FICHE : LIMITES ET ÉQUIVALENTS USUELS
Limites usuelles lnx x. −−−−−→ x→+∞. 0 x lnx −−−−−→ x→0+. 0 ln(x) x sin(f (x)) ∼ x→a f (x) tan(f (x)) ∼ x→a f (x) cos(f (x))−1 ∼ x→a ...
Feuille dexercices 10 Développements limités-Calculs de limites
(3 )4. 4! ne sert à rien puisque le développement limité de sin(2 ) commence par 2 . ) + cos( )sin(. . 4. ) = √2. 2 sin( ) +. √2. 2 cos( ). = √2. 2.
1. Limites
et cos(–x) = cos(x). Comme la limite à gauche est égale à la limite à droite sin(x)=sin( π. 3 )= √3. 2. Limite du quotient de deux fonctions. 1er cas ...
Limites et dérivées de fonctions trigonométriques
Question 2. Évaluer et simplifier les expressions suivantes. a) sin. (π. 2. ) b) cos. (7π.
I) Développements limités usuels
I) Développements limités usuels. Tous les DL usuels suivants sont au (cos(x) = (eix)) sin(x) = x. − x3. 3! + ... + (−1)n x2n+1. (2n + 1)!. + o(x2n+ ...
Tableaux des dérivées
%20primitives
Les Développements Limités
Exemple. Calculons le DL de la fonction f(x) = sin x/ cos x à l'ordre 3 au point 0. Comme
Limites usuelles fonctions trigonométriques pdf
(sin) cosinus (En mathématiques les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour) (cos) tangente (tg = sin/cos) (notée aussi ...
Tableaux des dérivées et primitives et quelques formules en prime
%20d%C3%A9riv%C3%A9es
Les fonctions sinus et cosinus - Lycée dAdultes
26 juin 2013 3.2 Application aux calculs de limites . ... sin′ x = cos x et cos′ x = − sin x. Remarque : On admettra ces ...
Les fonctions sinus et cosinus - Lycée dAdultes
26 juin 2013 3.2 Application aux calculs de limites . ... Remarque : ?x ? R ? 1 ? sin x ? 1 et ? 1 ? cos x ? 1. 2.2 Propriétés. 2.2.1 Parité.
FONCTIONS USUELLES
u Un certain nombre de limites usuelles doivent être connues : cos(x) = eix + e–ix. 2 sin(x) = eix – e–ix. 2i tan(x) = sin(x) cos(x).
FICHE : LIMITES ET ÉQUIVALENTS USUELS
FICHE : LIMITES ET ÉQUIVALENTS USUELS. Limites usuelles lnx x. ?????? x?+?. 0 x lnx ?????? cos(f (x))?1 ? x?a? (.
Développements limités
4. exp(sin(x)) à l'ordre 4. 5. sin6(x) à l'ordre 9. 6. ln(cos(x)) à l'ordre 6. 7. 1 cosx à l'ordre 4. 8. tanx à l'ordre 5 (ou 7 pour les plus courageux).
Les Développements Limités
Calculons le DL de la fonction f(x) = cos x. sin x à l'ordre 5 au point 0.Ona: sin x = x ? x3. 6.
DEVELOPPEMENTS LIMITÉS USUELS Le développement limité de
DEVELOPPEMENTS LIMITÉS USUELS. Le développement limité de MAC LAURIN au voisinage de x = 0 à l'ordre "n" pour une fonction "f" indéfiniment dérivable
Feuille dexercices 10 Développements limités-Calculs de limites
avec cos(0) = 1 ? 0 donc il suffit de déterminer les développements limités de sin( ) et de cos( ) à l'ordre 5 en 0. la division suivant les puissances
fonctions-usuelles.pdf
f(x)=cos(x) g(x)=sin(x) h(x)=tan(x)??. Page 3. D'autres fonctions usuelles a) Réciproques des fonctions limite en +? de p(x)= limite en +? de x24.
Recherche de la limite lorsque x tend vers 0 de la fonction f(x) =
Limite de sinx / x. 5. L'aire du triangle OAD est (cos . sin )/2 ; celle du secteur OAC est /2 et enfin l'aire du triangle OBC est (1 . tan )/2.
Développements limités
Nous verrons que toutes les fonctions usuelles admettent un développement limité Partez avec les développements limités de sin et cos à l'ordre 5 :.
