Décomposition en série de Fourier Signaux périodiques PDF

Activité sur les phénomènes périodiques. Définitions en physique : Un phénomène variable au cours du temps est périodique s'il se.

FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES ET PHÉNOMÈNES

Comment l'étude des phénomènes périodiques vit-elle dans l'enseignement secondaire de la physique et des mathématiques au Viêt Nam et en France ?

Les phénomènes périodiques

analyser ce que l'on appelle des signaux périodiques (rythme cardiaque test de l'audition

Apercu sur les phenomenes periodiques en biologie vegetal e*)

Introduction. Un rythme biologique est constitue par la r6petition reguliere de phe"- nomenes semblables. Chez les plantes on connait des rythmes tres

Décomposition en série de Fourier Signaux périodiques

signal périodique ou non (détermination de la période). • amplitude (valeur moyenne

Simulation de phénomènes instationnaires périodiques avec une

pour la résolution de phénomènes périodiques en temps. Cette approche utilise des séries de Fourier pour transformer les équations RANS instationnaires

Modélisation mathématique de phénomènes variables dans l

9 mai 2014 modélisation de phénomènes de covariation périodique ... phénomènes périodiques dans EMS (enseignement mathématique secondaire) vietnamien.

ch11 : Les phénomènes périodiques

Tension maximale tension minimale. 4. le motif élémentaire : Un phénomène périodique est un phénomène qui se répète à l'identique au bout d'un même intervalle

Phénomènes périodiques Periodic phenomena

Phénomènes périodiques. Periodic phenomena. Ref : 222 041. Français – p 1. English – p 5. Version : 9001. Système d'excitation pour pendule.

Chapitre 1: Les signaux périodiques utilisés dans le domaine de la

Un phénomène périodique est un phénomène qui se reproduit identique à lui-même à le courant alternatif… sont tous des phénomènes périodiques car ils se.

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Hugues GARNIER

hugues.garnier@univ-lorraine.fr Décomposition en série de Fourier Signaux périodiques

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Organisation de l'UE de TdS

I. Introduction

II. Analyse et traitement de signaux déterministes - Analyse de Fourier de signaux analogiques

• Signaux à temps continu • Décomposition en série de Fourier • Transformée de Fourier à temps continu

- De l'analogique au numérique - Analyse de Fourier de signaux numériques III. Filtrage des signaux IV. Analyse et traitement de signaux aléatoires

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Introduction

• Domaine, jusqu'à présent, habituel pour analyser un signal : - Domaine temporel : analyse de l'évolution du signal dans le temps

• Permet de mettre en évidence certaines caractéristiques :

• signal périodique ou non (détermination de la période), • amplitude (valeur moyenne, maximale...), • signal analogique/numérique, énergie finie/infinie, ...

• Déterminer l'expression analytique du signal ci-dessous ?

5 s(t) t (ms) 5 0

s(t)=?

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Introduction

• L'expression mathématique du signal est : - L'observation dans le domaine temporel est s ouvent insuffisante pour déduire l'expression mathématique du signal - Il serait int éressant de tro uver une autre représentation qui app orterait plus d'informations sur le signal que la représentation usuelle temporelle - Cette nouvelle représentation devra faire directement apparaître certaines caractéristiques du signal (par exemple A o , A 1 , A 2 o 1 2

) non plus dans le do maine temporel (en fonct ion du temps) mais dans le do maine fréquentiel, c'est à dire en fonction de la fréquence.

5 s(t) t (ms) 5 0

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• Représentation habituelle : amplitude du signal en fonction du temps • Nouvelle représentation : amplitude et phase initiale en fonction de la fréquence

5 s(t) t (ms) 5 0f (Hz) 0

A o =2 A 1 =5 A 2 =10 A n

1000 2500 f (Hz) 0

o =0 ϕ n

1000 2500

3 1 2 2

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Série & transformée de Fourier

Joseph FOURIER

• Auxerre 1768 - Paris 1830 • Grand savant français • A pr ofondément influencé les mathématiques et la physique des sciences de son siècle • L'étude de la propagation de la chaleur l'a amené à la découverte des séries trigonométriques portant son nom

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Théorème de Fourier Sous certaines conditions de dérivation et de continuité, tout signal à temps continu s(t) périodique de période T

o peut s'écrire sous la forme d'une somme de signaux sinusoïdaux Cette somme peut s'écrire de deux manières : - forme trigonométrique réelle - forme exponentielle complexe

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Forme trigonométrique réelle

avec : Tout signal à temps continu s(t) périodique de période T o peut s'écrire :

Le terme g énéral u

n (t)=a n cos(nω o t)+b n sin(nω o t)=A n cos(nω o t-ϕ n ) est appelé harmonique de rang n C'est un signal cosinusoïdal d'amplitude A n de période T o /n (fréquence nf o ) et de phase à l 'origine -ϕ n

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Remarques et propriétés

- a 0 : valeur moyenne du signal (composante continue) - Harmonique d'ordre 1 : fondamental - Amplitudes A n tendent vers 0 lorsque n tend vers l'infini - Décomposition indépendante de l'intervalle [t 0 , t 0 +T o - Si s(t) pair - Si s(t) impair

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Spectres unilatéraux d'amplitude et de phase

