[PDF] La technologie Cobb Doublas. Figure 1 : Fonction

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La technologie

Leçon I

(Varian Ch. 1)

Federico Trionfetti

Microéconomie 2

2019-2020

Table des matières

1L"objectif de recherche

2Description de la technologie

3Trois exemples importants

Cobb Doublas

Leontief

C.E.S

4Propriétés des fonctions de production

5Des concepts importants

Productivité marginale d"un input

Taux de substitution technique

Élasticité de substitution

Rendements d"échelle

Homothéticité

Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 2 /37

L"objectif de recherche

L"objectif de recherche

Formuler une théorie de l"offre

Définir la technologie.

Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 3 /37

Description de la technologie

Description de la technologie

La technologie consiste à transformer les inputs en output. Par exem- ple, on transforme de la farine et l"utilisation d"un four et du travail (les inputs) en des pizzas (l"output). Ou encore, on utilise des métaux, une ampoule, du caoutchouc et du travail pour produire un vélo. La technolo- gie peut être très complexe, imaginez la variété des inputs utilisés dans la production d"un hélicoptère. Nous avons besoin de simplifier cette com- plexité. Pour ce faire nous utilisons des fonction mathématique. Une fonction est une relation entre variables, elle transforme les valeurs des variables indépendantes en valeur de la variable dépendante. La tech- nologie fait exactement ça, elle transforme les inputs en output. Ainsi, nous utiliserons la notation suivante:yreprésente la quantité d"output, le vecteurxreprésente les quantités de chaque inputs, etyfpxqest la fonction qui transforme les quantité des inputs en quantité d"output. Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 4 /37

Description de la technologie

Pour que nos raisonnements soient claire nous avons besoin de définir quelque concept. Voici donc quelque définition:Definition 1

1Fonction de production.La fonction de production est la

fonction qui associe les quantité des inputs à la quantité la plus élevée d"output que ces inputs peuvent produire. yfpxq(1)2EnsembleVpyqC"est l"ensemble des inputs qui produisentau moinsla quantitéy..3IsoquantQpyq.Ensemble des inputs qui produisent exactement la quantité de outputy.Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 5 /37

Description de la technologie

Nous étudions maintenant trois exemples importants defpxq:Cobb-Douglas

Leontief

C.E.S.

Nous représentons graphiquement ces trois fonction de production, ainsi que leursVpyqetQpyq. Nous allons aussi spécifier leurs formules math-

ématiques.

Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 6 /37

Trois exemples importantsCobb Doublas

Trois exemples importants

Example 1

Cobb-Douglas. La technologie Cobb-Douglas est ainsi définie: fpxq ¹pxiqi(2) où les paramètrestiusont tels quei¡0pour tousiet°n i1i1.Très souvent nous utiliserons une Cobb-Douglas à deux inputs: fpxq px1q1px2q11(3)Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 7 /37

Trois exemples importantsCobb Doublas

Figure 1

F onctionde pro ductionCobb Douglas (pa villon)

Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 8 /37

Trois exemples importantsCobb Doublas

Figure 2

Construction graphique de Vpyqet deQpyq. (Cobb-Douglas)Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 9 /37

Trois exemples importantsCobb Doublas

Figure 3

Ensem bledes input nécessaires (Cobb-Douglas)

Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 10 /37

Trois exemples importantsCobb Doublas

Figure 4

Iso quant(Cobb-Douglas)

Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 11 /37

Trois exemples importantsLeontief

Example 2

Leontief. La technologie Leontief est ainsi définie: fpxq minpaixiq(4)

oùaisont des paramètres strictement positifs.Très souvent nous utiliserons une Leontief à deux inputs:

fpxq minpa1x1;a2x2q(5)Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 12 /37

Trois exemples importantsLeontief

Figure 5

F onctionde pro ductionLeon tief(demi p yramide)

Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 13 /37

Trois exemples importantsLeontief

Figure 6

Construction graphique d el"iso quant(Leon tief)

Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 14 /37

Trois exemples importantsLeontief

Figure 7

Ensem bledes input nécessaires (Leon tief)

Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 15 /37

Trois exemples importantsLeontief

Figure 8

Iso quant(Leon tief)

Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 16 /37

Trois exemples importantsC.E.S

Example 3

C.E.S. La technologie C.E.S (Constant Elasticity of Substitution) est ainsi définie: fpxq n¸ i1a ipxiq 1 ; 1(6)

oùaisont des paramètres strictement positifs.Très souvent nous utiliserons une C.E.S à deux inputs:

fpxq ra1px1qa2px2qs1 (7)Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 17 /37

Trois exemples importantsC.E.S

Figure 9

C.E.S (cerf v olant)

Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 18 /37

Trois exemples importantsC.E.S

Figure 10

Construction graphique de l"iso quant(C.E.S)

Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 19 /37

Trois exemples importantsC.E.S

Figure 11

Ensem bled esinput nécessaires (C.E.S)

Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 20 /37

Trois exemples importantsC.E.S

Figure 12

Iso quant(C.E.S)

Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 21 /37

Trois exemples importantsC.E.S

Représentation mathématique de l"isoquant.Fixeryà un niveau arbitraireyy. La fonctionyfpxqdevient ainsi une équationy fpxq. Résoudre cette équation pourx2. Exemples:Pour la Cobb-Douglas. y px1q1px2q11ñx2 px1q111pyq111(8)(a)Coup er(b)Coller Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 22 /37

Trois exemples importantsC.E.S

Pour la Leontief.

yminpa1x1;a2x2q ñsiya1x1ñx2¥y{a2x 1a1a

2siya2x2ñx1¥y{a1x

2a2a

1(9)(a)Coup er(b)Coller

Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 23 /37

Trois exemples importantsC.E.S

Pour la C.E.S.

yra1px1qa2px2qs1

ñx2y

a1px1qa 2 1 (10)(a)Coup er(b)Coller Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 24 /37

Propriétés des fonctions de production

Ces fonctions ont trois propriétés importantes.

1Monotonicité. Une technologie est monotone si pour toutxet

x

1¥x,xPVpyq ùñx1PVpyq.2Convexité. Une technologie est convexe siVpyqest un ensemble

convexe.

13Régularité. Une technologie est régulière siVpyqest un ensemble

fermé et non vide.1 Un ensemble est convexe si le fait quexetx1appartiennent à cet ensemble

implique quetx p1tqx1appartient à cet ensemble.Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 25 /37

Propriétés des fonctions de production

La Cobb-Douglas et la C.E.S. sont aussi des technologie diteslisses. Une technologie estlissesi la fonction de production est une fonction continue et deux fois différentiable. La Leontief n"est pas lisse. Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 26 /37

Des concepts importants

Des concepts importants

Nous définissons ces concepts:Productivité marginale d"un input

Taux de substitution technique entre inputs

Élasticité de substitution

Rendement d"échelle

Homogénéité

Homothéticité

Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 27 /37 Des concepts importantsProductivité marginale d"un input

Definition 4

Productivité marginale d"un input.C"est le changement de l"output obtenu à partir d"un changement infinitésimal de cet input.

Productivité marginale dexiestBfpxqBxi(11)

Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 28 /37 Des concepts importantsProductivité marginale d"un input Calculons la productivité marginale (PM) de l"inputx1pour nos trois fameuses fonctions de production.Cobb-Douglas fpxq x11x112(12)

Product. marg. dex11x11

1x112(13)Leontief

fpxq minpa1x1;a2x2q(14) sia1x1 a2x2ñPr. marg. dex1a1 sia1x1¡a2x2ñPr. marg. dex10(15)C.E.S. fpxq ra1px1qa2px2qs1 (16)

Pr. marg. dex1a1px1q1ra1px1qa2px2qs1

1(17)Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 29 /37

Des concepts importantsTaux de substitution technique

Definitions 5

Taux de substitution technique.C"est le taux auquel un facteur doit se substituer à l"autre pour produire la même quantité de production.Pour une technologielissele TST est la dérivée de la fonction définie par l"équation suivante. 2 fpx1;x2q y(18) Nous avons déjà vu dans les trois exemple de Cobb-Douglas, Leontief, et C.E.S. que en résolvant (18) nous trouvions la quantité dex2qui pour une quantité dex1donné permettait de produirey. Cette relation entre x

2etx1nous l"avons appelé isoquant. Le TST est la dérivée de l"isoqant.

