[PDF] Devoir à rendre la première séance de la semaine du 12 novembre

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L1 Math Parcours Spécial Automne 2019

Devoir à rendre la première séance de la semaine du 12 novembre Il est fortement conseillé de traiter les différentes parties du devoir dans l"ordre. Les parties I, II et III sont obligatoires, et les parties IV et V facultatives.

I - Fonction arctan

On définit la fonctionarctan :R→]-π2

,π2 [comme la réciproque de la fonction tan: ]-π2 ,π2 [→R. 1. Dessiner le graph ede la fonction tanxsur l"intervalle[-2π,2π], puis le graphe de la fonctionarctanxsurR. Justifier en une phrase le choix de l"intervalle ]-π2 ,π2 [dans la définition dearctan. 2. Donner un exemple d "unréel xtel quearctan(tanx)?=x, puis donner une condition nécessaire et suffisante surxpour quearctan(tanx) =x. 3. Justifier p ourquoila form uletan(arctanx) =xest vraie pour toutx?R, et en déduire une expression de la dérivée dearctanx. (On pourra commencer par rappeler les expressions des dérivées(tanx)?et(f◦g)?). 4.

Calculer la dériv éede arctan(1x

), et en déduire que pour toutx?]0,+∞[on a arctanx+arctan(1x ) =cpour une constantecque l"on déterminera. Que dire de la fonctionx?→arctanx+ arctan(1x )sur l"intervalle]- ∞,0[?

II - Formule de Machin

John Machin

(1680-1751) e stun mathématicien anglais conn up oura voircalculé, en 1706, 100 décimales du nombreπgrâce à la formule que nous allons obtenir dans cette partie. 1. On admet ici les form ulestrigonométriques (on les mon treradans la partie V): cos(a+b) = cosacosb-sinasinbetsin(a+b) = cosasinb+ cosbsina. En déduire la formuletan(a+b) =tana+ tanb1-tanatanb. 2.

P osonsu= arctan(15

). Déduire de la formule précédente que tan2u=512 ettan4u=120119 3.

P osonsv= 4u-π4

. Montrer quetanv=1239 4. Estimer la v aleurde và l"aide d"une calculatrice, puis établir la formule de

Machin :π4

= 4arctan15 -arctan1239 (Question facultative: comment faire sans calculatrice ?)

III - Développement limité dearctanx

1. Soit n≥1un entier, etx?]-1,1[. Donner une expression simple pour le produit (x-1)(1 +x+x2+···+xn) 2. En déduire les dév eloppementslimité sen 0:

11-x= 1 +x+···+xn+o(xn)et11 +x2= 1-x2+···+ (-1)nx2n+o(x2n)

3. Si g:I→Rest une fonction dérivable sur un intervalleIcontenant0, et g(0) = 0, montrer que pour toutx >0dansIil existec?]0,x[tel que g(x) =xg?(c). 4. Soit Iun intervalle contenant0, etf:I→Rune fonction infiniment dérivable. Supposons que la dérivéef?(x)admet un développement limité en 0 de la forme f ?(x) =a0+a1x+a2x2+···+anxn+o(xn). Montrer quef(x)admet un développement limité de la forme f(x) =f(0) +a0x+a12 x2+···+ann+ 1xn+1+o(xn+1) (Indication: on pourra appliquer la question précédente à la fonctiong(x) = f(x)-f(0)-(a0x+a12 x2+···+ann+1xn+1)). 5. En déduire le dév eloppementl imitéà l"ordre nen0dearctanx.

IV - Approximation deπ

On admet que pour tout réelx?]-1,1[, le développement limité à l"ordrende arctanxen 0 tend versarctanxquandntend vers∞. Dans toute cette partie il faut s"aider d"une calculatrice ou d"un ordinateur : on conseille une console python, qui permet de manipuler des fractions après avoir effectuéfrom fractions import

Fraction.

1. Calculer les dév eloppementslimités de arctan15 etarctan1239

à l"ordren= 1,

3 et 5 obtenus en III-4, et en déduire des approximation deπà l"aide de II-4.

2. Com biende c hiffresaprès la virgule son tcorrects dans c haquecas ? On rapp elle les premières décimales deπ:3.141592653589793238462643383279... 3. A quel ordre nJohn Machin a-t-il dû calculer (à la main !) les approximations pour obtenir 100 décimales deπcorrectes ?

