Intervalle de confiance dune moyenne
On s'intéresse à la valeur moyenne ? d'un caractère quantitatif x dans une population donnée. Au lieu de rechercher la valeur exacte de ? par.
Calcul dun intervalle de confiance pour la moyenne dans une
Cet essai a pour objectif de calculer un intervalle de confiance pour la moyenne µ `a. 100(1??)% dans un plan de sondage aléatoire simple ainsi que dans
Estimations et intervalles de confiance
tervalle de confiance et donc de préciser l'incertitude sur ces esti- mations : intervalle de confiance d'une proportion d'une moyenne.
MODULE 2 : Estimation par intervalle de confiance
Les paramètres inconnus à estimer seront successivement la moyenne la variance
Quelques rappels sur les intervalles de confiance
Dans ce cas la distribution de la moyenne empirique tend vers une loi normale d'après le théorème central limite. On parlera d'intervalle de confiance
Ch. 5 : Echantillonnage estimation
Estimation par intervalle de confiance. On ne cherche plus `a donner une valeur estimée la meilleure possible du param`etre x (moyenne proportion
Estimation et intervalle de confiance
Définir un intervalle de confiance pour la moyenne des passagers. (On admet que le poids des passagers suit une loi normale de moyenne m d'écart-type ?.) 2.
STATISTIQUE : ESTIMATION
Estimation de la variance quand la moyenne est inconnue. 18. 4. Comparaison de moyennes et de variances. 18. 4.a. Intervalle de confiance de la différence
CORRIGE DES EXERCICES : Estimation ponctuelle et estimation
X= résultat au test de QI variable quantitative de moyenne µ inconnue et l'estimation par intervalle de confiance au niveau 95% (au risque ?=5%) de µ ...
Cours de Statistiques inférentielles
L'espérance est également appelée moyenne et notée dans ce cas µX. L'intervalle de confiance pour la moyenne d'une population de variance ?2 connue est ...
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IV- Signification de l'intervalle de confiance d'une moyenne L'intervalle de confiance à 95 d'une moyenne ? nous indique les bornes entre lesquelles on
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mations : intervalle de confiance d'une proportion d'une moyenne si la variance est connue ou non d'une variance Retour au plan du cours 1 Introduction
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Dans ce cas la distribution de la moyenne empirique tend vers une loi normale d'après le théorème central limite On parlera d'intervalle de confiance
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Intervalle de confiance pour la moyenne avec seuil de confiance 0 95 (intervalle bilatéral à risques symétriques) La variable aléatoire X?m S/ ? n?1 suit
[PDF] : tdr27 ————— Intervalles de Confiance —————
L'objectif est de représenter les intervalles de confiance d'une moyenne Maintenance : S Penel URL : http://pbil univ-lyon1 fr/R/fichestd/tdr27 pdf
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Donner une estimation et un intervalle de confiance pour m 2 2 Estimation de l'écart-type 2 2 1 si la moyenne est connue La statistique T =
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P = { chômeurs français } N = ? X = "durée de chômage" (en mois) variable quantitative µ = durée moyenne inconnue ? =
[PDF] TP N° 54 Estimation dun intervalle de confiance - CAB INNOVATION
4) Donner un intervalle de confiance sur la moyenne des résultats d'une simulation de Monte- Carlo 5) Estimer la disponibilité d'un système à partir de
[PDF] ESTIMATION INTERVALLES DE CONFIANCE DE LA MOYENNE D
Si on se fixe un seuil ? = 0 05 par exemple le logiciel SAS calcule aisément l'intervalle de confiance de la moyenne cherché : proc means data=A alpha=0 05 clm
U.F.R. S.P.S.E.UNIVERSITE PARIS X NANTERRE
Licence de psychologie L3
