[PDF] Développements limités usuels en 0
Le problème réciproque est lui sans difficulté : si x = Arcsin ? alors sin x = ? 2 Propriétés Arcsin x Arccos x Arctan x Arccot x Ensemble de
[PDF] Les Développements Limités
dit que f admet un développement limité à l'ordre n en x0 admet un DL au point 0 à l'ordre n avec dans ce cas ?(x) = ?x arctan (x) =
[PDF] Chapitre V Fonctions arcsin arccos arctan 1 Définitions 2 Propriétés
tend vers 0 Donc les deux suites ont la même limite qui est forcément ?/4 car pour tout n : u2n+1 ? arctan 1 =
[PDF] Développements limités
FiGURe 5 – Fonction ln et ses polynômes de Taylor en 0 jusqu'à l'ordre n = 5 La primitive nulle en 0 est arctan(x) : arctan(x) = x ? x3 3
[PDF] 254 Compléments (fonctions trigonométriques inverses)
Comme 0? ? 2 ? y ?? on obtient arcsin(x)+arccos(x)= y + arcos(cos( ? 2 ? y)) = ? 2 III La fonction arctan: la fonction tangente est monotone
[PDF] Recherche de la limite lorsque x tend vers 0 de la fonction f(x) =
rechercher cette dérivée on a utilisé la lim Cette démonstration est donc difficilement acceptable Page 3 Limite de sinx / x 3
[PDF] Développements limités = - ptsi-deodat
(d) DL5(1) avec f(x) = Arctan(x); (e) DL3(?/3) avec f(x) = sin(x) Quelques développements limité à l'ordre n en 0 Exercice 5 : [corrigé]
[PDF] Formule de Taylor développements limités applications
o`u ? tend vers 0 lorsque x tend vers x0 0 On peut donc se ramener tr`es facilement `a un développement limité au voisinage de 0 arctan(x) = x ?
[PDF] Révision des équivalents et des développements limités - PAESTEL
h(x) = 0 mais h n'admet pas de limite en 0 (c'est-à-dire que lim x?0 On peut aussi trouver le DL en 0 de arctan et de arcsin grâce à : (arctan) (x) = 1
[PDF] Développements limités usuels en 0
Le problème réciproque est lui sans difficulté : si x = Arcsin ? alors sin x = ? 2 Propriétés Arcsin x Arccos x Arctan x Arccot x Ensemble de
[PDF] developpements limités usuels
DEVELOPPEMENTS LIMITÉS USUELS Le développement limité de MAC LAURIN au voisinage de x = 0 à l'ordre "n" pour une fonction "f" indéfiniment dérivable
[PDF] Les Développements Limités
En intégrant on obtient arctan(x) ? arctan(0) = x ? 1 3 x3 + 1 5 x5 + x5?2(x) Dérivation des DL Si f : I ? R admet un DLn+1(0) et f est de classe Cn+1
[PDF] Chapitre V Fonctions arcsin arccos arctan 1 Définitions 2 Propriétés
1 mar 2017 · On note arccos : [?11] ? [0?] la fonction réciproque i e si ?1 ? x ? 1 alors y = arccosx ? cosy = x ET 0 ? x ? ? 1 3 arctan
[PDF] Développements limités
28 mar 2017 · FiGURe 5 – Fonction ln et ses polynômes de Taylor en 0 jusqu'à l'ordre n = 5 La primitive nulle en 0 est arctan(x) : arctan(x) = x ?
[PDF] Tableaux (formulaires fonctions usuelles dérivées primitives - 2013
%2520d%25C3%25A9riv%25C3%25A9es
Développement limité de arctan x en 0 - Démonstration
4 juil 2020 · Math-Linux com Knowledge base dedicated to Linux and applied mathematics Accueil > Mathématiques > Développements limités > Développement
[PDF] Développements limités - Exo7 - Exercices de mathématiques
Quelle relation lie xn et arctan(xn) ? 3 Donner un DL de xn en fonction de n à l'ordre 0 pour n ? ? 4 En reportant dans la relation trouvée en 2
[PDF] Développements limités - Exo7 - Cours de mathématiques
Donc ?(x) ? 0 quand x ? a Exemple 10 Calcul du DL de arctan x On sait que arctan? x = 1 1+
0h(x) =`???? ?? ??? ??`2R???`2C? ?
