[PDF] Les fonctions sinus et cosinus - Lycée dAdultes





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FICHE : LIMITES ET ÉQUIVALENTS USUELS

Limites usuelles lnx x. −−−−−→ x→+∞. 0 x lnx −−−−−→ x→0+. 0 ln(x) x sin(f (x)) ∼ x→a f (x) tan(f (x)) ∼ x→a f (x) cos(f (x))−1 ∼ x→a ...



Feuille dexercices 10 Développements limités-Calculs de limites

(3 )4. 4! ne sert à rien puisque le développement limité de sin(2 ) commence par 2 . ) + cos( )sin(. . 4. ) = √2. 2 sin( ) +. √2. 2 cos( ). = √2. 2.



1. Limites 1. Limites

et cos(–x) = cos(x). Comme la limite à gauche est égale à la limite à droite sin(x)=sin( π. 3 )= √3. 2. Limite du quotient de deux fonctions. 1er cas ...



Limites et dérivées de fonctions trigonométriques Limites et dérivées de fonctions trigonométriques

Question 2. Évaluer et simplifier les expressions suivantes. a) sin. (π. 2. ) b) cos. (7π.



I) Développements limités usuels

I) Développements limités usuels. Tous les DL usuels suivants sont au (cos(x) = (eix)) sin(x) = x. − x3. 3! + ... + (−1)n x2n+1. (2n + 1)!. + o(x2n+ ...





Les Développements Limités

Exemple. Calculons le DL de la fonction f(x) = sin x/ cos x à l'ordre 3 au point 0. Comme 



Limites usuelles fonctions trigonométriques pdf Limites usuelles fonctions trigonométriques pdf

(sin) cosinus (En mathématiques les fonctions trigonométriques sont des fonctions d'angle importantes pour) (cos) tangente (tg = sin/cos) (notée aussi ...





Les fonctions sinus et cosinus - Lycée dAdultes

26 juin 2013 3.2 Application aux calculs de limites . ... sin′ x = cos x et cos′ x = − sin x. Remarque : On admettra ces ...



Les fonctions sinus et cosinus - Lycée dAdultes

26 juin 2013 3.2 Application aux calculs de limites . ... Remarque : ?x ? R ? 1 ? sin x ? 1 et ? 1 ? cos x ? 1. 2.2 Propriétés. 2.2.1 Parité.



FONCTIONS USUELLES

u Un certain nombre de limites usuelles doivent être connues : cos(x) = eix + e–ix. 2 sin(x) = eix – e–ix. 2i tan(x) = sin(x) cos(x).



FICHE : LIMITES ET ÉQUIVALENTS USUELS

FICHE : LIMITES ET ÉQUIVALENTS USUELS. Limites usuelles lnx x. ?????? x?+?. 0 x lnx ?????? cos(f (x))?1 ? x?a? (.



Développements limités

4. exp(sin(x)) à l'ordre 4. 5. sin6(x) à l'ordre 9. 6. ln(cos(x)) à l'ordre 6. 7. 1 cosx à l'ordre 4. 8. tanx à l'ordre 5 (ou 7 pour les plus courageux).



Les Développements Limités

Calculons le DL de la fonction f(x) = cos x. sin x à l'ordre 5 au point 0.Ona: sin x = x ? x3. 6.



DEVELOPPEMENTS LIMITÉS USUELS Le développement limité de

DEVELOPPEMENTS LIMITÉS USUELS. Le développement limité de MAC LAURIN au voisinage de x = 0 à l'ordre "n" pour une fonction "f" indéfiniment dérivable 



Feuille dexercices 10 Développements limités-Calculs de limites

avec cos(0) = 1 ? 0 donc il suffit de déterminer les développements limités de sin( ) et de cos( ) à l'ordre 5 en 0. la division suivant les puissances 



fonctions-usuelles.pdf

f(x)=cos(x) g(x)=sin(x) h(x)=tan(x)??. Page 3. D'autres fonctions usuelles a) Réciproques des fonctions limite en +? de p(x)= limite en +? de x24.



Recherche de la limite lorsque x tend vers 0 de la fonction f(x) =

Limite de sinx / x. 5. L'aire du triangle OAD est (cos . sin )/2 ; celle du secteur OAC est /2 et enfin l'aire du triangle OBC est (1 . tan )/2.



Développements limités

Nous verrons que toutes les fonctions usuelles admettent un développement limité Partez avec les développements limités de sin et cos à l'ordre 5 :.

