Rappels de trigonométrie
I.1 Valeurs particulières III.2 Les fonctions arccos arcsin
Chapitre V Fonctions arcsin arccos
http://math.univ-lyon1.fr/~tchoudjem/ENSEIGNEMENT/L1/cours10.pdf
I Propriétés fondamentales
I.1 Valeurs particulières III.2 Les fonctions arccos arcsin
Nombres complexes
On voit sur le dessin qu'on a les valeurs particulières sui- arg(a + jb) = arctan ... Valeurs particulières : si a > 0 est un réel positif on a.
Fonction Carré
réponse : ? atan a pour primitive atan ?. 1. 2 ln(1 + 2). Propriétés algébriques et valeurs particulières : La fonction Arctan est impaire :.
Les fonctions circulaires réciproques
9 déc. 2020 2.3 Valeurs particulières. Remarquons que la fonction Arcsin réciproque d'une bijection impaire
SII-en-PCSI-coursSeul.pdf
La solution particulière est de la forme que e(t): le déphasage à l'origine y = - arctan(? · w) ... Quelques valeurs particulières de l'argument:.
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une courbe du plan caracterisée par le fait qu'à tout valeur æ € Dƒ Les fonctions réciproques arccos arcsin
Les fonctions de référence
1.2 Cas particuliers des applications de R dans R dérivables . Ensemble de définition et valeurs de cos(Arctan x) et sin(Arctan x). Solution.
Cours de mathématiques Partie II – Analyse MPSI 4
27 avr. 2014 Figure 1.12 – Tableau des valeurs particulières de Arctan Arcsin
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1 mar 2017 · En particulier la fonction sin : [??/2 ?/2] ? [?11] est valeurs intermédiaires pour tout ?1 ? y ? 1 il existe ??/2 ? x
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Car arctan est strictement croissante donc 0 < arctan ( Pour les valeurs où cela ne pose pas de problème calculer ?( ) en déduire les variation
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Visualiser ou dessiner le cercle est un très bon moyen pour se souvenir des propriétés des fonctions trigonométriques I 1 Valeurs particulières
Etude des fonctions arccos arcsin et arctan - Méthode Maths
3 valeur particulières sont visibles sur la courbe : arccos(-1) = ? arccos(0) = ?/2 arccos(1) = 0 Ces valeurs sont évidemment les mêmes que celles que l'on
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La fonction Arctan est impaire La démonstration de ce théorème est identique à la démonstration du théorème 14 page 21 Valeurs usuelles de la fonction
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2°) La calculatrice permet d'obtenir une valeur approchée de l'Arctangente de n'importe quel réel Sur la calculatrice on doit se placer en mode « radian »
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Calculer arctanx+arctan 1 x pour x réel non nul 3 Calculer cos(arctana) et sin(arctana) pour a réel donné 4 Calculer pour a et b réels tels que ab = 1
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3 sept 2018 · 6 3 Fonction Arctangente (a) Sur la première ligne les valeurs particulières de x définition puis des valeurs particulières
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Les valeurs de ces fonctions sont choisies dans l'intervalle donné pour ?; on appelle cette valeur la valeur principale a) arcsin(y) = ? ?? sin(?) = y avec
Groupe-cours 51 MAT1112 - Calcul I
VivienRipoll
Rappels de trigonométrieI Propriétés fondamentales On considère un triangle rectangle, et un de ses angles non droits. cos=côté adjacenthypothénuse ; sin=côté opposéhypothénuse ; tan=sincos=côté opposécôté adjacent Sur lecercle trigonométrique(cercle de centre(0;0)et de rayon1), on définit la mesure d"un angle (en radians) comme la longueur de l"arc de cercle décrivant cet angle.(cos;sin) sont alors les coordonnées du pointMcorrespondant à l"angle. Ettanest l"ordonnée du point d"intersection de la droite(OM)avec la droite d"équationx= 1(tangente au cercle). Visualiser ou dessiner le cercle est un très bon moyen pour se souvenir des propriétés des fonctions trigonométriques.I.1 Valeurs particulières0
6 4 3 2 sin01 2p2 2p3 21cos1p3 2p2 21
20 tan01p31p3non défini
Moyen mnémotechnique : la ligne dessinse litp0
2 ;p1 2 ;p2 2 ;p3 2 ;p4 2 ; la ligne descosest dans l"autre sens. Application pratique :couper un gâteau en 6 parts égales en utilisantcos3 =12I.2 Propriétés analytiques
cosetsinsont définies surR,2-périodiques, et bornées (entre1et1). cosest paire,sinest impaire. tanest définie surRnf2 +k;k2Zg, elle est impaire et-périodique.Limites : à droite :limx!(2
+k)+tanx=1;à gauche :limx!(2 +k)tanx= +1. Dérivées :cos(x)0=sinx; sin(x)0= cosx; tan(x)0= 1 + tan2x=1cos 2x.Tracé des courbes.(à connaître)
1II Formules de trigonométrie
II.1 Formules basiques :
La série de formules suivante est à savoir absolument, et se retrouve facilement en visualisant
le cercle trigonométrique : cos(x) = cosxcos(x) =cosxcos(+x) =cosx sin(x) =sinxsin(x) = sinxsin(+x) =sinx tan(x) =tanxtan(x) =tanxtan(+x) = tanx cos( 2 x) = sinxsin(2 x) = cosxtan(2 x) =1tanx= cotanxRappelons également :cos
2x+ sin2x= 1II.2cosetsind"une somme
Les formules suivantes sont très utiles; il faut connaître au moins celles marquées (*), et savoir retrouver les autres rapidement à partir de celles-ci. cos(a+b) = cosacosbsinasinb() cos(ab) = cosacosb+ sinasinb sin(a+b) = sinacosb+ sinbcosa() sin(ab) = sinacosbsinbcosa cos2x= cos2xsin2xsin2x= 2sinxcosx = 2cos 2x1 = 12sin2x cos2x=1 + cos2x2
sin2x=1cos2x2 Les formules pour la fonctiontanse retrouvent à partir de celles pour lescosetsin: tan(a+b) =tana+ tanb1tanatanbtan(ab) =tanatanb1 + tanatanbII.3 Linéarisation et factorisation
On déduit de la série précédente les formules de linéarisation d"un produit decosousin.