PLPSTA02 Bases de la statistique inférentielle
CORRIGE DES EXERCICES : Estimation ponctuelle et estimation par intervalleExercice 1
P={étudiants}
X= résultat au test de QI, variable quantitative de moyenne inconnue et d'écart-type =13 connu dans
PEchantillon de X issu de P de taille n=30 sur lequel on observe 111x qui est l'estimation ponctuelle de la moyenne
inconnue .1) X suit une loi
N(, =13) donc quel que soit n,
nX suit une loi normale
n13 n,µ N; pour n=303723013
n, - l'estimation par intervalle de confiance au niveau 95% (au risque =5%) de dans P s'écrit :97509750
95,;,,,,
où z 1(/2) = z 0,975 = 1,96 est le quantile d'ordre 0,975 de la loi N(0,1).l'estimation par intervalle de confiance au niveau 95% du résultat moyen des étudiants est d'environ 106,3 à 115,7 ; la
précision (ou marge d'erreur) de l'estimation à 95% est d'environ 4,7. - l'estimation par intervalle de confiance au niveau 90% (au risque =10%) de dansP s'écrit :
95095090
où z 1(/2) = z 0,95 =1,645 est le quantile d'ordre 0,95 de la loi N(0,1).l'estimation par intervalle de confiance au niveau 90% du résultat moyen des étudiants est d'environ 107,1 à 114,9 ; la
précision (ou marge d'erreur) de l'estimation à 90% est d'environ 3,9. - l'estimation par intervalle de confiance au niveau 99% (au risque =1%) de dansP s'écrit :
9950995099
où z 1(/2) = z 0,995 = 2,575 est le quantile d'ordre 0,995 de la loi N(0,1).l'estimation par intervalle de confiance au niveau 99% du résultat moyen des étudiants est d'environ 104,9 à 117,1 ; la
précision (ou marge d'erreur) de l'estimation à 99% est d'environ 6,1. remarque : IC99% () contient IC 95%() qui contient IC 90%
2) Pour n=50 83815013
n,: - l'estimation par intervalle de confiance au niveau 95% (au risque =5%) de dansP s'écrit :
>@>@>@611441076311183819611115013z111IC975095
,% où z 1(/2) = z 0,975 = 1,96 est le quantile d'ordre 0,975 de la loi N(0,1). - l'estimation par intervalle de confiance au niveau 90% (au risque =10%) de dansP s'écrit :
>@>@>@1141083111838164511115013z111IC 95090où z 1(/2) = z0,95 =1,645 est le quantile d'ordre 0,95 de la loi N(0,1). - l'estimation par intervalle de confiance au niveau 99% (au risque =1%) de dans
P s'écrit :
>@>@>@7115310674111838157521115013z111IC995099
où z 1(/2) = z 0,995 = 2,575 est le quantile d'ordre 0,995 de la loi N(0,1).2 Pour n=100
3110013
n,: - l'estimation par intervalle de confiance au niveau 95% (au risque =5%) de dansP s'écrit :
>@>@>@51135108521113196111110013z111IC975095
où z 1(/2) = z 0,975 = 1,96 est le quantile d'ordre 0,975 de la loi N(0,1). - l'estimation par intervalle de confiance au niveau 90% (au risque =10%) de dansP s'écrit :
>@>@>@111391081211131645111110013z111IC 95090où z 1(/2) = z 0,95 =1,645 est le quantile d'ordre 0,95 de la loi N(0,1). - l'estimation par intervalle de confiance au niveau 99% (au risque =1%) de dans
P s'écrit :
>@>@>@311471073311131575211110013z111IC995099
où z 1(/2) = z 0,995 = 2,575 est le quantile d'ordre 0,995 de la loi N(0,1).remarque : plus la taille n augmente plus les intervalles de confiance pour un même niveau de confiance sont étroits
(meilleure précision).3) La demi-longueur de l'intervalle IC
95%(), correspondant à la marge d'erreur dans l'estimation du résultat moyen à 95%,
est de 2,5 pour un échantillon de taille n=100 ; pour obtenir une marge d'erreur (demi-longueur) plus faible, égale à 1, il
faudra augmenter la taille de l'échantillon n. Pour n inconnu, =13 et =5% connus, la demi-longueur de l'intervalle
IC 95%() s'écrit : n1396,1nz 975,0
on cherche n tel que : 1n1396,1 c'est à dire n1396,1 d'où 23,6491396,1n 2
on choisira donc une taille d'échantillon au moins égale à 650 pour que demi-longueur de l'intervalle de confiance à
95% (la marge d'erreur dans l'estimation du résultat moyen à 95%) soit inférieure à 1.