TSTdx2dx

1

Isoquant(19)2

Les étudiants qui connaissent le théorème des fonctions implicites peuvent en reconnaitre ici une application. Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 30 /37 Des concepts importantsTaux de substitution technique Par exemple, pour la Cobb-Douglas on a obtenu l"isoquant dans l"équation (8) qui était:x2 px1q111pyq111 TST

CDdx2dx

1

Isoq:CD 111px1q111pyq111 111x

2x

1:(20)

Par exemple, pour la C.E.S on a obtenu l"isoquant dans l"équation (10) qui était:x2y a1px1qa 2 1 TST

CESdx2dx

1

Isoq:CESa1px1q1a

2y a1px1qa 2 1 (21) a1a 2 x2x 1 1 :(22)Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 31 /37 Des concepts importantsÉlasticité de substitution

Definitions 6

Élasticité de substitution.C"est la variation proportionnelle du rapport des inputs divisée par la variation proportionnelle du TST, l"output restant constant. Mathématiquement:dpx2{x1qx

2{x1TSTdTST

(23) Graphiquement, l"élasticité de substitution mesure la courbure de l"isoquant.

Pour calculer l"élasticité de substitution on a deux étapes.On réécrit (23) comme suit:

TSTx

2{x1d TST

dpx2{x1q(24)On calculeTSTetdTST{dpx2{x1qen on les remplace dans l"expression (24). Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 32 /37 Des concepts importantsÉlasticité de substitution

Deux exemples de calcul de l"élasticité de substitution.Exemple 1: Cobb-Douglas. On a déjà calculé leTSTpour la

Cobb-Douglas dans l"expression (20) que je réécris ici TST

CD 111x

2x 1

On calcule la dérivée

d TST

CDdpx2{x1q 111(25)

On remplace l"expression (25) dans l"expression (24) et on obtient CDTST CDx

2{x1dTST

CDdpx2{x1q

111x
2x 1x

2{x11111(26)Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 33 /37

Des concepts importantsÉlasticité de substitution Exemple 2: C.E.S. On a déjà calculé leTSTpour la C.E.S dans l"expression (22) que je réécris ici TST

CES a1a

2 x2x 1 1

On calcule la dérivée

dTST

CESdpx2{x1q p1qa1a

2 x2x 1 (27) On remplace l"expression (27) dans l"expression (24) et on obtient

CESTST

CESx

2{x1dTST

CESdpx2{x1q11(28)Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 34 /37 Des concepts importantsÉlasticité de substitution Quelque comparaison.Figure 17: T roisC.E.S. et une Cobb-Douglas Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 35 /37

Des concepts importantsRendements d"échelle

Definitions 9

Rendements d"échelle.Une fonction de productionfpxqprésente des rendements d"échelle ...... croissant si et seulement si fptxq ¡tfpxq;@t¥0:(29)... constant si et seulement si fptxq tfpxq;@t¥0:(30)... décroissant si et seulement si

fptxq tfpxq;@t¥0:(31)Les trois fonctions Cobb-Douglas, Leontief, C.E.S. sont toutes les trois à

rendement constant. Vérifiez-le. Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 36 /37

Des concepts importantsHomothéticité

Definition graphique de homothéticitié.Definitions 10 Homothéticité.Une fonction de production est homothétique si les isoquant sont parallèles entre eux. Federico TrionfettiLa technologieMicroéconomie 2 2019-2020 37 /37quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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