[PDF] Exercices de mathématiques - Exo7





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Feuille dexercices 7 Fonctions trigonométriques réciproques

1 + tan2( ). = 2sin( ) cos( ). × cos2( ) = 2sin( )cos( ) = sin(2 ). 3. sin(2arctan(. 1. 3. )) = 2tan(arctan (. 1. 3)).



350 exercices corrigés dAnalyse

√1. − x2. . ∀x ∈] − 1



Feuille dexercices du cours dAnalyse 2 DUMI2E — Premi`ere année

Exercice 6 Calculer le DL d'ordre 5 de la fonction log(1 + sinx) au voisinage du point x = 0. Exercice 7 Soit g la fonction x → arctan x. (sin x)3. −. 1 x2.



Corrigés des exercices 7 Applications & Fonctions circulaires Corrigés des exercices 7 Applications & Fonctions circulaires

Cf cours : on peut procéder comme précédemment (via une étude de fonction) ou utiliser la concavité de arctan sur R+. Exercice 6. Simplifier les expressions 



exercices corrigés sur letude des fonctions exercices corrigés sur letude des fonctions

Exercices corrigés Fonctions b. 2. 2. ( ) sin cos sin La courbe γ est la courbe représentative d'une fonction appelée arc tangente notée arctan (tan−1 sur.



Walanta Walanta

Daniel Alibert – Cours et Exercices corrigés – Volume 5. 18. ˘ tangente et arctangente. La fonction arctan (ou arctg) est définie sur R: arctan : R →. −π. 2.



Fonctions circulaires et hyperboliques inverses

Exercice 1. Vérifier arcsinx+arccosx = π. 2 et arctanx+arctan. 1 x. = sgn(x) π. 2 . Indication ▽. Correction ▽. Vidéo □. [000752]. Exercice 2. Une 



2 Fonctions trigonométriques

(c) Même questions pour les fonctions cosinus et arccosinus. (d) Même questions pour les fonctions tangente et arctangente. Exercice 2.4. Calculez arcsin(. √.



Exercices sur les fonctions trigonométriques réciproques

19 Calculer la dérivée de la fonction f : x. Arctan(Arctan x). 20 Donner une Il faut reprendre le corrigé avec l'énoncé modifié.. 16 cos sin. 65.



Feuille dexercices 7 Fonctions trigonométriques réciproques

Correction exercice 1. Car arctan est strictement croissante donc. 0 < arctan ( ... Sur quel ensemble cette fonction est-elle définie et continue ?



Exercices de mathématiques - Exo7

Exercice 9 ** Mines de DOUAI 1984. On considère la fonction numérique f telle que : f(x)=(x2 ?1)arctan. 1. 2x?1. et on appelle (C) 



Devoir de Mathématiques 3 : corrigé Exercice 1.Étude dune fonction

Exercice 1. Dans cet exercice on étudie deux équations différentielles du second ordre. ... + et de la fonction arctan dérivable sur R) ; sa dérivée est.



Chapitre 4 FONCTIONS USUELLES Enoncé des exercices

Exercice 4.10 Résoudre l'équation arccos(x) + arcsin(x2 ? x + 1) = ?. 2. Exercice 4.11 Montrer que arctan 2?2! + 2 arctan?2! = ?.



Corrigé du Devoir Surveillé n?2

Exercice 2 : Autour de la fonction Arc tangente. 1. Soit x ? R. On pose t = Arctan (x) de sorte que x = tan(t) et ??. 2 <t< ?. 2 . Il s'ensuit que.



Fonctions élémentaires Pascal Lainé 1

2 arctan (. 1. 3. ) Allez à : Correction exercice 27. Exercice 28. Soit la fonction définie par. ( ) = . 1. Sur quel ensemble cette fonction 



Fonctions circulaires inverses Exercice 3. Arcsin Exercice 4

14 nov. 2017 Le Pascal ne dispose pas des fonctions Arcsin et Arccos. Définir Arcsinx et Arccosx à l'aide de la fonction arctan. Exercice 2.



Fonctions circulaires et hyperboliques inverses

Corrections de Léa Blanc-Centi. 1 Fonctions circulaires inverses. Exercice 1. Vérifier arcsinx+arccosx = ?. 2 et arctanx+arctan.



exercices corrigés sur letude des fonctions

Exercices corrigés Fonctions 4-29 : Arctangente ... courbe ? est la courbe représentative d'une fonction appelée arc tangente notée arctan (tan?1 sur.



Chapitre 4 Fonctions usuelles

6 Exercices corrigés Rappeler les dérivées des fonctions Arccos Arcsin et Arctan ainsi qu'un ... Exercice 1 - Un peu de trigonométrie hyperbolique.



