[PDF] Polynômes Polynômes. 8. Cours. 1





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Polynômes

fondamental de l'algèbre : « Tout polynôme de degré n admet n racines complexes. » On termine avec les fractions rationnelles : une fraction rationnelle est 



Cours de mathématiques - Exo7

On continue avec un théorème fondamental de l'algèbre : « Tout polynôme de degré n admet n racines complexes. » On termine avec les fractions rationnelles : une 



Les polynômes

Deux polynômes sont égaux si et seulement si les coefficients des monômes de même degré sont égaux. Définition: Page 3. B. Factorisation d'un polynôme.



13 Polynômes

COURS. 13. Polynômes. 1 Ensemble K[X]. 1.1• Définition formelle d'un polynôme. Soit K le corps R ou C. On appelle polynôme à coefficients dans K une suite.



Algèbre Polynômes et opérations

Ordonner et réduire un polynôme sert à simplifier au maximum son écriture et cela va faciliter les calculs. Cours de mathématiques. Algèbre.



Algèbre - Cours de première année

Ensuite vous étudierez des ensembles particuliers : les nombres complexes les entiers ainsi que les polynômes. Cette partie se termine par l'étude d'une 



Les polynômes

Dans la première ligne du schéma de Horner se trouvent les coefficients du polynôme A suivant les puissances décroissantes de la variable. La 2e ligne commence.



Chapitre 2 POLYNOMES ET FRACTIONS RATIONNELLES

Deux polynômes sont égaux si et seulement si les coefficients des termes de même puissance sont deux `a deux égaux. Le degré du polynôme non nul P défini par P( 



Polynômes

Polynômes. 8. Cours. 1 Généralité. Définition 1.1 – Monôme. Un monôme à indéterminé x est une expression de la forme axn avec a est.



Polynômes

Montrer que si A et B sont deux polynômes à coefficients dans Q alors le quotient et le reste de la division euclidienne de A par B

Polynômes

1

Chapitre

Polynômes

Cours

1 Généralité

Définition1.1-M onôme

Unmonômeàindéter miné estu neexpres siondelaforme avecest unr éelnon nuletune ntiernaturel, ledegrédumo nôme. Exemple1.Comm ents avoirsiuneexp ressionestunm onôme ? Laquelledesexpres si onssuivantesdéfinit-elle unmonôme? 2 5 3+2 2 2 3 c F 2 2 3

Solutiondel"exem ple1.

Les expressions2

5 et2 3 sontdesmo nô mesdedegré5et3.

Les autresneson tpas desmonômes.E ne

ffet,

La puissancededans4

2 estu nenti ernégatif. Bienqu elespui ssan cesdesoientdesenti ers naturels,+2 2 n"estpas un monôme.C"e stunbinôme.

Dansl"ex pression3

=3 1 c liG 1n88i627a7vaut 1 c e1n6E 78 Gi81676 n7éô f79 L97oliG1 n88i6 27a7dans2 3 c 0i1 3 c ô monosignifieseul. Onendéd ui talorsle sensdebinôme, detrinômeetc. Pourdi requ"ilye naplusieur s( dont uns eulouaucun!),onpa rlede polynôme. Let erme"polynôme»al"avantaged"inclu re touteslespossibilités.Parexem ple, lem ot"tri nô meduseconddegré»ex clut l"expression 2

1 quies tunbinô me

dus econddegré.

Commentaire

1

Polynômes

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Danslas uite, onparleraseul ementde polynôme.Parex emple , pour()=?

0,estu npol ynômeconstantdedegr é0.Pour()=+?0,estu n

polynômedupre mier degréetpour()= 2 ++?0,estun polynôm e dus econdedegré.

Définition1.2-P olynô me

Unpolynômededegré,estu neexpres siondelaforme: 2 2 1 0 ?0

Pourallantde 0à, lesréel s

sontapp eléscoefficientsde degrédu polynôme. !Parcon vention,ledegrédupol ynômen ul,() =0 est égalà .

5678 é8ar 9 70ié8n E.7tsGéli.7sn"estpas spécifié parunquantifi cateur.

Siestp olynôme,() désignelava leurde enetno nl"imag eparde.

Commentaire

Exemple2.Comm entr écupère-t-onl escoe

fficients?

Donnerledegr éetles coe

fficientsdupo lynôme pour: ()=3 2 ()=23 3 ()=21()=2 2 +3+1

Méthode-Récup érerl escoe

fficientsd" unpolynôm e Onc ommencepardéte rminer ledegrédupolynôme: lapu issance la plusélevée des. Sile degrév aut, ond oitavoir (+ 1)c oefficients: tousles coefficientsdesexpr ess ionsen ,allantde 0à.

Les coefficientsdes

quine figur entpasdansl"exp ression sontnu ls.

