[PDF] Corrigé du Devoir Surveillé n?2

2 En ce cas, on a?π < t <0 et cos(t) = 0, d"o`u l"on tire que t=? 2.

Finalement

pour toutxR+,Arctanx+ Arctan1 x=π2 pour toutxR,Arctanx+ Arctan1 x=?π2 b. Soith:RRla fonction d´efinie par pour toutxR, h(x) = Arctan(x) + Arctan(1/x) La fonctionhest d´erivable surR(comme somme de telles fonctions) et pour tout r´eelxR, h (x) =1

1 +x2?1x211 + (1/x)2=11 +x2?11 +x2= 0.

Comme sa d´eriv´ee est nulle sur chacun des intervallesRetR+,hest constante sur chacun de ces intervalles. Pour calculer cette contante, ´evaluonshen 1 et?1. Il vientf(1) = Arctan(1) + Arctan(1) =π

4+π4=π2etf(?1) = 2Arctan(?1) =?π2.?

3. R´esolvons l"´equation Arctan(x?1) + Arctan(x) + Arctan(x+ 1) =π/2.on peut proc´eder par

Analyse-synth`ese, mais ici

comme on peut directe- ment appliquer le th de la bijection, cette m´ethode

sera plus rapide!a.Existence et unicit´e de la solutionLa fonctionf:xArctan(x?1) + Arctan(x) + Arctan(x+ 1) est

continue et strictement croissante comme somme de telles fonctions. D"apr`es leTh´eor`eme de la bijectionelle r´ealise une bijection de ]? ,+[ sur??3

2,32?. En particulierπ2admet un unique ant´ec´edent

par cette fonction.ce qui revient pr´ecis´ement `a dire que l"´equation propos´ee admet une unique solution,

n"est-ce pas?b.Calcul de la solutionSoitxRla solution de l"´equation propos´ee. Remarquons tout d"abord

quexest n´ecessairement strictement positif carf(0) = 0< f(x) = 2. En ce cas,d"apr`es la question pr´ec´edente, on a on va appliquertan aux deux membres de l"´equation, mais avant tout il est pr´ef´erable d"´equilibrer2

Arctan(x?1) + Arctan(x+ 1) =π2?Arctan(x)

= Arctan(1/x) Appliquons tan aux deux membres de cette derni`ere ´egalit´e, il vient 2x

1?(x2?1)=1x

d"o`u l"on tire successivement quex2=2

3, puis=?

2 3? ?commexest strictement positif

Exercice 3:Autour de la fonction Arc sinus

On posef(x) = Arcsin?xx2+ 1?

1. Tout d"abord, la fonctionu:x

2+1est d´efinie surR. On chercheArcsinest d´efinie sur

[?1,1].maintenant les valeurs dexpour lesquellesu(x) appartient `a [?1,1]. Pour toutxR, on ax< x2+ 1, donc ?12. On sait que la fonction Arcsin est d´erivable sur ]?1,1[. La fonctionuest

1?22+1

3. On vient de voir quefa la mˆeme d´eriv´ee que la fonction Arctan. Par

4. SoitxR. Poset= Arctan(x) dsq?

2< t <2etx= tan(t). On a alors

Exercice 4:Etude d"une bijection r´eciproque

Partie I.Etude d"une fonctionf

1. SoitxR,f(x) est d´efinie pourvu que 1?2x[?1,1], d"o`u l"on tire que

2.fest continue surcomme compos´ee de telles fonctions, et d´erivable dans

4x?4x2

En particulier,fest strictement positive

4. Au point d"abscisse12, la tangente admet pour ´equationy= 2x?1.?l"´equation de la tan-

1. La fonctionf: [0,1]Rest une fonction continue et strictement crois-

2. Pour d´eterminer la bijection r´eciproque def, on adopte lepoint de vue

3.f1est d´erivable sur [0,π] par OPA et pour touty[0,π], on a (f1)(y) =

4.Laisse parler le talent!trobo!!

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3y=acos(1-2*x)

PROBLEME 1:Autour de Argth,mines de sup 00

2,sh(x) =e?e2,th(x) =sh(x)ch(x)=e?ee+e.

Partie I.Cours : ´etude de la fonction Argth

1. Par opa, la fonction th est d´erivable dansRet pour toutxR, th(x) =4

PourxR, on a th(x) =e2?1e2+ 1=

1 +e2.On en d´eduit ais´ement par

OPA que lim

J=?limth,lim+th?=]?1,1[

2. SoitxR. En utilisant les relations ch(x) = sh(x) et sh(x) = ch(x), on

3. SoitxR, posonst=?Argth(x). Comme la fonction th est impaire, il

4. D"apr`es la question1., th est d´erivable dansRet sa d´eriv´ee ne s"annule pars