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1 + tan2( ) = 2sin( ) cos( ) × cos2( ) = 2sin( )cos( ) = sin(2 ) 3 sin(2arctan( 1 3 )) = 2tan(arctan ( 1 3))



Fonction arctan exercices corrigés - etude-generalecom

11 avr 2022 · Fonction arctan exercices corrigés pdf (2ème année bac sm/ Terminale) Exercice 1 Simplifier les expressions suivantes : A = arctan2 + 



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Exercice 9 ** Mines de DOUAI 1984 On considère la fonction numérique f telle que : f(x)=(x2 ?1)arctan 1 2x?1 et on appelle (C) 



[PDF] Chapitre 4 FONCTIONS USUELLES Enoncé des exercices

Exercice 4 15 Simplifier la fonction f (x) = arccos thx + 2 arctanex 2 arctan 1 ?2 + arctan 1 2?2 = ? 2 Exercice 4 25 Résoudre arg sh (x ? 1) 



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Feuille 1 de TD Fonctions trigonométriques et hyperboliques Exercice 1 1 Calculer (i) arcsin(sin(1)) (ii) arcsin(sin( 19? 5 )) (iii) arctan(tan(



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b) Démontrer que g est dérivable en 1 Arctan 2 b et calculer 'g b QUESTIONS DE COURS 1 Simplifier Arccos(cos x) et cos(Arccos x) 2 Démontrer 



Exercices corrigés -Fonctions usuelles : fonctions trigonométriques

Exercices corrigés - Fonctions usuelles : fonctions trigonométriques et des fonctions suivantes : 1 arctan(tanx) 2 arccos(cosx) 3 arcsin(sinx)



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(d) Même questions pour les fonctions tangente et arctangente Exercice 2 4 Calculez arcsin( ? 3 2 ) arcsin(? ?



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Exercices avec solutions : Limite et continuité Exercices d'applications et de réflexions PROF: ATMANI NAJIB 2BAC SM BIOF Exercice1 :Soit la fonction :



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6 nov 2020 · Donner le domaine de définition et calculer les fonctions suivantes : 4 x ?? arccos(cos(x)) 5 x ?? tan(arctan(x))

  • Comment calculer l'arc tangente ?

    La règle de la fonction arc tangente de base est f(x)=arctan(x). f ( x ) = arctan ? On note aussi cette fonction f(x)=tan?1(x). f ( x ) = tan ? 1 ?
  • Simplifier arctan(a)+arctan(b) pour a,b?0. On a tan(arctan(a)+arctan(b))=a+b1-ab donc arctan(a)+arctan(b)=arctan(a+b1-ab)[?]. Si ab=1 alors arctan(a)+arctan(b)=?/2.
Exo7

Trigonométrie hyperbolique

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exercice 1***ITDomaine de définition et calcul des fonctions suivantes :

1.x7!sin(arcsinx),

2.x7!arcsin(sinx),

3.x7!cos(arccosx),

4.x7!arccos(cosx),

5.x7!tan(arctanx),

6.x7!arctan(tanx).

2.

Calculer arctan x+arctan1x

pourxréel non nul. 3. Calculer cos (arctana)et sin(arctana)pouraréel donné. 4. Calculer ,pour aetbréels tels queab6=1, arctana+arctanben fonction de arctana+b1ab(on étudiera d"abord cos(arctana+arctanb)et on distinguera les casab<1,ab>1 eta>0,ab>1 eta<0).

Rsin2x

0arcsinpt dt+Rcos2x

0arccospt dt.

1.f1(x) =arcsinxp1+x2

2.f2(x) =arccos1x21+x2

1

3.f3(x) =arcsinp1x2arctan

q1x1+x

4.f4(x) =arctan12x2arctanxx+1+arctanx1x

12 +arctan15 +arctan18

2+arctan22

2+:::+arctan2n

(Utiliser l"exercice 2 4)) f(x) = (x21)arctan12x1; et on appelle(C)sa courbe représentative dans un repère orthonormé. 1.

Quel est l"ensemble de définition Ddef?

2. Exprimer ,sur Dnf0g, la dérivée defsous la forme :f0(x) =2xg(x). 3. Montrer que : 8x2R;2x44x3+9x24x+1>0 et en déduire le tableau de variation deg. 4.

Dresser le tableau de v ariationde f.

2. En déduire la v aleurde un=20th(20x)+21th(21x)++2nth(2nx)pournentier naturel non nul etx réel non nul donnés puis calculer la limite de(un). 1. sin (2arcsinx), 2

2.cos (2arccosx),

3. sin

2arccosx2

4. ln (px

2+1+x)+ln(px

2+1x),

5. ar gsh x212x 6. ar gch(2x21), 7. ar gth qchx1chx+1 8. ch(lnx)+sh(lnx)x 1. ch x=2, 2. arcsin (2x) =arcsinx+arcsin(xp2), 3.