Exercice 2
P={enfants fréquentant la maternelle}
X= score au test de Pensée Créative de Torrance, variable quantitative de moyenne et d'écart-type inconnus dans
PEchantillon de X issu de P de taille n=30
1) L'estimation ponctuelle du score moyen est donnée par la moyenne observée
32130639x,
le score moyen des enfants de maternelle est estimé à 21,3 (points de score).2) L'estimation ponctuelle sans biais de la variance ² est donnée par la variance observée sans biais :
25372931080
293213069114s
22(autre calcul : 01363213069114s 22
,, et 253701360341s2930s 22
l'estimation ponctuelle sans biais de l'écart-type est donnée par l'écart-type observé sans biais
162537s,,*
la variance du score des enfants de maternelle est estimée à 37,25 et son écart-type à 6,1 (points de score).
3) La loi de X étant quelconque et n=3030,
nX suit approximativement une loi normale
n ,N et est estimé par s*. L'estimation par intervalle de confiance au niveau 95% (au risque =5%) de dansP s'écrit :
>@>@5231191823213016961321nszxIC975095
où z 1(/2) = z 0,975 = 1,96 est le quantile d'ordre 0,975 de la loi N(0,1).l'estimation par intervalle de confiance au niveau 95% du score moyen des enfants de maternelle est d'environ 19,1 à
23,5 (points de score) ; la précision (ou marge d'erreur) de l'estimation à 95% est d'environ 2,2 (points de score).
3Exercice 3
P={individus âgés de 20 à 30 ans}
X= temps nécessaire pour reproduire 16 modèles (mesuré en secondes), variable quantitative de moyenne et d'écart-type
inconnus dans PEchantillon de X issu de P de taille n=60
1) L'estimation ponctuelle du temps moyen est donnée par la moyenne observée
94006005624x, secondes
le temps moyen des individus âgés de 20 à 30 ans est estimé à 400,9 secondes.2) L'estimation ponctuelle sans biais de la variance ² est donnée par la variance observée sans biais :
5345105994006063225310s
22(autre calcul : 061731094006063225310s 22
,, et 534510061731001691s5960s 22
l'estimation ponctuelle sans biais de l'écart-type est donnée par l'écart-type observé sans biais
7101534510s,,*
secondesla variance du temps des individus âgés de 20 à 30 ans est estimée à 10 345,5 et son écart-type à 101,7 secondes.
3) Estimation par intervalle de confiance au niveau 1 ou au risque du temps moyen dans
P :La loi de X étant quelconque et n=6030,
nX suit approximativement une loi normale
n ,N et inconnu est estimé par s* d'où : ur| r r|PDDDD1313z9400607101z9400nszxIC
2121211
- Pour 1 = 90% =10% z 1(/2) = z 0,95 = 1,645 quantile d'ordre 0,95 de la loi N(0,1) >@>@54223379621940060710164519400IC 90- Pour 1 = 95% =5% z 1(/2) = z 0,975 = 1,96 quantile d'ordre 0,975 de la loi N(0,1) >@>@6426237572594006071019619400IC 95
- Pour 1 = 99% =1% z 1(/2) = z 0,995 = 2,575 quantile d'ordre 0,995 de la loi N(0,1) >@>@74341367833940060710157529400IC 99
remarque : IC 99%
() contient IC 95%
() qui contient IC 90%
Exercice 4
P={étudiants d'une promotion} X= temps de mémorisation d'un texte (mesuré en mn), variable quantitative de moyenne
et d'écart-type inconnus dans P Echantillon de X issu de P de taille n=37 pour lequel 25x et s=5La loi de X étant quelconque et n=3730,
nX suit approximativement une loi normale
n ,N. Le temps moyen inconnu est estimé par la moyenne observée25xmn et l'écart-type du temps inconnu est estimé
par l'écart-type observé sans biais07553637s3637s,*mn
L'intervalle de confiance au risque =5% (au niveau 95%) du temps moyen dansP s'écrit :
975095