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DERNIÈRE IMPRESSION LE26 juin 2013 à 15:06
Les fonctions sinus et cosinus
Table des matières
1 Rappels2
1.1 Mesure principale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Résolution d"équations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Signe des lignes trigonométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Fonctions sinus et cosinus3
2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2.1 Parité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2.2 Périodicité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2.3 De sinus à cosinus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Étude des fonctions sinus et cosinus4
3.1 Dérivées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.2 Application aux calculs de limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.3 Variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.4 Courbes représentatives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.5 Compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4 Application aux ondes progressives6
4.1 Onde sonore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.2 Harmoniques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
PAULMILAN1 TERMINALES
1 RAPPELS
1 Rappels
1.1 Mesure principale
Définition 1 :On appelle mesure principale d"un angleα, la mesurexqui se trouve dans l"intervalle]-π;π] Exemple :Trouver la mesure principale des angles dont les mesures sont :17π
4et-31π6
17π4estunmesuretropgrande(>π),ilfautdoncluienleveruncertainnombre
kde tours (2π) pour obtenir la mesure principale :17π
4-k2π=π(17-8k)4=π4aveck=2
-31π6est une mesure trop petite(?-π), il faut donc lui rajouter un certain nombrekde tours (2π) pour obtenir la mesure princimale :31π
6+k2π=π(-31+12k)6=5π6aveck=3
1.2 Résolution d"équations
Théorème 1 :Équations trigonométriques L"équation cosx=cosaadmet les solutions suivantes surR: x=a+k2πoux=-a+k2πaveck?Z L"équation sinx=sinaadmet les solutions suivantes surR: x=a+k2πoux=π-a+k2πaveck?Z Exemple :Résoudre dansRles équations suivantes : a)⎷2cosx-1=0 b) 2sinx-⎷3=0
a)⎷2cosx-1=0?cosx=1⎷2?cosx=cosπ4On obtient les solutions :x=π
4+k2πoux=-π4+k2πaveck?Z
b) 2sinx-⎷3=0?sinx=⎷3
2?sinx=sinπ3
On obtient les solutions :
x=π3+k2πoux=π-π3+k2π=2π3+k2πaveck?Z
PAULMILAN2 TERMINALES
1.3 SIGNE DES LIGNES TRIGONOMÉTRIQUES
1.3 Signe des lignes trigonométriques
Théorème 2 :On a sur]-π;π],
sinx>0?x?]0 ;π[ cosx>0?x??2;π2?
O0π
2 2π sinx>0 cosx>02 Fonctions sinus et cosinus
2.1 Définition
Définition 2 :À tout réelx, on as-
socie un point unique M du cercle unité ou cercle trigonométrique de centre O, dont les coordonnées sont :M(cosx; sinx)
sinx cosx xM O Définition 3 :On appelle fonctions sinus et cosinus les fonctions respectives : x?→sinxetx?→cosxRemarque :?x?R-1?sinx?1 et-1?cosx?1
2.2 Propriétés
2.2.1 Parité
Théorème 3 :D"après les formules de trigonométrie, La fonction sinus est impaire :?x?Rsin(-x) =-sinx La fonction cosinus est paire :?x?Rcos(-x) =cosx ConséquenceLa courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à l"origine, et la courbe représentative de la fonction cosinus est symé- trique par rapport à l"axe des ordonnées.PAULMILAN3 TERMINALES
3 ÉTUDE DES FONCTIONS SINUS ET COSINUS
2.2.2 Périodicité
Théorème 4 :D"après la définition des lignes trigonométriques dans le cercle, les fonctions sinus et cosinus sont 2πpériodiques :T=2π ?x?Rsin(x+2π) =sinxet cos(x+2π) =cosx ConséquenceOn étudiera les fonctions sinus et cosinus sur un intervalle de 2π, par exemple]-π;π].2.2.3 De sinus à cosinus
Théorème 5 :D"après les formules de trigonométrie, on a : sin 2-x? =cosxet cos?π2-x? =sinx Exemple :Résoudre dans l"intervalle]-π;π], l"équation suivante : sin x+π 4? =cosx On transforme par exemple le cosinus en sinus, l"équation devientalors : sin? x+π 4? =sin?π2-x? DansR, on trouve les solutions suivantes :x+π4=π2-x+k2π
x+π4=π-?π2-x?
+k2π?2x=π4+k2π
0x=π-π
2-π4+k2π
La deuxième série de solutions étant impossible, on trouve alors dansR x=π8+kπ
Dans l"intervalle]-π;π], on prendk=-1 etk=0 , soit les solutions x=-7π8oux=π8
3 Étude des fonctions sinus et cosinus
3.1 Dérivées
Théorème 6 :Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables surR: sin ?x=cosxet cos?x=-sinxRemarque :On admettra ces résultats.
PAULMILAN4 TERMINALES
3.2 APPLICATION AUX CALCULS DE LIMITES
Exemple :Déterminer la dérivée de la fonction suivante : f(x) =cos2x+cos2x La fonctionfest dérivable surRcar composée et produit de fonctions dérivables surR f ?(x) =-2sin2x-2sinxcosx =-2sin2x-sin2x =-3sin2x3.2 Application aux calculs de limites
Théorème 7 :D"après les fonctions dérivées des fonctions sinus et cosinus, on a : limx→0sinx x=1 et limx→0cosx-1x=0 ROCDémonstration :On revient à la définition du nombre dérivée en 0. sin ?0=limx→0sinh-sin0 h=limh→0sinhh or on sait que : sinquotesdbs_dbs2.pdfusesText_2[PDF] Les limites:Les limites limites
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