2 arcsinx=arcsin(2xp1x2).

Correction del"exer cice1 Narcsinxexiste si et seulement sixest dans[1;1]. Donc, sin(arcsinx)existe si et seulement sixest dans[1;1]

et pourxdans[1;1], sin(arcsinx) =x. arcsin(sinx)existe pour tout réelxmais ne vautxque sixest dansp2 ;p2 . • S"il existe un entier relatifktel quep2 +2kp6x6x2kp et donc arcsin(sinx) =arcsin(sin(x2kp)) =x2kp:

De plus, on ak6x2p+14

De plus,k6x2p14 arccos(cosx)existe pour tout réelxmais ne vautxque sixest dans[0;p]. • S"il existe un entier relatifktel

que 2kp6xPour tout réelx, tan(arctanx) =x. arctan(tanx)existe si et seulement sixn"est pas dansp2 +pZet pour cesx, il existe un entier relatifktel que p2 +kp.Correction del"exer cice2 N1.1ère solution. Posonsf(x) =arccosx+arcsinxpourxdans[1;1].fest définie et continue sur[1;1],

dérivable sur]1;1[. De plus, pourxdans]1;1[, f

0(x) =1p1x21p1x2=0:

Doncfest constante sur[1;1]et pourxdans[1;1],f(x) =f(0) =p2

8x2[1;1];arccosx+arcsinx=p2

:2ème solution. Il existe un unique réelqdans[0;p]tel quex=cosq, à savoirq=arccosx. Mais alors,

arccosx+arcsinx=q+arcsin sin(p2 q) =q+p2 q=p2 (car p2 qest dans[p2 ;p2

2.1ère solution. Pourxréel non nul, posonsf(x) =arctanx+arctan1x

.fest impaire.fest dérivable surRet pour tout réelxnon nul,f0(x) =11+x21x

211+1x

2=0.fest donc constante sur]¥;0[et sur

]0;+¥[(mais pas nécessairement surR). Donc, pourx>0,f(x) =f(1) =2arctan1=p2 , et puisquef est impaire, pourx<0,f(x) =f(x) =p2 . Donc,

8x2R;arctanx+arctan1x

p2 six>0 p2 six<0=p2 sgn(x):4

2èmesolutionPourxréelstrictementpositifdonné, ilexisteununiqueréelqdans0;p2

telquex=tanq

à savoirq=arctanx. Mais alors,

arctanx+arctan1x =q+arctan1tanq =q+arctan tan(p2 q) =q+p2 q=p2 (carqetp2 qsont éléments de0;p2 3. cos

2(arctana) =11+tan2(arctana)=11+a2. De plus , arctanaest dans]p2

;p2 [et donc cos(arctana)>0. On en déduit que pour tout réela, cos(arctana) =1p1+a2puis sin(arctana) =cos(arctana)tan(arctana) =ap1+a2:

8a2R;cos(arctana) =11+a2et sin(arctana) =ap1+a2:4.D"après 3),

cos(arctana+arctanb) =cos(arctana)cos(arctanb)sin(arctana)sin(arctanb) =1abp1+a2p1+b2;

ce qui montre déjà , puisqueab6=1, que cos(arctana+arctanb)6=0 et donc que tan(arctana+arctanb)

existe. On a immédiatement, tan(arctana+arctanb) =a+b1ab:

Maintenant, arctana+arctanbest dansp;p2

[p2 ;p2 [p2 ;p.

1er cas.Siab<1 alors cos(arctana+arctanb)>0 et donc arctana+arctanbest dansp2

;p2 . Dans ce cas, arctana+arctanb=arctana+b1ab.

2ème cas.Siab>1 alors cos(arctana+arctanb)<0 et donc arctana+arctanbest dansp;p2

[p2 ;p.

Si de plusa>0, arctana+arctanb>p2

et donc arctana+arctanbest dansp2 ;p. Dans ce cas, arctana+arctanbpest dansp2 ;p2 et a même tangente que arctana+b1ab. Donc, arctana+ arctanb=arctana+b1ab+p. Sia<0, on trouve de même arctana+arctanb=arctana+b1abp.