cosacosb=12 (cos(ab) + cos(a+b)) sinasinb=12 (cos(ab)cos(a+b)) sinacosb=12 (sin(ab) + sin(a+b)) En posantp=abetq=a+bdans les formules précédentes, on obtient les formules de factorisation de sommes decosousin: cosp+ cosq= 2cosp+q2 cospq2 cospcosq=2sinp+q2 sinpq2 sinp+ sinq= 2sinp+q2 cospq2 2III Fonctions trigonométriques réciproques
III.1 Rappels sur les fonctions réciproques
SoientI,Jdeux intervalles, etf:I!June fonction d"une variable. On suppose quefest bijective(c"est-à-dire : pour touty2J, il existe un uniquex2Itel quef(x) =y). Alorsfadmet unefonction réciproque, notéef1. C"est l"unique fonctiongtelle que :8x2I; g(f(x)) =xet8y2J; f(g(y)) =y :
On a, pourx2Iety2J:y=f(x),x=f1(y).
On peut montrer que, sifest une fonction dérivable sur[a;b]telle quef0(x)>0pour tout x2]a;b[, alorsfinduit une bijection de[a;b]vers[f(a);f(b)]. De même, sif0(x)<0pour tout x2]a;b[, alorsfinduit une bijection de[a;b]vers[f(b);f(a)]. Dérivée de la fonction réciproque.Sif:I!Jest bijective, et sif0(x)6= 0pour toutx2I, alorsf1est dérivable surJet f1(x)0=1f
0(f1(x)):
Démonstration :Il suffit d"écriref(f1(x)) =xet de dérivée terme à terme en utilisant la
dérivation d"une fonction composée; on obtientf0(f1(x))f1(x)0= 1. Ex. : ln : ]0;+1[!Rest la réciproque deexp :R!]0;+1[. La fonctionx7!px, deR+dansR+, est la réciproque de larestrictionàR+de la fonction x7!x2(et elle n"est dérivable que surR+). La fonctionx7!3px, deRdansR, est la réciproque de la fonctionx7!x3(elle n"est dérivable que surR). Propriété des courbes.Le graphe def1est lesymétriquedu graphe defpar rapport à la droitey=x.III.2 Les fonctionsarccos,arcsin,arctan
(a) La fonctionx7!cosxinduit une bijection de[0;]vers[1;1]. Sa réciproque est appelée la fonctionarccosinus:arccos : [1;1]![0;]. Pourx2[1;1],arccosxest égal à l"unique angledans[0;]tel quecos=x.On a donc :8x2[1;1];cos(arccosx) =x.
Attention :par contrearccos(cos)n"est pas forcément égal à(c"est égal àseulement quand2[0;]). Dérivée :la fonctionarccosest dérivable sur]1;1[, et8x2]1;1[;arccos(x)0=1p1x2:
(Ceci est utile pour calculer des primitives de fonctions faisant intervenir des racines.) Démonstration :pour2]0;[,cos()0=sin6= 0donc pourx2]1;1[(d"après la formule générale de la dérivée de la réciproque) :arccos(x)0=1sin(arccosx). Soit= arccosx:2]0;[doncsin >0etsin=p1cos2=p1cos2(arccosx) =p1x2, et on peut
conclure. 3 (b) La fonctionx7!sinxinduit une bijection de[2 ;2 ]vers[1;1]. Sa réciproque est appelée la fonctionarcsinus:arcsin : [1;1]!h 2 ;2 i. Pourx2[1;1],arcsinxest égal à l"unique angledans[2 ;2 ]tel quesin=x.On a donc :8x2[1;1];sin(arcsinx) =x.
Attention :par contrearcsin(sin)n"est pas forcément égal à(c"est égal àseulement quand2[2 ;2 Dérivée :la fonctionarcsinest dérivable sur]1;1[, et8x2]1;1[;arcsin(x)0=1p1x2:
Démonstration :pour2]2
;2 [,sin()0=cos6= 0, donc pourx2]1;1[, arcsin(x)0=1cos(arcsinx). Soit= arcsinx:2]2 ;2 [donccos >0etcos= p1sin2=p1sin2(arcsinx) =p1x2, et on peut conclure. Remarque :on note quearcsin(x)0+arccos(x)0= 0, donc que la somme de ces deux fonctions est constante sur l"intervalle]1;1[. En fait on a :8x2[1;1];arcsinx+ arccosx=2 (c) La fonctionx7!tanxinduit une bijection de]2 ;2 [versR. Sa réciproque est appelée la fonctionarctangente:arctan :R!i 2 ;2 h. Pourx2R,arctanxest égal à l"unique angledans]2 ;2 [tel quetan=x.On a donc :8x2R;tan(arctanx) =x.
Attention :par contrearctan(tan)n"est pas forcément égal à(c"est égal àseulement quand2]2 ;2 Dérivée :la fonctionarctanest dérivable surR, et8x2R;arctan(x)0=11 +x2:
(Ceci est très utile pour calculer des primitives de fractions rationnelles.)Démonstration :pour2]2
;2 [,tan()0= 1 + tan26= 0donc pourx2R, arctan(x)0=11 + tan2(arctanx)) =11 +x2.
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