PRIMITIVES ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. PRIMITIVES ET. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. Tout le cours sur les équations différentielles
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ÉQUATIONS
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. ÉQUATIONS. Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/WoTpA2RyuVU. TP info : Al Khwarizmi.
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Guide Math LibreOffice 3.5
26 août 2012 Un double-clic sur l'équation ouvrira à nouveau l'éditeur pour pouvoir modifier la formule. Les formules sont insérées en tant qu'objets OLE.
PRIMITIVES ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
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ÉQUATIONS POLYNOMIALES
Partie 1 : Équations du second degré dans ℂDéfinition : Soit , et c des réels avec ≠0 et un nombre complexe.
On appelle discriminant du trinôme ++, le nombre réel, noté Δ, égal à -4.Propriété :
- Si Δ > 0 : L'équation ++=0 a deux solutions réelles distinctes : et - Si Δ = 0 : L'équation ++=0 a une unique solution réelle : - Si Δ < 0 : L'équation ++=0 a deux solutions complexes conjuguées : etDémonstration :
On met le trinôme sous sa forme canonique (Voir cours de la classe de 1ère
2
-44
En posant Δ=
-4 : ++=02
4
≠02
4
- Si Δ > 0 :2
34
2
34
2
2
2
2
L'équation a deux solutions réelles : et - Si Δ = 0 : L'équation peut s'écrire :2
=0 L'équation n'a qu'une seule solution réelle : 2 - Si Δ < 0 : L'équation peut s'écrire :2
4
=-1)Donc :
2
34
2
34
4
>0)2
2
2
2
L'équation a deux solutions complexes :
et Méthode : Résoudre une équation du second degré dans ℂVidéo https://youtu.be/KCnorHy5FE4
Résoudre dans ℂ les équations suivantes : a) +5=0 b) +3+4=0Correction
a) +5=0 =-5 =5Donc : =
5 ou =-
5Les solutions sont donc
5 et -
5. b) On calcule de discriminant Δ du trinôme : Δ=3 -4×1×4=-7 Δ<0 donc l'équation admet deux solutions complexes conjuguées : et 3 2 7 2 3 2 7 2 Propriété : La somme S et le produit P des racines d'un polynôme du second degré de la forme ++ sont donnés par : =- et =Exemple :
On a vu dans la méthode précédente que l'équation +5=0 possède deux racines : 5 et - 5.Ainsi : =
5 -
5=0 et =
5×-
5D=5 En appliquant, les formules de la propriété, on retrouve ces résultats : 0 1 =0= 5 1 =5. z 2 +3z+4=0 3Partie 2 : Équations de degré n dans ℂ
1) Définition
Définition : Une fonction polynôme (ou polynôme) est une fonction de ℂ dans ℂ de la
forme , où ≠0) sont les coefficients réels de . L'entier est appelé le degré du polynôme . Propriété : Si une fonction polynôme est nulle, alors tous ses coefficients sont nuls.2) Racine d'un polynôme
Définition : Soit un polynôme . Un nombre complexe s'appelle racine de si
=0.Exemple :
Les nombres complexes et - sont les racines du polynôme +1. Théorème : Soit un polynôme définie par où est un entier supérieur ouégal à 2.
Alors il existe un polynôme de degré -1, tel queDémonstration au programme :
- Si =0 : C'est évident. - Si =1 :On a :
+⋯++1 1 +⋯++1 +⋯++1En soustrayant membre à membre, on a :
-1 +⋯++1 -1 - Si ≠0 quelconque : On remplace par / dans l'égalité ci-dessus : L -1MN +1O= -1Soit en multipliant chaque membre par
Il existe donc un polynôme
de degré -1, tel queCorollaire : Soit un polynôme de degré . Si est une racine complexe de , alors il existe
un polynôme de degré -1, tel que ()=Démonstration au programme :
Comme est une racine complexe de , on a : =0.Donc :
4 Or, pour tout compris entre 1 et , il existe un polynôme de degré -1, tel que :Donc :
Il existe donc un polynôme de degré -1, tel que : Corollaire : Un polynôme de degré admet au plus racines.Démonstration au programme :
Supposons que les nombres complexes
sont des racines deux à deux distincts du polynôme .Alors il existe un polynôme
tel que : ()=Or, 0=(
) et ≠0.Donc
=0.Ainsi, il existe un polynôme
tel que :Et donc :
En continuant ainsi avec des polynômes
, on obtient :D
On en déduit que le polynôme est de degré +é( Méthode : Factoriser un polynôme dont une racine est connueVidéo https://youtu.be/1Y-JtI6nNXU
Factoriser dans ℂle polynôme :
+4+4.Correction
est un polynôme de degré 3, il admet au plus 3 racines.On cherche une racine évidente de en testant des valeurs entières " autour de 0 ». On
peut tester également ou -. Il sera ensuite aisé de déterminer la ou les autres racines qui sont au plus au nombre de 2. On constate que =-1 est une racine évidente de : -1 -1 -1 +4 -1 +4=0 Donc, il existe un polynôme de degré 2, tel que : ()= +1On a donc :
+4+4= +1 +4+4= +1 +4+4= +4+4=Ainsi, en procédant par identification, on a :
Y =1 +=1 +=4 =4 soit Z =1 =0 =4 5On en déduit que :
+4.Or, il est possible de factoriser :
+4= -2 +2En effet :
On a ainsi : ()=
+1 -2 +2Méthode : Résoudre une équation de degré 3 à coefficients réels dont une racine est
connue.Vidéo https://youtu.be/KqghKmQ9gOk
Résoudre dans ℝ l'équation
-3+1=0.Correction
On pose
-3+1.On voit que =1 est une racine évidente de . Donc il existe un polynôme , de degré 2,
tel que : ()=(-1)().On a donc :
-3+1=(-1)() -3+1=(-1)( -3+1= -3+1=Ainsi, en procédant par identification, on a :
Y =1 -=1 -=-3 -=1 soit Z =1 =2 =-1Donc :
-1 +2-1L'équation
-3+1=0 peut s'écrire -1 +2-1 =0.Soit : -1=0 ou
+2-1=0 =1 Δ=8 -2- 8 2 =-1- 2 ou =-1+ 2 =^-1- 2;-1+ 2;1`quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46[PDF] Les matières colorés et la réaction chimique
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