[8" >0;9 >0;8x2]x0r;x0[; x0 < x < x0) jh(x)`j< "]: x!x+0h(x) =l????? ??? ???? ?????
??lim x!x0h(x) =1:
?????? ??x0?? ?? ??? ???? ?????? ??x0? ????`2[1;+1]??`2C? ]x0r;x0+r[nfx0g? ?? ???? ???h???? ????l???????x???? ????x0? lim x!x0h(x) =l??lim
x!x+0h(x) =l;
8" >0;9 >0;8x2]x0r;x0+r[;0 x!x 0h(x) =l?
x!x+ 0h(x) =l?
??????? ?????h?????? ???h(x) = 0??x6= 0??h(0) = 1? lim lim BY: C x lim ???? ?? ??? ??f??g???? ??????? ??x0? ?? ??????? ?? ???? ??? fx0g,8 :lim x!x0x6=x0f(x)g(x)= 1 (f(x0) =g(x0)??f??g???? ??????? ??x0?? ?? ?? ???? ??????? ??? ?????(wn)?????? ????n????? ????? ????? ??? ? lim u n+1vn,limn!+1u nv n= 1: lim BY: C f?????? ???R+???f(x) =xx+ 1? ???? ??????1??+1????f+11? ??? sinx0x? tanx0x?1cosx0x 22
ln(1 +x)0x? e x10xln(x)1x1? ????2R: (1 +x)10x: ??P(x) =adxd+ad+1xd+1++anxn????ad6= 0??an6= 0?(d;n)2N2??? f(x)f(x0)x0f0(x0)(xx0): ??fx0g?? ??limx!x0x6=x0f(x) =l(l2[1;+1]??l2C)?????limx!x0x6=x0g(x) =l BY: C x x ????fg?? ????fg ?? ?? ???? ??? ?? ????? ????f+g? f(x) =xx2??g(x) =x+x3? ?? ? ?????f0x?0x??0x2? ??fx0g? ??2R??n2N?????fnx0gn??jfjx0jgj? ln(1 +x)0x?? ????? ? ??fx0g;????? ??????? ???? ?'fx0'g? ?? ??????? ? ???????f(x) =1x+x2??g(x) =1x ?????f0g????x!ef(x)?? f(x)g(x)=xx+x2=11 +x!x!01????f0g: BY: C exp(f(x))exp(g(x))=ef(x)g(x)=e1x+x21x 1x+x21x
=x2x(x+x2)=11 +x!x!01 ??????? ? ???un+1vn?? ??limn!+1un= +1?????lnun+1lnvn? ?? ???? ? u ?? ???? ???? ??????? ????n????? ????? ? lnunlnvn=lnu nv n + ln(vn)ln(vn)=lnu nv nln(vn)+ 1: ??limn!+1lnu nv n = 0??limn!+1ln(vn) = +1? ???? ?limn!+1lnunlnvn= 1?? ????lnun+1lnvn? ??f(x) =sinxtanx(?x1)2 ??f(x) =sinx+ cosxtanx1x 2 ??f(x) =cosxpcos(2x)sin 2(x)??f(x) =?sin(2x)?sin(x)tanx
??f(x) =?2xln(?+x)x 3+ sin(x)cos(x)
??f(x) =(ln(cosx))2x(sinxtanx) ??a >0?f(x) =pxpa+pxapx BY: C ??a= 1?f(x) =1x1p1cos(x2 ??a=3 ?f(x) =sin(x)p3cos(x)2cos(x)1 y=xx36 +x5120 ?? ?? ?????y=xx36 +x5120 +x75040 ?xy 2 21