• Spectre d'amplitude de s(t) : tracé de A n en fonction des pulsations (fréquences) • Spectre de phase de s(t) : tracé de ϕ n

en fonction des pulsations (fréquences) • On parle de représentation fréquentielle ou spectrale • A

n et ϕ n n'existant que pour des multiples entiers de ω o on parle de spectres de raies. composante continue 0 ω o

2 ω

3 ω

4 ω

o A 1 A 0 A 2 A 3 A 4 A 5

5 ω

o A n fondamental ω (rd/s)

Spectre unilatéral de phase

0 n o

2 ω

3 ω

4 ω

o 1 0 2 3 4 5

5 ω

ω (rd/s)

Spectre unilatéral d

'amplitude 0 T o s(t) t

Evolution temporelle du signal

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Exemple 1 : cas d'un signal sinusoïdal

• Soit un signal sinusoïdal décrit par : C 'est un signal ne contenant qu'un seul harmonique ! s(t)=2cos(2π10t-π4)

Domaine temporel

s(t) t 2

0.1125 0 0.0125 T

o =0.1s A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 0 10 20

304050

A n fondamental f (Hz) 2

Domaine fréquentiel

Spectre unilatéral de phase Spectre unilatéral d 'amplitude 1 2 3 4 5

0 10 20 30 40 50 ϕ

n f ( Hz )

4 π

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Exemple 2 : cas d'un créneau

• Montrer que le dévelop pement en s érie de Fourier d'un signal créneau s'écrit : s(t) t A T o 0

Domaine temporel

A n 4A 3 4A 3ω 5ω 3ω 5ω n 2

Domaine fréquentiel

Spectre unilatéral de phase Spectre unilatéral d 'amplitude

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Evolution temporelle des harmoniques Reconstruction du signal à partir des harmoniques

0 -2 0 2 0 0 0 0 0 1 -5 0 5 0 1 -5 0 5 0 1 -5 0 5 0 1 -5 0 5 0 1 -5 0 5 -2 0 2 -2 0 2 -2 0 2 -2 0 2 1 1 1 1 1

Harmonique 1 Harmoniques 1 et 3 Harmoniques 1, 3 et 5 Harmoniques 1, 3, 5 et 7 Harmoniques 1, 3, 5 7 et 9 Harmonique 1 Harmonique 5 Harmonique 3 Harmonique 7 Harmonique 9

Ondulations = phénomène de Gibbs

A=2 T o =1

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Théorème de Fourier

Sous certaines conditions de dérivation et de continuité, tout signal à temps continu s(t) périodique de période T o peut s'écrire sous la forme d'une somme de signaux sinusoïdaux. Cette somme peut s'écrire de deux manières : - forme trigonométrique réelle - forme exponentielle complexe

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De la forme trigonométrique à la forme exponentielle complexe • Tout signal à temps continu s(t) périodique de période T o peut s'écrire :

En utilisant les formules d'Euler :

• On montre que tout signal à temps continu s(t) périodique de période T o peut également s'écrire :

Forme trigonométrique

réelle

Forme exponentielle

complexe

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Forme exponentielle complexe

• Tout signal à temps continu s(t) périodique de période T o peut s'écrire : • Remarques - Les coefficients c n

sont appelés coefficients de Fourier - Ces coefficients sont généralement complexes et peuvent

s 'écrire sous forme exponentielle complexe : - L 'harmonique de rang n s'écrit également : L'harmonique de rang n est donc une cosinusoïde de pulsation nω o d'amplitude 2 |c n et de déphasage Arg(c n

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Spectres bilatéraux d'amplitude et de phase

• Les coefficients de Fourier sont généralement complexes et peuvent s 'écrire : • Spectre d 'amplitude de s(t) : tracé de |c nquotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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Hugues GARNIER

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Organisation de l'UE de TdS

I. Introduction

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Introduction

5 s(t) t (ms) 5 0

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Introduction

5 s(t) t (ms) 5 0

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5 s(t) t (ms) 5 0f (Hz) 0

1000 2500 f (Hz) 0

1000 2500

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Série & transformée de Fourier

Joseph FOURIER

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Forme trigonométrique réelle

Le terme g énéral u

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Remarques et propriétés

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Spectres unilatéraux d'amplitude et de phase

2 ω

3 ω

4 ω

5 ω

Spectre unilatéral de phase

2 ω

3 ω

4 ω

5 ω

ω (rd/s)

Spectre unilatéral d

Evolution temporelle du signal

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Exemple 1 : cas d'un signal sinusoïdal

Domaine temporel

0.1125 0 0.0125 T

304050

Domaine fréquentiel

0 10 20 30 40 50 ϕ

4 π

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Exemple 2 : cas d'un créneau

Domaine temporel

Domaine fréquentiel

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0 -2 0 2 0 0 0 0 0 1 -5 0 5 0 1 -5 0 5 0 1 -5 0 5 0 1 -5 0 5 0 1 -5 0 5 -2 0 2 -2 0 2 -2 0 2 -2 0 2 1 1 1 1 1

Ondulations = phénomène de Gibbs

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Théorème de Fourier

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En utilisant les formules d'Euler :

Forme trigonométrique

Forme exponentielle

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Forme exponentielle complexe

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Spectres bilatéraux d'amplitude et de phase