Calculs dintégrales
Exercice 6. Calculer les primitives suivantes par changement de variable. 1. ? (cosx)1234 sinxdx. 2. ? 1 xlnx dx. 3.
Calcul intégral Exercices corrigés
F. Laroche. Calcul intégral corrigés http://laroche.lycee.free.fr. Terminale S. Calcul intégral. Exercices corrigés. 1. 1. Calcul de primitives.
— Calculs dintégrales
Feuille de TD no 2 : Primitives et intégrales (CORRIG?). Version provisoire à vérifier. — Calculs d'intégrales. Exercice 1. corrigé feuille TD no 2 (v1) ...
Intégrales et primitives
I - Intégrale d'une fonction continue positive E. Première méthode pour calculer une intégrale dans le cas d'une ... D. Exercices corrigés en vidéo.
Intégrales Généralisées
Il s'agit d'une fonction de Riemann avec = 2 intégrable en +?. 7 converge. Allez à : Exercice 2. • Il y a un problème en 0 mais attention on ne peut
Exercices - Calcul dintégrales : corrigé Intégration par parties
Exercices - Calcul d'intégrales : corrigé. Intégration par parties - Changements de variable. Exercice 1 - Changements de variables - Niveau 1 - L1/Math Sup
TD 3 Fonctions définies comme intégrales
30 sept. 2016 Exercices corrigés. Exercice 1 : On considère la fonction F donnée par F(x) = ? +. 1. 0 ²².
Corrigé type de la Série 1 (les intégrales indéfinies calcul intégral)
2.1 Solution de l'exercice 4. A l'aide de la méthode de décomposition des fonctions rationnelles en éléments simples calculons les intégrales suivantes :.
Intégrale dune fonction : Exercices Corrigés en vidéo avec le cours
Déterminer l'aire de la surface hachurée. Intégrale et aire entre deux courbes. Cf et Cg sont les courbes représentatives de deux fonctions f et g définies sur
Intégration et probabilités (cours + exercices corrigés) L3 MASS
Le but de ce cours est d'introduire les notions de théorie de la mesure qui seront utiles en calcul des probabilités et en analyse.
1. La fonctiont?→⎷test une bijection de classeC1de[1,4]sur[1,2]. On peut donc poser
u=⎷t. Lorsquet= 1,u= 1et lorsquet= 4,uvaut 2. De plus, on a1-⎷t⎷t
=1-uu et u=⎷t=?t=u2=?dt= 2udu.On en déduit que
411-⎷t
t dt=? 2 11-uu 2udu 21(2-2u)du
2u-u2?2
1=-12. La fonctionx?→exréalise une bijection de[1,2]sur[e,e2]. Effectuons le changement de
variablesu=exdans l"intégrale, de sorte quedu=exdx. Il vient 2 1e x1 +exdx=? e2 edu1 +u=?ln|1 +u|?e2 e= ln?1 +e21 +e? Exercice 2- Changements de variables - Niveau 2-L1/Math Sup-??1. La fonctionx?→lnxréalise une bijection de[1,e]sur[0,1]. On pose doncu= lnxde
sorte quedu=dxx . De plus, lorsquexvaut 1,uvaut 0 et lorsquexvaute,uvaut1. On trouve donc ?e1(lnx)nx
dx=? 1 0undu1n+ 1.
2. La fonction à intégrer est définie et continue sur]0,+∞[. On se limite donc à calculer
l"intégrale recherchée pourx >0. La fonctiont?→⎷e t-1est une bijection de[1,x]sur [⎷e-1,⎷e x-1]. Posantu=⎷e t-1, on a du=et2 ⎷e t-1dt d"oùF(x) = 2?
⎷e x-1 ⎷e-1duu2+ 4= arctan?
⎷e x-12 -arctan? ⎷e-12 .http://www.bibmath.net1Exercices - Calcul d"intégrales: corrigéExercice 3- Changements de variables - Recherche de primitives-L1/Math Sup-
1. La fonctionx?→lnxx
est définie et continue sur]0,+∞[, intervalle sur lequel on cherche à calculer une primitive. Pour cela, on fait le changement de variablesu= lnx, de sorte quedu=dxx et on trouve ?lnxx dx=? udu 12 u2+C 12 (lnx)2+C.2. La fonctionx?→cos(⎷x)est définie et continue sur]0,+∞[, intervalle sur lequel on cherche
à calculer une primitive. Pour cela, on effectue le changement de variablesu=⎷x, de sorte quex=u2ou encoredx= 2udu. On trouve alors cos(⎷x)dx= 2? ucos(u)du = 2[usinu]-2? sin(u)du = 2usinu+ 2cosu+C = 2⎷xsin(⎷x) + 2cos(⎷x) +C (on a aussi effectué une intégration par parties). Exercice 4- Intégration par parties - Niveau 1-L1/Math Sup-?1. La fonctionx?→arctanxétant continue surR, elle admet une primitive sur cet intervalle.