Les fonctions sinus et cosinus - Lycée dAdultes

DERNIÈRE IMPRESSION LE26 juin 2013 à 15:06

Les fonctions sinus et cosinus

Table des matières

1 Rappels2

1.1 Mesure principale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Résolution d"équations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Signe des lignes trigonométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Fonctions sinus et cosinus3

2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2.1 Parité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2.2 Périodicité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2.3 De sinus à cosinus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 Étude des fonctions sinus et cosinus4

3.1 Dérivées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.2 Application aux calculs de limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.3 Variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.4 Courbes représentatives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.5 Compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4 Application aux ondes progressives6

4.1 Onde sonore. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4.2 Harmoniques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

PAULMILAN1 TERMINALES

1 RAPPELS

1 Rappels

1.1 Mesure principale

Définition 1 :On appelle mesure principale d"un angleα, la mesurexqui se trouve dans l"intervalle]-π;π] Exemple :Trouver la mesure principale des angles dont les mesures sont :

17π

4et-31π6

17π4estunmesuretropgrande(>π),ilfautdoncluienleveruncertainnombre

kde tours (2π) pour obtenir la mesure principale :

17π

4-k2π=π(17-8k)4=π4aveck=2

•-31π6est une mesure trop petite(?-π), il faut donc lui rajouter un certain nombrekde tours (2π) pour obtenir la mesure princimale :

31π

6+k2π=π(-31+12k)6=5π6aveck=3

1.2 Résolution d"équations

Théorème 1 :Équations trigonométriques •L"équation cosx=cosaadmet les solutions suivantes surR: x=a+k2πoux=-a+k2πaveck?Z •L"équation sinx=sinaadmet les solutions suivantes surR: x=a+k2πoux=π-a+k2πaveck?Z Exemple :Résoudre dansRles équations suivantes : a)⎷

2cosx-1=0 b) 2sinx-⎷3=0

a)⎷2cosx-1=0?cosx=1⎷2?cosx=cosπ4

On obtient les solutions :x=π

4+k2πoux=-π4+k2πaveck?Z

b) 2sinx-⎷

3=0?sinx=⎷3

2?sinx=sinπ3

On obtient les solutions :

x=π

3+k2πoux=π-π3+k2π=2π3+k2πaveck?Z

PAULMILAN2 TERMINALES

1.3 SIGNE DES LIGNES TRIGONOMÉTRIQUES

1.3 Signe des lignes trigonométriques

Théorème 2 :On a sur]-π;π],

sinx>0?x?]0 ;π[ cosx>0?x??

2;π2?

O0π

2 2π sinx>0 cosx>0

2 Fonctions sinus et cosinus

2.1 Définition

Définition 2 :À tout réelx, on as-

socie un point unique M du cercle unité ou cercle trigonométrique de centre O, dont les coordonnées sont :

M(cosx; sinx)

sinx cosx xM O Définition 3 :On appelle fonctions sinus et cosinus les fonctions respectives : x?→sinxetx?→cosx

Remarque :?x?R-1?sinx?1 et-1?cosx?1

2.2 Propriétés

2.2.1 Parité

Théorème 3 :D"après les formules de trigonométrie, •La fonction sinus est impaire :?x?Rsin(-x) =-sinx •La fonction cosinus est paire :?x?Rcos(-x) =cosx ConséquenceLa courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à l"origine, et la courbe représentative de la fonction cosinus est symé- trique par rapport à l"axe des ordonnées.

PAULMILAN3 TERMINALES

3 ÉTUDE DES FONCTIONS SINUS ET COSINUS

2.2.2 Périodicité

Théorème 4 :D"après la définition des lignes trigonométriques dans le cercle, les fonctions sinus et cosinus sont 2πpériodiques :T=2π ?x?Rsin(x+2π) =sinxet cos(x+2π) =cosx ConséquenceOn étudiera les fonctions sinus et cosinus sur un intervalle de 2π, par exemple]-π;π].

2.2.3 De sinus à cosinus

Théorème 5 :D"après les formules de trigonométrie, on a : sin 2-x? =cosxet cos?π2-x? =sinx Exemple :Résoudre dans l"intervalle]-π;π], l"équation suivante : sin x+π 4? =cosx On transforme par exemple le cosinus en sinus, l"équation devientalors : sin? x+π 4? =sin?π2-x? DansR, on trouve les solutions suivantes :x+π

4=π2-x+k2π

x+π

4=π-?π2-x?

+k2π?2x=π

4+k2π

0x=π-π

2-π4+k2π

La deuxième série de solutions étant impossible, on trouve alors dansR x=π

8+kπ

Dans l"intervalle]-π;π], on prendk=-1 etk=0 , soit les solutions x=-7π

8oux=π8

3 Étude des fonctions sinus et cosinus

3.1 Dérivées

Théorème 6 :Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables surR: sin ?x=cosxet cos?x=-sinx

Remarque :On admettra ces résultats.

PAULMILAN4 TERMINALES

3.2 APPLICATION AUX CALCULS DE LIMITES

Exemple :Déterminer la dérivée de la fonction suivante : f(x) =cos2x+cos2x La fonctionfest dérivable surRcar composée et produit de fonctions dérivables surR f ?(x) =-2sin2x-2sinxcosx =-2sin2x-sin2x =-3sin2x

3.2 Application aux calculs de limites

Théorème 7 :D"après les fonctions dérivées des fonctions sinus et cosinus, on a : limx→0sinx x=1 et limx→0cosx-1x=0 ROCDémonstration :On revient à la définition du nombre dérivée en 0. sin ?0=limx→0sinh-sin0 h=limh→0sinhh or on sait que : sinquotesdbs_dbs2.pdfusesText_2
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