où z 1(/2) = z 0,975 = 1,96 est le quantile d'ordre 0,975 de la loi N(0,1).l'estimation par intervalle de confiance au risque 5% (au niveau 95%) du temps moyen de mémorisation d'un texte
par les étudiants d'une promotion est d'environ 24,3 à 26,6 mn ; la précision (ou marge d'erreur) de l'estimation au
risque 5% (à 95%) est d'environ 1,6 mn.4Exercice 5
P={sujets} X= temps de parcours d'un labyrinthe (mesuré en mn), variable quantitative de moyenne et d'écart-type
inconnus dans P Echantillon de X issu de P de taille n=100 pour lequel 768x, et s*=2,31) L'estimation ponctuelle du temps de parcours moyen est donnée par la moyenne observée
768x, mn
le temps moyen de parcours du labyrinthe des sujets est estimé à 8,76 mn.2) La loi de X étant quelconque et n=10030,
nX suit approximativement une loi normale
n ,N et l'écart-type du temps inconnu est estimé par l'écart-type observé sans biais s*=2,3 mn L'intervalle de confiance au niveau 90% (au risque =10%) du temps moyen dansP s'écrit :
>@>@>@149388380768230645176810032z768IC 95090où z 1(/2) = z 0,95 = 1,645 est le quantile d'ordre 0,95 de la loi N(0,1).
l'estimation par intervalle de confiance au niveau 90% du temps moyen de parcours d'un labyrinthe des sujets est
d'environ 8,38 à 9,14 mn ; la précision (ou marge d'erreur) de l'estimation à 90% est d'environ 0,38 mn.
3) La marge d'erreur dans l'estimation du temps moyen à 90%, donnée par la demi-longueur de l'intervalle IC
90%(), est de
0,38 mn pour un échantillon de taille n=100 ; pour obtenir une marge d'erreur (demi-longueur) plus faible, de 0,3 mn, il
faudra augmenter la taille de l'échantillon n. Pour n inconnu, =s*=2,3 et =10% connus, la demi-longueur de
l'intervalle IC 90%() s'écrit : n326451nsz 950
on cherche n tel que : 30n326451,,, c'est à dire n30326451 ,,, d'où 0515930326451n 2
on choisira donc une taille d'échantillon au moins égale à 160 pour que la marge d'erreur dans l'estimation du temps
moyen à 90% soit inférieure à 0,3 mn.Exercice 6
P={handicapés mentaux}
X= résultat à un test de dextérité manuelle, variable quantitative de moyenne et d'écart-type inconnus dans
PEchantillon de X issu de P de taille n=32
La loi de X étant quelconque et n=3230,
nX suit approximativement une loi normale
n ,N. Le résultat moyen inconnu est estimé par la moyenne observée71322272x et l'écart-type du résultat inconnu
est estimé par l'écart-type observé sans biais s* où3511317132664161s
22,* et 3733511s,,* (autre calcul : 117132664161s 22
et 35111103231s3132s 22
L'intervalle de confiance à 99% (au risque =1%) du résultat moyen dans
P s'écrit :
>@>@>@5725695171596057527132373z71IC995099
où z 1(/2) = z 0,995 = 2,575 est le quantile d'ordre 0,995 de la loi N(0,1).l'estimation par intervalle de confiance au niveau 99% du résultat moyen des handicapés mentaux est d'environ 69,5
à 72,5 ; la précision (ou marge d'erreur) de l'estimation à 99% est d'environ 1,5.Exercice 7
P={nouveaux-nés prématurés (nés avant 30 semaines de gestation)} X= score d'Apgar à 5 mn, variable quantitative de moyenne et d'écart-type inconnus dans PEchantillon de X issu de P de taille n=70
1) L'estimation ponctuelle de est donnée par la moyenne observée
1,870567x
le score d'Apgar moyen des nouveaux-nés prématurés est estimé à 8,1.52) L'estimation ponctuelle sans biais de la variance ² est donnée par la variance observée sans biais
25,3693,224
691,8704817*s
22l'estimation ponctuelle sans biais de l'écart-type est donnée par l'écart-type observé sans biais 8,125,3*s
la variance du score d'Apgar des nouveaux-nés prématurés est estimée à 3,25 et son écart-type à 1,8.