V - Formules d"addition trigonométriques

1. Si Rθest la rotation du plan euclidien de centre(0,0)et d"angleθ, et(x,y)? R

2, exprimer les coordonnées des pointsRθ(x,0),Rθ(0,y)etRθ(x,y), images

respectives de(x,0),(0,y)et(x,y)par la rotationRθ. Placer tous ces points sur un dessin. 2. Si a,b?R, exprimer l"image du point(1,0)par la rotationRa, puis l"image de ce pointRa(1,0)par la rotationRb. 3. Justifier l"égali téRa+b=Rb◦Ra, et en déduire les formules pourcos(a+b)et sin(a+b)utilisées en II-1.

Corrigé

I - Fonction arctan

1. La fonction x?→tanxest bijective de l"intervalle]-π/2,π/2[versR, on peut donc considérer la bijection réciproque qui va être une bijection deRvers ]-π/2,π/2[.Figure 1: Les graphes detanxetarctanx(source: Wikipedia) 2. P arexemple x=πconvient. On atanπ= 0, maisarctan(0) = 0?=π. La condition nécessaire est suffisante pour quearctan(tanx) =xestx?]-π/2,π/2[. 3. Étan tdonné x?R, par définitiony= arctanxest l"unique réel dans l"intervalle ]-π/2,π/2[tel quetany=x. Calculons la dérivée. Tout d"abord commetanx= sinx/cosx, on a (tanx)?=cosx·cosx-(-sinx)·sinxcos

2x= 1 + tan2x.

Par ailleurs sif◦gest une composition de fonction dérivable alors (f◦g)?= (f?◦g)·g?. En appliquant cette formule àf= tanetg= arctanon en déduit

1 = (x)?= tan(arctanx) = (1+tan2(arctanx))·(arctanx)?= (1+x2))·(arctanx)?,

et finalement (arctanx)?=11 +x2.

4.A nouv eaupar la form uledonnan t(f◦g)?on a, pour toutx?= 0:

(arctan( 1x ))?=11 + (1/x)2·-1x 2=x2x

2+ 1·-1x

2=-11 +x2=-(arctanx)?.

Ainsi la fonctionx?→arctanx+ arctan1x

est de dérivée nulle surR?, et donc est constante sur tout intervalle où elle est définie. En particulier elle est constante sur chacun des intervalles]0,+∞[et]- ∞,0[.

Commetanπ4

= 1, on aarctan1 =π4 , et donc la fonctionarctanx+ arctan1x prend la valeurc=π/2enx= 1, et donc également sur tout l"intervalle]0,+∞[.

De même on calculetan-π4

=-1, d"où la fonctionarctanx+ arctan1x prend la valeur-π/2enx=-1, et donc également sur tout l"intervalle]- ∞,0[.

II - Formule de Machin

1.

A partir des form ules

cos(a+b) = cosacosb-sinasinbetsin(a+b) = cosasinb+ cosbsina. on obtient (diviser parcosacosben haut et en bas pour la dernière égalité) : tan(a+b) =sin(a+b)cos(a+b)(1) cosasinb+ cosbsinacosacosb-sinasinb(2) tana+ tanb1-tanatanb(3) 2.

P osonsu= arctan(15

). Ainsiuest l"unique réel dans]-π/2,π/2[tel que tanu=15 . La formule de la question 1 implique tan2u=2tanu1-tan2u=2/524/25=512 tan4u=2tan2u1-tan22u=10/12119/144=120119 3.

P osonsv= 4u-π4

. Remarquons quetanπ4 = 1, et quetan(-x) =-tanx pour toutxoù la fonctiontanest définie. La formule de la question1 donne alors tanv=tan4u-tanπ4

1 + tan4utanπ4

=1/119239/119=1239 4.