On intègre par parties en posant :
u(x) = arctanx u?(x) =1x2+1v?(x) = 1v(x) =x
de sorte que arctantdt=xarctanx-?xx 2+ 1. La primitive que l"on doit encore rechercher est de la formeg?/g, et donc arctantdt=xarctanx-12 ln(x2+ 1).2. La fonctionx?→(lnx)2étant continue sur]0,+∞[, elle admet des primitives sur cet
intervalle. On se restreint à cet intervalle et on intègre par parties en posant : u(x) = (lnx)2u?(x) = 2lnxx v?(x) = 1v(x) =xhttp://www.bibmath.net2 Exercices - Calcul d"intégrales: corrigéde sorte que (lnt)2dt=x(lnx)2-2? lntdt. Une primitive dex?→lnxétantx?→xlnx-x(résultat qui se retrouve en intégrant par parties), on trouve finalement qu"une primitive dex?→(lnx)2est x?→x(lnx)2-2xlnx+ 2x.3. On va intégrer par parties deux fois. On travaille sur l"intervalle]0,+∞[, là où la fonction
est bien définie et continue. On pose alors : u(x) = sin(lnx)u?(x) =1x cos(lnx) v ?(x) = 1v(x) =x de sorte que sin(lnx)dx=xsin(lnx)-? cos(lnx). On intègre une deuxième fois par parties en posant u1(x) = cos(lnx)u?1(x) =-1x
sin(lnx) v ?1(x) = 1v1(x) =x de sorte que cos(lnx)dx=xcos(lnx) +? sin(lnx).En mettant tout cela ensemble, on trouve
sin(lnx)dx=xsin(lnx)-xcos(lnx)-? sin(lnx) soit sin(lnx) =x2 ?sin(lnx)-cos(lnx)?. Exercice 5- Intégration par parties - Niveau 2-L1/Math Sup-??1. On intègre par parties, en posantu?(x) =xetv(x) = (arctanx)2. On av?(x) =2arctan(x)x
2+1, et ceci nous incite à considérer comme primitive deu?la fonctionu(x) =12 (x2+1), ce qui va simplifier les calculs. On obtient alors I=12 ?(x2+ 1)(arctanx)2?1 0-? 10arctanx.
On calcule la dernière intégrale en réalisant à nouveau une intégration par parties, et on
trouve :I=π216
-?xarctanx?1 0+? 1 0xx2+ 1dx
π216
-π4 +12 ?ln(x2+ 1)?1 0π216
-π4 +12 ln2.http://www.bibmath.net3Exercices - Calcul d"intégrales: corrigé2. La fonctionf:x?→xlnx(x2+1)2est continue sur]0,1], et elle tend vers 0 en 0. On peut donc
la prolonger par continuité à[0,1]en posantf(0) = 0, ce qui donne un sens àJ. Pour calculer cette intégrale, on va intégrer par parties entrea >0et1, pour ne pas être gêné par les problèmes en 0. On pose doncJ(a) =?1 axlnx(x2+1)2, puis : u(x) = (lnx)v?(x) =x(x2+1)2 u ?(x) =1x v(x) =-12(x2+1) ce qui donneJ(a) =?
-lnx2(x2+ 1)? 1 a +12 1 adxx(x2+ 1).De plus,
1x(x2+ 1)=1x
-xx 2+ 1 de sorte que 1 adxx(x2+ 1)=? lnx-12 ln(x2+ 1)? 1 a =-12 ln2-ln(a) +12 ln(1 +a2).On obtient donc que
J(a) =lna2(a2+ 1)-ln24
-lna2 +14 ln(1 +a2). Reste à faire tendreavers 0. Pour cela, on factorise parlna, et on trouveJ(a) =-a2ln(a)2(a2+ 1)-ln24
+14 ln(1 +a2). Commea2ln(a)tend vers 0 lorsqueatend vers 0, de même queln(1 +a2), on conclut finalement queJ=-ln24
Exercice 6- Une suite d"intégrales-L1/Math Sup-?? Pour(n,p)?N?×N, l"applicationx?→xn(lnx)pest définie et continue sur]0,1]. De plus,les théorèmes de comparaison usuels entraînent que cette fonction se prolonge par continuité en
0 (remarquons l"importance den >0). Ceci justifie l"existence deIn,p. Pour calculerIn,p, nous
allons réaliser une intégration par parties. On la réalise entrea >0et1, pour prendre garde au fait que la fonction logarithme n"est pas définie en 0. On remarque aussi queIn,0=1n+1, et donc il suffit de traiter le casp >0.On pose donc
I n,p(a) =? a0xn(lnx)pdx
puis u(x) = (lnx)pv?(x) =xn u ?(x) =p(lnx)p-1x v(x) =xn+1n+1.http://www.bibmath.net4 Exercices - Calcul d"intégrales: corrigéOn trouve alors, I n,p(a) =1n+ 1? xn+1(lnx)p?1 a-pn+ 1? 1 axn(lnx)p-1dx=-an+1n+ 1-pn+ 1In,p-1. On passe à la limite en faisant tendreavers 0, et on trouve : I n,p=-pn+ 1In,p-1.On trouve alors
In,p=(-p)×(-(p-1))× ··· ×(-1)(n+ 1)×(n+ 1)× ··· ×(n+ 1)In,0=(-1)pp!(n+ 1)p×1n+ 1=(-1)pp!(n+ 1)p+1.
Exercice 7- Une autre suite d"intégrales-L1/Math Sup-??On pose, pour(α,β,n,m)?R2×N2,
I m,n=?α(t-α)m(t-β)ndt.
On intègre par parties pour obtenir une relation entreIm,netIm-1,n+1, et on trouve I m,n=? (t-α)m(t-β)n+1n+ 1? -mn+ 1?α(t-α)m-1(t-β)n+1dt
=-mn+ 1Im-1,n+1.D"autre part, pour toutp?N, on a
I 0,p=?quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46[PDF] les interactions en classe
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