10 lim ???? ?? ??? ??f??g???? ??????? ??x0? ?? ??????? ?? ???? ??? f(x0) = 0: lim BY: C u ????n????? ????? ????? ??? ? ? lim u n=+1o(vn),limn!+1u nv n= 0: lim x!x0x6=x0"(x) = 0: ?? ? ???? ?limx!x0x6=x0o(1) = 0: x BY: C ??f1=x0o(g)?? ??f2=x0o(g)?????f1+f2=x0o(g)??? ???? ???? ??? ????p2N??n2N? ?? ? ?xn+p=x!0o(xn)??xno(xp) =x!0o(xn+p): ????? ??????? ?? ?? ?????? ??0?? ?? ??????? ??x(lnx)? ?????x ??? ?????? ?? ?????? ???6= 0?? ????? ??????? ?? ?? ?????? ?? ??????? ??xex? ?????ex??? ?????? ?? ??b??? ???? ? 8" >0;9 >0;b < x < b=) jf(x)j< "jg(x)j
8" >0;9 >0;b < x < b=) jf(x)g(x)j< "jg(x)j
??b= +1? 8" >0;9A >0;x > A=) jf(x)j< "jg(x)j
BY: C ??f??? ? ??????? ????C?a0;:::;an???? ??? ???? ????x????U? f(x) =a0+a1(xx0) ++an(xx0)n+o((xx0)n):() f(x0) =a0: o x!x0((xx0)n): a ?????U= ]x0;x0+"[???? ?? ???????" >0? ?? ??? ???f????? ?? ????? ??????U= [x0;x0+"[???? ?? ???????" >0? ?? ??? ???f????? ?? ????? ??????U= ]x0";x0+"[nfx0g???? ?? ???????" >0? ?? ??? ???f????? ?????U= ]x0";x0+"[???? ?? ???????" >0? ?? ??? ???f????? ?? ?????DL3(0)??sin??? ?sinx=xx36 +ox3? ??DL??? ??????? ????x BY: C ?????? ?? ??????? ????x6= 0?sinxx = 1x26 +ox2? ?? ?????? ????DL2(0) ?? ????]";"[nf0g?" >0? ?? ?? ????? ??? ??????? ??x= 0????sinxx ????? ??? ????? ??0??? ?? ?????? ???? ?? ??0?0?????? f(x0+h) =h!0hp(a0+a1h++amhm+o(hm))????a06= 0 (n=m+p): ????? ?f(x0+h)h!0a0hp????a06= 0?? sinx=x 1x26 +ox2 ?????f????? ??DLn(x0)????? ??DL??? ??????? ???????f????? ??DLn(x0)?? ????()????n1? ?????f????? ?? DL n1(x0)????? ??? f(x) =a0+a1(xx0) ++an1(xx0)n1+o (xx0)n1 x 0 ??x0 BY: C x 0 ??x0 ???? ?? ????f0(x0) =a1: ??????? ?? ??? ??x0=2 U?? ??f????? ??? ?????? ??x0? ?? ???? ?? ?????? ?? DL 0(x0)?x0?????;????? ???f(x) =a+o(1)? ?? ???? ???????
lim x!x0x6=x0e f(x) = limx!x0x6=x0f(x) = limx!x0x6=x0[a+o(1)] =a=ef(x0)? lim x!x0x6=x0e f(x)ef(x0)xx0= limx!x0x6=x0f(x)axx0= limx!x0x6=x0[b+o(1)] =b: 0(x0) =b?
f(0) = 1??f(x) =ex1x BY: C ????x2R?ex= 1 +x+x22 +ox!0x2? ?? ?? ??????? ????x6= 0?f(x) = 1 +x2 g(0) = 2??g(x) =ex1x ??x6= 0: x 0?x0??????
