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1

LIMITES DES FONCTIONS

Partie 1 : Limite d'une fonction à l'infini

1) Limite infinie en ∞

Définition :

On dit que la fonction admet pour limite +∞ en +∞, si ()est aussi grand que l'on veut pourvu que soit suffisamment grand. Remarque : On a une définition analogue en -∞.

Exemple :

La fonction définie par

a pour limite +∞ lorsque tend vers +∞.

On a par exemple :

100
=100 =10000 1000
=1000 =1000000 Les valeurs de la fonction deviennent aussi grandes que l'on veut dès que est suffisamment grand.

Remarques :

- Une fonction qui tend vers +∞ lorsque tend vers +∞ n'est pas nécessairement croissante. Par exemple : - Il existe des fonctions qui ne possèdent pas de limite infinie. C'est le cas des fonctions sinusoïdales. 2

2) Limite finie en ∞

Définition :

On dit que la fonction admet pour limite en +∞,

si ()est aussi proche de que l'on veut, pourvu que soit suffisamment grand et on

note : lim Remarque : On a une définition analogue en -∞.

Exemple :

La fonction définie par

=2+ a pour limite 2 lorsque tend vers +∞.

On a par exemple :

100
=2+ =2,01 10000
=2+ =2,0001 Les valeurs de la fonction se resserrent autour de 2 dès que est suffisamment grand. La courbe de la fonction "se rapproche" de la droite d'équation =2 sans jamais la toucher.

Définition : Si lim

=, la droite d'équation = est appelée asymptote horizontale

à la courbe de la fonction en +∞.

3

Remarques :

• Lorsque tend vers +∞, la courbe de la fonction "se rapproche" de son asymptote. • On a une définition analogue en -∞.

3) Limites des fonctions de référence

Propriétés :

- lim =+∞, lim - lim =+∞, lim - lim - lim 1 =0, lim 1 =0 - lim =+∞, lim =0

Partie 2 : Limite d'une fonction en un réel A

1) Définition

Définition :

On dit que la fonction admet pour limite +∞ en ,

si () est aussi grand que l'on veut pourvu que soit suffisamment proche de .

Exemple :

La fonction définie par

1

3-

+1 a pour limite +∞ lorsque tend vers 3.

On a par exemple :

2,99 1

3-2,99

+1=101

2,9999

1

3-2,9999

+1=10001

Les valeurs de la fonction deviennent aussi

grandes que l'on veut dès que est suffisamment proche de 3.

La courbe de la fonction "se rapproche" de la

droite d'équation =3 sans jamais la toucher. 4

Définition : Si : lim

=+∞ ou lim =-∞, la droite d'équation = est appelée asymptote verticale à la courbe de la fonction .

2) Limite à gauche, limite à droite :

Exemple :

Considérons la fonction inverse définie sur ℝ par La fonction admet des limites différentes en 0 selon que : >0 ou <0. Si >0 : Lorsque tend vers 0, () tend vers +∞ et on note : lim =+∞ou lim

On parle de limite à droite de 0

Si <0 : Lorsque tend vers 0, () tend vers -∞ et on note : lim =-∞ ou lim

On parle de limite à gauche de 0.

Méthode : Déterminer graphiquement des limites d'une fonction

Vidéo https://youtu.be/9nEJCL3s2eU

On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction . a) Lire graphiquement les limites en -∞, en +∞, en -4 et en 5. b) Compléter alors le tableau de variations de . 5

Correction

a) lim =5 lim =5 La courbe de admet une asymptote horizontale d'équation =5 en -∞ et +∞. lim La courbe de admet une asymptote verticale d'équation =-4. lim =+∞ et lim La courbe de admet une asymptote verticale d'équation =5. 2) -∞-425+∞ -∞-425+∞ +∞+∞ +∞5

56-∞

6

Partie 3 : Opérations sur les limites

1) Utiliser les propriétés des opérations sur les limites

peut désigner +∞, -∞ ou un nombre réel. SOMME lim lim lim F.I.* * Forme indéterminée : On ne peut pas prévoir la limite éventuelle. PRODUIT ∞ désigne +∞ ou -∞ lim ∞ 0 lim lim F.I. On applique la règle des signes pour déterminer si le produit est +∞ ou -∞. QUOTIENT ∞ désigne +∞ ou -∞ lim ≠0 0 lim ′≠0

0 ∞ ∞

0 lim ∞ 0 ∞ F.I. F.I. On applique la règle des signes pour déterminer si le produit est +∞ ou -∞. Méthode : Calculer la limite d'une fonction à l'aide des formules d'opération

Vidéo https://youtu.be/at6pFx-Umfs

Déterminer les limites suivantes : a)lim

-5

3+

b) lim

1-2

-3

Correction

a) lim -5

3+

F lim -5=-∞ lim =+∞lim

3+

Comme limite d'un produit : lim

-5

3+

7 b) lim

1-2

-3 lim

1-2=1-2×3=-5

lim -3=0

Une limite de la forme "

» est égale à " ∞ ».

