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UNE HISTOIRE DE LAPINS. Considérons un couple de lapins nouveaux-nés un mâle et une femelle. Les lapins sont capables de se reproduire dès l'âge d'un mois
2. Les lapins ** Lénigme suivante est très connue. Elle a contribué à
Solutions. 1. Le couple (de lapins) né en janvier engendrera un autre couple en Fibonacci. Elle est étonnante car chacun des termes est
scénario complet - les lapins de Fibonacci
Des suites de nombres. Des « arbres » qui tentent de dénombrer les naissances mois après mois. Rapidement on en vient à la solution (l'enseignant
Nombre dor et Suite de Fibonacci
et se rappeler que φ et ψ sont les solutions du trinôme étudié à la question précédente. 3.c. Se rappeler l'histoire des lapins. . . 3.d. Factoriser par φn puis
Correction de lÉpreuve officielle Léonard de Pise dit Fibonacci
C'est pour décrire la croissance d'une population de lapins que Fibonacci a introduit cette suite. Fibonacci donna pour solution (41. 12 )2. Montrer que la ...
Les lapins de FIBONACCI. Objectif : Problème : Compléter
2) Ecrire une formule qui permet de calculer le nombre de couples de lapins en mars puis copier vers la bas cette formule avec le remplissage. 3) En utilisant
Correction : suite de Fibonacci - Lycée dAdultes
21 mai 2018 • A l'étape n+1 : un+1 couples de lapins dont un parents et (un−1 − un) ... On obtient deux solutions : α1 = 1 + √5. 2 et α2 = 1 −. √5. 2.
Récréation mathématique: La suite de Fibonacci
Soit Fn = An+Jn le nombre total de lapins `a la n-i`eme génération. On voit La Figure 5 montre une solution possible de ce probl`eme (il y en a d'autres) ...
LA SUITE DE FIBONACCI
Donner la solution au problème de Fibonacci. Combien obtiendrons-nous de couples de lapins après 5 ans ? Commenter l'affichage dans les cellules C76 et C77
Epreuve de Math Devoir Surveillé Epreuve de Mathématiques
ée du Nombre d'Or est : 1618… de Fibonacci de Fibonacci et les lapins crétins solution dans l'ensemble ℝ des nombres réels
Considérons un couple de lapins nouveaux-nés un mâle et une
Les lapins sont capables de se reproduire dès l'âge d'un mois et la gestation dure un mois Pise qui vivait au douzième siècle Leonardo Fibonacci.
Nombre dor et Suite de Fibonacci
Exercice 1 (Nombre d'or et Reproduction de lapins). 1. On s'intéresse à l'équation x2 ? x ? 1=0. a. Montrer que cette équation possède une unique solution
scénario complet - les lapins de Fibonacci
Des suites de nombres. Des « arbres » qui tentent de dénombrer les naissances mois après mois. Rapidement on en vient à la solution (l'enseignant
Correction : suite de Fibonacci - Lycée dAdultes
21 mai 2018 Pour l'arbre suivant permet de trouver le nombre de couples de lapin sur 6 mois. Le point rempli à gauche correspond au couple parents et celui ...
2. Les lapins ** Lénigme suivante est très connue. Elle a contribué à
Solutions. 1. Le couple (de lapins) né en janvier engendrera un autre couple en mars. A la fin mars il y aura 2 couples de lapins.
Correction de lÉpreuve officielle Léonard de Pise dit Fibonacci
C'est pour décrire la croissance d'une population de lapins que Fibonacci a introduit cette suite. Fibonacci donna pour solution (41.
I. Modèles historiques daccroissement de la population
On a vu que Malthus proposait de résoudre l'équation y'=a y . Quelles sont les solutions à ce problème ? Représentez quelques-unes de ces solutions sur un
LA SUITE DE FIBONACCI
Donner la solution au problème de Fibonacci. Combien obtiendrons-nous de couples de lapins après 5 ans ? Commenter l'affichage dans les cellules C76 et C77.
Mathématiques Avancées
16 oct. 2014 solution d'une équation ... Partant de plusieurs lapins et d'une seule lapine : ... Lapins de Fibonacci : premières valeurs.
Fibonacci passeur des mathématiques du monde arabe au monde
Conteur 2. Il faut vous dire que dans cette histoire les lapins vont tous na?tre par couple. Conteur 1. Pour la suite les r`egles de dame nature seront :.