??DLn(x0)?x0?????? ????? ??? ? 8x2I; f(x) =nP
k=0f BY: C f(x) =a0+a1(xx0) ++an(xx0)n+o((xx0)n)? ?????? ??? ??????? ??DL?8k2[[0;n]]; ak=f(k)(x0)k!? sinxx!0xx36 x=nP k=0x kk!+o(xn) (DLn(0)??exp);cosx=nP k=0x 2k(2k)!+ox2n+1(DL2n+1(0)??ch);??x=nP
k=0x 2k+1(2k+1)!+ox2n+2(DL2n+2(0)??sh);ln(1 +x) =nP
k=1(1)k+1xkk +o(xn) (DLn(0)?? ?x7!ln(1 +x));????2R?DLn(0)?? ?x7!(1 +x)?(1 +x)= 1 +x+(1)2! =11 1+x=nP
BY: C ??? ???? ??? ????n > p?? ????n p????np? ?? ? ????np? (1 +x)p=pX k=0 p k x k? ?? ????? ??? ???? ???? ?? ???? ????? ?? ??????? ???DLn(0)??p1 +x?=12 ? ??1p1+x?= 12 ??p1 +x= 1 +12 x+nP k=2(1)k1135(2k3)246(2k)xk+o(xn)1p1+x= 1 +nP 4(P) =P:
BY: C o(xn)????(P;Q)2(Cn[X])2????? f(x) +g(x) =P(x) +Q(x) +o(xn): o(xn)????(P;Q)2(Cn[X])2????? f(x)g(x) =?????n[P(x)Q(x)] +o(xn): (Cn[X])2?? ??g(0) = 0?? ??g(V2)V1?????fg??? ???? ?????? ?? f(g(x)) =?????n[P(Q(x))] +o(xn): ????g(x) = sinx?? ?? ? ????sin(0) = 0: sinx=xx36 +ox3??exp(u) = 1 +u+u22 +u36 +ou3: ??????Q(x) =xx36 :??DL3(0)??exp(sinx)?? ??????? ?? ???? 3: exp(sinx) =?????3" 1 +Q(x) +Q(x)22
+Q(x)36 BY: C ? ???????3: exp(sinx) = 1 +x+12 x2+ox3: ?xx 2x 311
Q(x)11=6Q
2(x)1 Q 3(x)? ??cosx?????cosx= 1x22 +ox3:?? ???? ???? ?????? ? e cosx= exp 1x22 +ox3 =e1exp x22 +ox3 +ox3?g1??? ??? ??????? ???? ????? ??DL3(0)??exp(g1(x))??? ?? ??????? ???DL3(0) ??exp(u)?? ??g1(x):???? ? exp x22 +ox3 =?????3" 1 +Q(x) +Q(x)22
+Q(x)36 +ox3 = 1x22 +ox3: e cosx=eex22 BY: C f(x) =a0+a1x+a2x2++anxn+o(xn);????a06= 0? 1f(x)=1a
011 + a1a 0x++ana
0xn+o(xn):
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k=0(1)kuk+o(un): 1f(x)=1a
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nX k=0(1)kQ(x)k# +o(xn): ???????DL 3(0)??x=sinx?
f 1(x) = 1x26
+ox2 1=f1(x)?
f BY: C ? ?? ? ???? ??? ?????? ?? ?? ?????? ???? ? ??????? ??f1??? ?????? ??? DL 2(0)??11+u? ?