Donc, d'après la règle des signes, une limite de la forme "

» est égale à " +∞ ».

D'où, comme limite d'un quotient : lim

1-2

-3

2) Cas des formes indéterminée (non exigible)

Comme pour les suites, on rappelle que :

Les quatre formes indéterminées sont, par abus d'écriture : ∞-∞0×∞ Méthode : Lever une forme indéterminée à l'aide de factorisations (1) - NON EXIGIBLE

Vidéo https://youtu.be/4NQbGdXThrk

Calculer : lim

-3 +2 -6+1

Correction

lim -3 +2 -6+1=? • F lim -3 lim

2

On reconnait une forme indéterminée du type "∞-∞". • Levons l'indétermination en factorisant par le monôme de plus haut degré : -3 +2 -6+1= M-3+ 2 6 1 N •lim 2 =lim 6 2 =lim 1 3 =0.

Donc, par limite d'une somme :

lim -3+ 2 6 1 =-3 •P lim -3+ 2 6 1 =-3 lim 8

Donc, par limite d'un produit :

lim M-3+ 2 6 1

N=-∞

Soit : lim

-3 +2 -6+1=-∞. Méthode : Lever une forme indéterminée à l'aide de factorisations - NON EXIGIBLE

Vidéo https://youtu.be/8tAVa4itblc

Vidéo https://youtu.be/pmWPfsQaRWI

Calculer : a) lim

2

2 -5+1

6

2 -5 b) lim

3

2 +2

4-1

Correction

a) • En appliquant la méthode précédente pour le numérateur et le dénominateur cela

conduirait à une forme indéterminée du type " • Levons l'indétermination en factorisant les monômes de plus haut degré :

2

-5+1

6

-5 2- 0 6- 2- 0 6- • lim 5 =lim 1 2 =lim 5 2 =0.

Donc, comme limite de sommes :

lim 2- 5 1 =2etlim 6- 5 =6 • Donc, comme limite d'un quotient : lim 2- 0 6- 2 6 1 3

Soit : lim

2

2 -5+1

6

2 -5 1 b) • Il s'agit d'une forme indéterminée du type " • Levons l'indétermination en factorisant les monômes de plus haut degré :

3

+2

4-1

3+ 4- 0 3+ 4- 0 • lim 1 =lim 2 2 =0

Donc, comme limite de sommes :

lim 3+ 2 =3etlim 4- 1 =4 9 • Donc, comme limite d'un quotient : lim 3+ 4- 0 3 4 • De plus, lim =-∞, donc, comme limite d'un produit : lim 3+ 4- 0

Soit : lim

3

2 +2

4-1

Méthode : Déterminer une asymptote

Vidéo https://youtu.be/0LDGK-QkL80

Vidéo https://youtu.be/pXDhrx-nMto

Soit la fonction définie sur ℝ∖ 1 par *2 Démontrer que la courbe représentative de la fonction admet des asymptotes dont on précisera la nature et les équations.

Correction

lim

1-=-∞ donc comme limite d'un quotient, on a : lim

-2

1-

=0.

On prouve de même que : lim

-2

1-

=0. On en déduit que la droite d'équation =0 est asymptote horizontale à la courbe représentative de en +∞ et en -∞. lim "→0

1-=0

donc comme limite d'un quotient, on a : lim "→0 -2

1-

Et lim

"→0

1-=0

donc comme limite d'un quotient, on a : lim "→0 -2

1-

On en déduit que la droite d'équation

=1 est asymptote verticale à la courbe représentative de . 10 Partie 4 : Calculs de limites par composition et comparaison

1) Composition de limites

Méthode : Déterminer la limite d'une fonction composée

Vidéo https://youtu.be/DNU1M3Ii76k

Vidéo https://youtu.be/f5i_u8XVMfc

Soit la fonction définie sur V

1 2 ;+∞X par : Y 2-quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46
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