P ardéfinition on a

π4 = 4u-v= 4arctan15 -v, il s"agit donc de montrer v= arctan1239 . Comme tanv=1239 = tan(arctan1239 il suffit de montrer quev?]-π2 ,π2 [, carvet1239 seront alors deux nombres dans]-π2 ,π2 [admettant la même tangente, donc égaux. Une estimation à l"aide d"une calculatrice donnev?0.004, donc on a bien v?]-π2 ,π2 [, et on conclutv=1239

III - Développement limité dearctanx

1. Soit n≥1un entier. En développant on obtient (x-1)(1 +x+x2+···+xn) =xn+1-1 2. De la form uleprécéden teon déduit, p ourtou tx?= 1:

1 +x+x2+···+xn=xn+1-1x-1=xn+1x-1+11-x.

Mais xn+1x-1=xnxx-1=o(xn), d"où

11-x= 1 +x+x2+···+xn+o(xn)

En substituantxpar-x2, on obtient

11 +x2= 1-x2+x4+···+ (-1)nx2n+o(x2n)

3. Si g:I→Rest une fonction dérivable sur un intervalleIcontenant0, et g(0) = 0, le théorème des accroissements finis appliquée à la fonctiongsur l"intervalle[0,x]donne l"existence d"unc?]0,x[tel que g(x)-g(0)x-0=g?(c) d"oùg(x) =xg?(c)puisque on supposeg(0) = 0. 4.

P osonsg(x) =f(x)-f(0)-(a0x+a12

x2+···+ann+1xn+1), il s"agit de montrer queg(x) =o(xn+1). On calcule la dérivée : g ?(x) =f?(x)-(a0+a1x+a2x2+···+anxn) =xnε(x) aveclimx→0ε(x) = 0, par hypothèse. Par la question précédente pour tout x >0proche de0on a g(x) =xg?(c(x)) pour un certainc(x)?]0,x[. Doncg(x) =xc(x)nε(c(x)), et commelimx→0c(x) =

0(théorème des gendarmes) etc(x)x

?[0,1], on en déduit g(x) =xn+1cnx nε(c(x)) =o(xn+1) carlimx→0c(x)nx nε(c(x)) = 0 5. On déduit de la question précéden tele dév eloppementlimité à l"ordre 2n+

1en0dearctanx, en intégrant terme à terme le développement limité de

(arctanx)?=11+x2à l"ordre2nobtenu à la question 2, et en remarquant que arctan0 = 0: arctanx=x-x33 +x55 - ···+ (-1)nx2n+12n+ 1+o(x2n+1).

IV - Approximation deπ

1.On utilise la form uleπ= 16arctan15

-4arctan1239 obtenue en III-4, et on en déduit des approximations deπen approchant les termes enarctanpar un développement limité à l"ordren.

A l"ordren= 1:

π?1615

-41239 =38041195 ?3.18326.

A l"ordren= 3:

π?16(15

-13·53)-4(1239 -13·2393) =53593970321706489875 ?3.1405970293.

A l"ordren= 5:

π?16(15

-13·53+15·55)-4(1239 -13·2393+15·2395)

3827924171333968412184551018734375

?3.141621 2. En comparan ta vecles pre mièresdécimale sde π= 3.141592653589793238462643383279..., on voit qu"on a obtenu : •1 décimale correcte à l"ordren= 1, •2 décimales correctes à l"ordren= 3, •3 décimales correctes à l"ordren= 5. 3. A vecun p etitscript p ythonqui teste les appro ximationsune par une, et en remarquant que les approximations oscillent successivement au dessus et au dessous deπ, on trouven= 139.

Un exemple de script:

from fractions import Fraction import math def arctan(x, n): result = x k = 1 sign = 1 while k <= n: k += 2 sign *= -1 result += sign * x**k / k return result def pi_par_machin(n): return 4*(4*arctan(Fraction(1,5), n) - arctan(Fraction(1,239), n)) delta = Fraction(1,10**100) n = 1 while abs(pi_par_machin(n+2) - pi_par_machin(n)) > delta: n += 2 print(n)

V - Formules d"addition trigonométriques

1. Si Rθest la rotation du plan euclidien de centreOet d"angleθ, et(x,y)?R2, on a R

θ(x,0) = (xcosθ,xsinθ)

R

θ(0,y) = (-ysinθ,ycosθ)

d"où R

θ(x,y) = (xcosθ-ysinθ,xsinθ+ycosθ)

2.

Si a,b?R, par la question précédente on a

R a(1,0) = (cosa,sina) et R b(Ra(1,0)) = (cosacosb-sinbsina,cosasinb+ sinacosb).quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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