Académie de Nantes - Mai 2008
Groupe national de travaux
collaboratifsMaths et TICE
Stéphane PERCOT
Mai 2008
Académie de NANTES Scénario indexé dans Introduction du calcul littéral - Utilisation du tableur " Les lapins de Fibonacci»Le tableur pour étudier et compléter des suites de Fibonacci. Intérêt de l"utilisation de la lettre pour
compléter les suites dont les termes ne sont pas entiers. Travail en salle multimédia et/ou en salle de classe. Classe de 4ème
Enoncé de l"exercice________________________________________________________ 2 Enoncé donné aux élèves :__________________________________________________ 2 Consigne donnée aux élèves ________________________________________________ 2 Objectifs__________________________________________________________________ 2 Textes de référence :______________________________________________________ 3 Connaissances et compétences du socle commun développées dans cette activité : 3 Scénario__________________________________________________________________ 4 Ce qui a été fait avant ___________________________________________________ 4 Le jour de la séance_____________________________________________________ 4 Ce qui a été fait après ___________________________________________________ 6 Les outils nécessaires ou utiles _______________________________________________ 6 © - Stéphane PERCOT - collège Haxo - 85000 La Roche sur YonAcadémie de Nantes - Mai 2008
Enoncé de l"exercice
Enoncé donné aux élèves
L"activité débute avec le problème de Fibonacci : " Possédant initialement un couple de lapins, combien de couples obtient-on en douze mois si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du second mois de son existence ? » La suite trouvée est : 1 - 1 - 2 - 3 - 5 - 8 - 13 - 21 - 34 - 55 - 89 - 144On explique alors qu"on appelle suite de Fibonacci toute suite de nombre dans laquelle chaque terme est
la somme des deux termes précédents. Par exemple, la suite suivante est une suite de Fibonacci7 2 9 11 20 31 51 82 133 215
Consignes données aux élèves
On demande ensuite aux élèves de compléter certaines suites de Fibonacci. Ils peuvent faire des calculs " à la main », utiliser une calculatrice ou un tableur. 2 59 241
8 134
4 101
(Voir fiche élève pour plus de précision)Objectifs
- Proposer un problème dont la résolution peut se faire par tâtonnement.- Montrer que la programmation des suites de Fibonacci sur tableur permet de faire des essais
rapidement en conservant une résolution arithmétique des problèmes. - Créer le besoin de l"introduction de la lettre pour la dernière suite :4 101
dont le second terme est une fraction (7/3) - Développer la prise d"initiatives, l"anticipation, la curiosité, la créativité © - Stéphane PERCOT - collège Haxo - 85000 La Roche sur YonAcadémie de Nantes - Mai 2008
Textes de référence :
Programmes de la classe de quatrième (B.O. n°5 du 25 août 2005) Document d"accompagnement à la mise en oeuvre des programmes " Du numérique au littéral » : Compétences B2i développées dans cette activité : Domaine 3 - Créer, produire, traiter, exploiter des données : Compétence 3.4 : Je sais créer, modifier une feuille de calcul, insérer une formule Mais aussi en fonction de votre salle multimédia : Domaine 1 - S"approprier un environnement informatique de travail :Compétence 1.1 : Je sais m"identifier sur un réseau ou un site et mettre fin à cette identification.
Compétence 1.2 : Je sais accéder aux logiciels et aux documents disponibles à partir de mon espace de
travail. Connaissances et compétences du socle commun développées dans cette activité :Pilier 3 - Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique
Capacité à utiliser des outils (..., calculatrices, logiciels).Capacité à saisir quand une situation de la vie courante se prête à un traitement mathématique.
Capacité à contrôler la vraisemblance d"un résultat. Capacité à utiliser les techniques et les technologies pour surmonter des obstacles. Pilier 4 - La maîtrise des techniques usuelles de l"information et de la communication Capacité à s"approprier un environnement informatique de travail. Capacité à créer, traiter, s"approprier des données.Pilier 7 - L"autonomie et l"initiative
Capacité à identifier un problème et mettre au point une démarche de résolution. Capacité à mettre à l"essai plusieurs pistes de solution. © - Stéphane PERCOT - collège Haxo - 85000 La Roche sur YonAcadémie de Nantes - Mai 2008
Scénario
Classe de 4e : 27 élèves en classe entière.2 élèves par poste.