11x26 +o(x2)= 1 +x26 +ox2: xsinx=11x26 +o(x3)= 1 +x26 +ox3 ????1sin(x)=1x xsin(x)? ? ??? ? 1sinx=1x
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+o(x3) =x+12 16 x 3+o(x3)
????tan(x) =x+x33 BY: C ]x0r;x0]????? ?? ???????r >0?? ??f0????? ??DLn(x0)?x0?????? f 0(x) =a0+a1(xx0)+a2(xx0)2++an(xx0)n+o((xx0)n);
?????f????? ??DLn+1(x0)?x0?????? ????? ??? f(x) =f(x0)+a0(xx0)+a1(xx0)22 ++an(xx0)n+1n+ 1+o (xx0)n+1 11 +x=nX
k=0(1)kxk+o(xn) )ln(1 +x) = ln(1) +nX k=0(1)kxk+1k+ 1+oxn+1: ?? ???? ????? ??????? ??DL??0??arctan?? ??arcsin????? ? ? (arctan) 0(x) =11+x2??(arcsin)0(x) =1p1x2?arctan(x) =n1P
k=0(1)kx2k+12k+1+o(x2n)arcsin(x) =x+nP x BY: C ???? ??? ??DL? ???????3????? ??h????? ??DL??0? ???? ????? ?? ??????? ????? ??? ???? DL 5(0)??(sinx)3? ?? ???? ??????? ??DL2(0)??(h(x))3:??????? ??
sinx=xx36 +ox3 (sinx)3= xx36 +ox33 =x3 1x26 +ox23 ?????h(x) = 1x26 +ox2?? 1x26 +ox22 1x26 +ox2 1x26 +ox2 =?????2 1x26 2! +ox2= 1x23 +ox2: 1x26 +ox23 1x26 +ox22 1x26 +ox2 =?????2 1x23 1x26 +ox2 = 1x22 +ox2: 1x26 +ox23()=?????2 1x26 3! +ox2= 1x22 BY: C (sinx)3=x3 1x22 +ox2 =x3x52 +ox5: ?? ?? ??0? ???? ?????? ?? ? ???? ?(ex1)m=xm(h(x))m? ??? DL (ex1)m= (x+o(x))m=xm(1 +o(1))m: ?? ?? ? ???????0????(1 +o(1))m????? ?? ?? ? ???????0? (1 +o(1))m=?????0(1m) +o(1) = 1 +o(1)? (ex1)m=xm(1 +o(1)) =xm+o(xm): ????? ??DLm(0)??ex;?? ??? ????? ? (ex1)m= mX k=1x kk!+o(xm)! m =?????m mX k=1x kk!! m! +o(xm) =::: (ex1)g(x)= exp(g(x)ln(ex1)) BY: C ? ??????? ?? ???? ?????? ???DL??cos??sin? ???????5? ?? ???? ???cosx= 1x22 +x424 sinx=xx36 +ox4=x 1x26quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40
0h(x) =l?
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??????? ?????h?????? ???h(x) = 0??x6= 0??h(0) = 1? lim lim BY: C x lim ???? ?? ??? ??f??g???? ??????? ??x0? ?? ??????? ?? ???? ??? fx0g,8 :lim x!x0x6=x0f(x)g(x)= 1 (f(x0) =g(x0)??f??g???? ??????? ??x0?? ?? ?? ???? ??????? ??? ?????(wn)?????? ????n????? ????? ????? ??? ? lim u n+1vn,limn!+1u nv n= 1: lim BY: C f?????? ???R+???f(x) =xx+ 1? ???? ??????1??+1????f+11? ??? sinx0x? tanx0x?1cosx0x 22ln(1 +x)0x? e x10xln(x)1x1? ????2R: (1 +x)10x: ??P(x) =adxd+ad+1xd+1++anxn????ad6= 0??an6= 0?(d;n)2N2??? f(x)f(x0)x0f0(x0)(xx0): ??fx0g?? ??limx!x0x6=x0f(x) =l(l2[1;+1]??l2C)?????limx!x0x6=x0g(x) =l BY: C x x ????fg?? ????fg ?? ?? ???? ??? ?? ????? ????f+g? f(x) =xx2??g(x) =x+x3? ?? ? ?????f0x?0x??0x2? ??fx0g? ??2R??n2N?????fnx0gn??jfjx0jgj? ln(1 +x)0x?? ????? ? ??fx0g;????? ??????? ???? ?'fx0'g? ?? ??????? ? ???????f(x) =1x+x2??g(x) =1x ?????f0g????x!ef(x)?? f(x)g(x)=xx+x2=11 +x!x!01????f0g: BY: C exp(f(x))exp(g(x))=ef(x)g(x)=e1x+x21x
