensemble des points de coordonnées ;()xfx. L "image de a par f est ()fa. L e ou les antécédents de b par f sont les solutions de ()fx b . ;Mab appartient à la courbe représentative de la fonction f si ()fa b .Je me teste !
1. Déterminer l"image de -1 par la fonction g
défi nie sur par 2 () 32 1gx x. Le point2 ;18A appartient-il à la courbe représen-
tative de g2. Déterminer le ou les antécédents éventuels de -4 par la fonction h défi nie sur
par () 5 3hx x .3. La courbe représentative d"une fonction k est donnée ci-dessous. Lire les images respectives de -1 et 2 par k et les éventuels antécédents de 0 par cette fonction.
Ԝ Corrigés p. 280
18 SAVOIR-FAIRE ET COMPÉTENCESSAVOIR-FAIRE ET COMPÉTENCESLa méthode
Ce qu"en dit le programme
Il s"agit de connaître les notions d"image, d"antécédent, de courbe représentative.Il faut être capable, pour une fonction défi nie par une courbe, un tableau de données ou une formule :
yd"identifi er la variable et, éventuellement, l"ensemble de défi nition yde déterminer l"image d"un nombre yde rechercher des antécédents d"un nombreLes fonctions abordées sont généralement des fonctions numériques d"une variable réelle pour
lesquelles l"ensemble de défi nition est donné.Savoir-faire
Savoir déterminer une image ou un antécédent :yPour la méthode graphique, il faut savoir repérer un point dans un plan (lire des coordonnées dans un repère).
yPour la méthode algébrique, il faut savoir résoudre des équations et e?fectuer des calculs (substituer à
x une valeur donnée).Le conseil du prof
Il est important de faire le lien
entre les calculs e?fectués, notamment pour déterminer une image ou un antécédent par une fonction donnée, et l"interprétation graphique que l"on peut en faire.Ce lien permet, en particulier,
de vérifi er graphiquement ces calculs.Ça peut tomber !
Soit f la fonction défi nie sur par () ² 2 5fx x x0Calculer l"image de
1 2 par f.On remplace
x par 1 2 dans l"expression de f.0Déterminer le ou les antécédents de
5 par f.
On résout l"équation
() 5fx.0Le point
1 ;8Aappartient-il à la courbe représentative de
f ?On calcule
(1)f et on le compare à 8. 2 19Un exemple appliqué
En utilisant le calcul algébrique
f, g et h sont trois fonctions défi nies respectivement sur f D, g D et hD par () 2 7 fx x,
2 () 3 2 5gx x x et2()5xhxx
1. Vérifi er que
f D, gD et ;5 5 ;
h D :Pour tout
x, il est possible de calculer 27x et 2325xx, donc on a bien
fgDD. En revanche, le
nombre 5 annule le dénominateur du quotient 2 5x x , il s"agit donc d"une valeur interdite pour ce quotient. D"où ;5 5 ; h D.2. Indiquer les fonctions pour lesquelles l"image de 2 est 3, puis
pour lesquelles un antécédent de3 est 3.
(2) 2 2 7 4 7 3 f 2quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46[PDF] les images en mouvement
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