Ce qui a été fait avant
Au niveau informatique :
Les élèves de cette classe ont déjà utiliser un tableur pour gérer des données, ou résoudre des petits
problèmes numériques.Ils ont depuis longtemps vu l"usage du tableur en classe lorsque l"enseignant l"utilisait avec un vidéo
projecteur (saisie de formules simples...)Le jour de la séance
1ère partie : 10 minutes en salle de classe :
La séance débute en salle de classe avec le problème de FibonacciL"enseignant explique :
" Le mathématicien italien Leonardo Pisano, plus connu sous le pseudonyme de Fibonacci (1175 - 1250) pose le problème suivant : Possédant initialement un couple de lapins, combien decouples obtient-on en douze mois si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter
du second mois de son existence ? » Le problème fait sourire les élèves, mais la recherche est active.On remarque plusieurs stratégies. Des suites de nombres. Des " arbres » qui tentent de dénombrer les
naissances mois après mois.Rapidement, on en vient à la solution (l"enseignant accélère la recherche car l"essentiel est la seconde
partie de la séance...) Du 1 er eu 12ème mois, le nombre de couples de lapins est :1 - 1 - 2 - 3 - 5 - 8 - 13 - 21 - 34 - 55 - 89 - 144
Et pour conclure cette première partie, on explique aux élèves qu"on appelle suite de Fibonacci toute
suite de nombre dans laquelle chaque terme est la somme des deux termes précédents. Par exemple, la
suite suivante est une suite de Fibonacci7 2 9 11 20 31 51 82 133 215
2nde partie : 45 minutes en salle de classe ou en salle multimédia :
On propose aux élèves de remplir plusieurs suites de Fibonacci dans lesquelles il manque certains
termes. Ils peuvent le faire " à la main », avec une calculatrice ou en utilisant un tableur. 1 ère suite : Remplir la suite de Fibonacci suivante 2 5 Objectif : vérifier que chaque élève a compris le principe des suites de FibonacciRéponse :
2 5 7 12 19 31 50 81 131 212 343 555
Tous les élèves trouvent facilement les termes de cette suite. © - Stéphane PERCOT - collège Haxo - 85000 La Roche sur YonAcadémie de Nantes - Mai 2008
2 ème suite : Complète la suite de Fibonacci suivante9 241
Objectif : proposer une première recherche par tâtonnement. Le nombre recherché est un nombre entier.
Réponse :
9 13 22 35 57 92 149 241
Les élèves adoptent rapidement un principe d"essai-erreur.Il essaye par exemple de mettre 10 en 2
nd terme ce qui donne :9 10 19 29 48 77 125
Et concluent : " 10 est trop petit... je vais essayer 20.... » etc...Le taux de réussite est très fort : la plupart des élèves trouvent rapidement. Tous ont trouvé avec une
aide éventuelle de l"enseignant pour les aider des leurs essais. 3 ème suite : Trouve la suite de Fibonacci commençant par 8 et dont le 7ème terme est 1348 134
Objectif : proposer une suite dont le second terme est décimal (11,75).Réponse :
8,00 11,75 19,75 31,50 51,25 82,75 134,00
Les élèves reprennent le principe d"essai-erreur. Il arrive rapidement à trouver que le second terme est compris entre 11 et 12 car ils trouvent :8 11 19 30 49 79 128
Et8 12 20 32 52 84 136
Certains élèves restent bloqués à ce niveau, mais le coup est facile pour l"enseignant : un élève
demande : " Est-ce que le nombre peut être décimal ? » C"est gagné ! La recherche repart et abouti rapidement à 11,75 4 ème suite : Trouve la suite de Fibonacci commençant par 4 et dont le 9ème terme est 1014 101
Objectif : proposer une suite dont la valeur exacte du second terme est une fraction (7/3) et créer le
besoin d"une autre méthode. Les élèves arrivent en général à un encadrement : " c"est entre 2 et 3 » car4 2 6 8 14 22 36 58 94
Et4 3 7 10 17 27 44 71 115
Les plus courageux à " c"est entre 2,3 et 2, 4 » ou " environ 2,33 » car4 2,3 6,3 8,6 14,9
23,5 38,4 61,9 100,3
Et4 2,4 6,4 8,8 15,2
24,0 39,2 63,2 102,4
© - Stéphane PERCOT - collège Haxo - 85000 La Roche sur YonAcadémie de Nantes - Mai 2008
Face au blocage, et après discussion sur l"efficacité de notre stratégie, l"enseignant reprend la main pour
proposer une autre méthode aux élèves : " désigner le second terme par une lettre »On écrit :
4 a Et on demande aux élèves d"exprimer les termes suivants en fonction de a.Collectivement, on obtient :
4 a 4+a 4+2a 8+3a 12+5a 20+8a 32+13a 52+21a
Ce qui signifie qu"on cherche a tel que 52+21a = 101La notion d"équation arrive...
Les souvenirs des élèves ressurgissent... " équations ah oui... » La résolution peut permettre de trouver que 21a = 49Donc a = 49 /21 c"est-à-dire 7/3
Le 5 ème défi : a été cherché par les élèves les plus rapides. Essaye de trouver une suite de Fibonacci dont le 10 ème terme est 178. Y a t-il une solution? Si oui, une seule ? Il peut être un prolongement intéressant sur l"unicité des solutions de nos problèmes...Ce qui a été fait après
Les séances suivantes sont données l"occasion de proposer des problèmes dont la résolution pouvaient
se faire avec et sans le calcul littéral. Avec et sans le tableur. Il est intéressant de voir que certains
élèves, identifiés comme " en difficulté » parviennent à utiliser le tableur pour résoudre certaines
situation type " problème du premier degré »Les outils nécessaires ou utiles
Matériel :
Un poste informatique par binôme.
Fichiers disponibles :
Fiche élève les lapins de Fibonacci.pdf
Logiciel :
Un tableur.
Logiciel utilisé : Open Office Calc
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