1x+x21x
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??f(x) =?2xln(?+x)x3+ sin(x)cos(x)
??f(x) =(ln(cosx))2x(sinxtanx) ??a >0?f(x) =pxpa+pxapx BY: C ??a= 1?f(x) =1x1p1cos(x2 ??a=3 ?f(x) =sin(x)p3cos(x)2cos(x)1 y=xx36 +x5120 ?? ?? ?????y=xx36 +x5120 +x75040 ?xy 2 2110 lim ???? ?? ??? ??f??g???? ??????? ??x0? ?? ??????? ?? ???? ??? f(x0) = 0: lim BY: C u ????n????? ????? ????? ??? ? ? lim u n=+1o(vn),limn!+1u nv n= 0: lim x!x0x6=x0"(x) = 0: ?? ? ???? ?limx!x0x6=x0o(1) = 0: x BY: C ??f1=x0o(g)?? ??f2=x0o(g)?????f1+f2=x0o(g)??? ???? ???? ??? ????p2N??n2N? ?? ? ?xn+p=x!0o(xn)??xno(xp) =x!0o(xn+p): ????? ??????? ?? ?? ?????? ??0?? ?? ??????? ??x(lnx)? ?????x ??? ?????? ?? ?????? ???6= 0?? ????? ??????? ?? ?? ?????? ?? ??????? ??xex? ?????ex??? ?????? ?? ??b??? ???? ?
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8" >0;9 >0;b < x < b=) jf(x)g(x)j< "jg(x)j
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lim x!x0x6=x0e f(x) = limx!x0x6=x0f(x) = limx!x0x6=x0[a+o(1)] =a=ef(x0)? lim x!x0x6=x0e f(x)ef(x0)xx0= limx!x0x6=x0f(x)axx0= limx!x0x6=x0[b+o(1)] =b:0(x0) =b?
f(0) = 1??f(x) =ex1x BY: C ????x2R?ex= 1 +x+x22 +ox!0x2? ?? ?? ??????? ????x6= 0?f(x) = 1 +x2 g(0) = 2??g(x) =ex1x ??x6= 0: x0?x0??????
??DLn(x0)?x0?????? ????? ??? ?8x2I; f(x) =nP
k=0f BY: C f(x) =a0+a1(xx0) ++an(xx0)n+o((xx0)n)? ?????? ??? ??????? ??DL?8k2[[0;n]]; ak=f(k)(x0)k!? sinxx!0xx36 x=nP k=0x kk!+o(xn) (DLn(0)??exp);cosx=nP k=0x2k(2k)!+ox2n+1(DL2n+1(0)??ch);??x=nP
k=0x2k+1(2k+1)!+ox2n+2(DL2n+2(0)??sh);ln(1 +x) =nP
k=1(1)k+1xkk +o(xn) (DLn(0)?? ?x7!ln(1 +x));????2R?DLn(0)?? ?x7!(1 +x)?(1 +x)= 1 +x+(1)2! =111+x=nP
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BY: C o(xn)????(P;Q)2(Cn[X])2????? f(x) +g(x) =P(x) +Q(x) +o(xn): o(xn)????(P;Q)2(Cn[X])2????? f(x)g(x) =?????n[P(x)Q(x)] +o(xn): (Cn[X])2?? ??g(0) = 0?? ??g(V2)V1?????fg??? ???? ?????? ?? f(g(x)) =?????n[P(Q(x))] +o(xn): ????g(x) = sinx?? ?? ? ????sin(0) = 0: sinx=xx36 +ox3??exp(u) = 1 +u+u22 +u36 +ou3: ??????Q(x) =xx36 :??DL3(0)??exp(sinx)?? ??????? ?? ???? 3: exp(sinx) =?????3"1 +Q(x) +Q(x)22
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