3) L'estimation par intervalle de confiance au niveau 90% (au risque =10%) de dans
P s'écrit :
95,0%90
où z 1(/2) =z 0,95 =1,645 est le quantile d'ordre 0,95 de la loi N(0,1). Cette approximation est justifiée car n=7030 donc la moyenne empirique nX suit approximativement une loi normale.
l'estimation par intervalle de confiance au niveau 90% du score moyen des nouveaux-nés prématurés est d'environ
7,75 à 8,45 (points de score) ; la précision (ou marge d'erreur) de l'estimation à 90% est d'environ 0,35 (point de
score).Exercice 8
P={enfants atteints d'otite moyenne avec écoulement (OME) bilatérale chronique} X= score de Reynell, variable quantitative de moyenne et d'écart-type inconnus dans PEchantillon de X issu de P de taille n=77
1) L'estimation ponctuelle de est donnée par la moyenne observée
35,07727x
le score de Reynell moyen des enfants atteints d'OME bilatérale chronique est estimé à -0,35.
2) L'estimation ponctuelle sans biais de la variance ² est donnée par la variance observée sans biais
1007,17653,76
7635,07786*s
22l'estimation ponctuelle sans biais de l'écart-type est donnée par l'écart-type observé sans biais 11*s
la variance du score de Reynell des enfants atteints d'OME bilatérale chronique est estimée à 1 et son écart-type à 1.
3) L'estimation par intervalle de confiance au niveau 95% (au risque =5%) de dans
P s'écrit :
975,0%95
où z 1(/2) = z 0,975 =1,96 est le quantile d'ordre 0,975 de la loi N(0,1). Cette approximation est justifiée car n=7730 donc la moyenne empirique nX suit approximativement une loi normale.
l'estimation par intervalle de confiance au niveau 95% du score de Reynell moyen des enfants atteints d'OME
bilatérale chronique est d'environ -0,57 à -0,13 (points de score) ; la précision (ou marge d'erreur) de l'estimation à
95% est d'environ 0,22 (point de score).
4) La marge d'erreur dans l'estimation du score moyen à 95%, donnée par la demi-longueur de l'intervalle IC
95%(), est de
0,22 pour un échantillon de taille n=77 ; pour obtenir une marge d'erreur (demi-longueur) plus faible, de 0,1, il faudra
donc plus d'enfants. Pour n inconnu, s*=1 et =5% connus, la demi-longueur de l'intervalle IC 95%() s'écrit : n196,1n*sz 975,0
on cherche n tel que : 1,0n196,1 c'est à dire n1,096,1 d'où 16,3841,096,1n 2
on choisira donc une taille d'échantillon au moins égale à 385 pour que la marge d'erreur dans l'estimation du score
moyen à 95% soit inférieure à 0,1.Exercice 9
P={électeurs}
1) X= intention de vote pour le candidat A, variable qualitative dichotomique : oui, non
p = proportion d'intentions de vote pour le candidat A dansP , p inconnue dans P
Echantillon de taille n=100 de X issu de P dont 52 intentions de vote pour le candidat A6La proportion p d'intentions de vote pour le candidat A dans
P est estimée par la fréquence observée
%5252,014052f la proportion d'intentions de vote pour le candidat A chez les électeurs est estimée à 52%.2) L'estimation par intervalle de confiance à 95% (au risque =5%) de p dans
P s'écrit :
975,095%
où zquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] intervalle de confiance student
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