En résumé,

arctana+arctanb=8 >:arctan a+b1absiab<1 arctan a+b1ab+psiab>1 eta>0 arctan a+b1abpsiab>1 eta<0:Correction del"exer cice3 Nch(a+b) =chachb+shashbet ch(ab) =chachbshashb; sh(a+b) =shachb+chashbet sh(ab) =shachbshbcha th(a+b) =tha+thb1+thathbet th(ab) =thathb1thathb:5

Deux démonstrations :

chachb+shashb=14 ((ea+ea)(eb+eb)+(eaea)(ebeb)) =12 (ea+b+eab) =ch(a+b): th(a+b) =sh(a+b)ch(a+b)=shachb+shbchachachb+shashb=tha+thb1+thathb

après division du numérateur et du dénominateur par le nombre non nul chachb. En appliquant àa=b=x,

on obtient :

8x2R;ch(2x) =ch2x+sh2x=2ch2x1=2sh2x+1;sh(2x) =2shxchxet th(2x) =2thx1+th2x:En additionnant entre elles les formules d"addition, on obtient les formules de linéarisation :

chachb=12 (ch(a+b)+ch(ab));shashb=12 (ch(a+b)ch(ab))et shachb=12 (sh(a+b)+sh(ab)); et en particulier ch

2x=ch(2x)+12

et sh2x=ch(2x)12 :Correction del"exer cice4 NPourxréel, on posef(x) =Rsin2x

0arcsinpt dt+Rcos2x

0arccospt dt.

La fonctiont7!arcsinptest continue sur[0;1]. Donc, la fonctiony7!Ry

0arcsinpt dtest définie et dérivable

sur[0;1]. De plus,x7!sin2xest définie et dérivable surRà valeurs dans[0;1]. Finalement, la fonction

x7!Rsin2x

0arcsinpt dtest définie et dérivable surR. De même, la fonctiont7!arccosptest continue sur[0;1].

Donc, la fonctiony7!Ry

0arccospt dtest définie et dérivable sur[0;1]. De plus, la fonctionx7!cos2xest

définie et dérivable surR, à valeurs dans[0;1]. Finalement, la fonctionx7!Rcos2x

0arccospt dtest définie et

dérivable surR. Donc,fest définie et dérivable surRet, pour tout réelx, f

0(x) =2sinxcosxarcsin(psin

2x)2sinxcosxarccos(pcos

2x) On note alors quefestp-pérodique et paire. Pourxélément de[0;p2 ],f0(x) =2sinxcosx(xx) =0.fest donc constante sur[0;p2 ]et pourxélément de[0;p2 ],f(x) =fp4 =R1=2

0arcsinpt dt+R1=2

0arccosptdt=R1=2

0p2 dt=p4 . Mais alors, par parité etp-périodicité,

8x2R;Rsin2x

0arcsinpt dt+Rcos2x

0arccospt dt=p4

:Correction del"exer cice5 N1.1ère solution.Pour tout réelx,px

2+1>px

2=jxjet donc1

2+1<1. Ainsif1est définie et

dérivable surR, impaire, et pour tout réelx, f

01(x) =1px

2+112 x2x(x2+1)px 2+1 1q

1x21+x2=11+x2=arctan0(x):

Donc il existe une constante réelleCtelle que pour tout réelx,f1(x) =arctanx+C.x=0 fournitC=0 et donc, 6

8x2R;arcsinxpx

2+1 =arctanx:2ème solution.Pourxréel donné, posonsq=arctanx.qest dansp2 ;p2 etx=tanq. xpx

2+1=tanqp1+tan2q=pcos

2qtanq=cosqtanq(car cosq>0)

=sinq et donc f

1(x) =arcsin(sinq) =q(carqest dansi

p2 ;p2 h =arctanx:

2.1ère solution.Pour tout réelx,1<1+21+x2=1x21+x261+2=1 (avec égalité si et seulement si

x=0).f2est donc définie et continue surR, dérivable surR. Pour tout réelxnon nul, f

02(x) =2x(1+x2)2x(1x2)(1+x2)21r

11x21+x2

2=4x1+x21p4x2=2e1+x2

oùeest le signe dex. Donc il existe une constante réelleCtelle que pour tout réel positifx,f2(x) =

2arctanx+C(y comprisx=0 puisquefest continue en 0).

x=0 fournitC=0 et donc, pour tout réel positifx,f2(x) =2arctanx. Par parité,

8x2R;arccos1x21+x2

=2arctanjxj:2ème solution.Soitx2Rpuisq=arctanx.qest dansp2 ;p2 etx=tanq.

1x21+x2=1tan2q1+tan2q=cos2q(1tan2q) =cos2qsin2q=cos(2q):

Donc f

2(x) =arccos(cos(2q)) =2qsiq20;p2

2qsiq2p2

;0=2arctanxsix>0

2arctanxsix60=2arctanjxj:

3. La fonction x7!arcsinp1x2est définie et continue sur[1;1], dérivable sur[1;1]nf0gcar pourx

élément de[1;1], 1x2est élément de[0;1]et vaut 1 si et seulement sixvaut 0.1x1+xest défini et positif

si et seulement sixest dans]1;1], et nul si et seulement six=1.f3est donc définie et continue surquotesdbs_dbs11.pdfusesText_17

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