Solutiondel"exem ple2.

Pour()=3

2 . C"estunp olyn ômeduseconddegré.Ondo itav oir3coe ffi- cients:leco efficientdus econd degrénoté 2 , celuidupr emierdeg ré 1 et le coefficientdude gré0 ,cequicorres pondà lacon stante noté 0 678

Les coe

fficientsde3 2 sont 2 =3, 1 = 0et 0 =0

Pour()=23

3 . Ledeg rédevaut3. 6 7 8

Les coe

fficientsde23 3 sont 3 =3, 2 = 0, 1 = 0et 0 =2

Pour()=21.Le degr édevaut1.

2

Polynômes

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678

Les coe

fficientsde21 sont 1 = 2et 0 =1

Pour()=2

2 +3+1.Ledeg ré devaut2. 678

Les coe

fficientsde2 2 +3+1s ont 2 =2, 1 = 3et 0 =1 Propriété1.1-Ég alité de deuxpolynômes(propriétéd"identifica tion) Deuxpo lynômessontidentiques sietseul ementsilescoe fficientsdemêmes degrésso ntégaux.

E.d ép6G86GG6 g9 g91mGmy

Démonstration

Exemple3.Calc ul erlescoe

fficientsd" unpolynôm e"paridentification».

Soit()=6

2

56.C alculerlesréelsetpourque () =(3 +2)(+).

Solutiondel"exem ple3.

Parune doubl edistributi on:

(3+2)(+)=3 2 +3+2+2 (3+2)(+)=3 2 +(2+3)+2

Parid entification,l"égalité6

2 56=3
2 +(2+3)+2donne: 6 =3

5 =2+3

6 =2

Ceq uidonne= 2et =3.P arcons équent:

678
() =(3 +2)(23)

Définition1.3-R acined "u npolynôme

Unr éelestu neracined"unpo lynômesiet seul ementsi() =0. Exemple4.Calc ul erlesracinesouvérifierqu" unréeles tuneracine.

1. Soitlep olynômedéfinipar()=3

A5oy

Sd38t3693d9d81.6 é6.

2. Soitlep olynômedéfinipar() =25

2

Calculerlesraci nesde.

3. Soitlep olynômedéfinipar()=

3 3 2

33+35.

Vérifierque7 estuner ac inede . A-t-onunea utrerac inede? o Danslas uite, onparleraseul ementde polynôme.Parex emple , pour()=?

0,estu npol ynômeconstantdedegr é0.Pour()=+?0,estu n

polynômedupre mier degréetpour()= 2 ++?0,estun polynôm e dus econdedegré.

Définition1.2-P olynô me

Unpolynômededegré,estu neexpres siondelaforme: 2 2 1 0 ?0

Pourallantde 0à, lesréel s

sontapp eléscoefficientsde degrédu polynôme. !Parcon vention,ledegrédupol ynômen ul,() =0 est égalà .

5678 é8ar 9 70ié8n E.7tsGéli.7sn"estpas spécifié parunquantifi cateur.

Siestp olynôme,() désignelava leurde enetno nl"imag eparde.

Commentaire

Exemple2.Comm entr écupère-t-onl escoe

fficients?

Donnerledegr éetles coe

fficientsdupo lynôme pour: ()=3 2 ()=23 3 ()=21()=2 2 +3+1

Méthode-Récup érerl escoe

fficientsd" unpolynôm e Onc ommencepardéte rminer ledegrédupolynôme: lapu issance la plusélevée des. Sile degrév aut, ond oitavoir (+ 1)c oefficients: tousles coefficientsdesexpr ess ionsen ,allantde 0à.

Les coefficientsdes

quine figur entpasdansl"exp ression sontnu ls.

Solutiondel"exem ple2.

Pour()=3

2 . C"estunp olyn ômeduseconddegré.Ondo itav oir3coe ffi- cients:leco efficientdus econd degrénoté 2 , celuidupr emierdeg ré 1 et le coefficientdude gré0 ,cequicorres pondà lacon stante noté 0

Les coe

fficientsde3 2 sont 2 =3, 1 = 0et 0 =0

Pour()=23

3 . Ledeg rédevaut3.

Les coe

fficientsde23 3 sont 3 =3, 2 = 0, 1 = 0et 0 =2

Pour()=21.Le degr édevaut1.

g

Polynômes

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Méthode-Cr-Ccunle

Méthode-Cherch eru neoulesracinesd "unp olynô me Chercheruneracineo ules racinesd"un poly nômerevientàrésou dre l"équation() =0. Siestu npol ynômedupremierdegré,de lafo rme+ et, alorsadmetune seul eracine:= 7; Siestu npol ynômededegrésupérieur ou égalà2, ilfautsuivre d"autresméthodesq uel"onver radansl asuite.Ma is,dansle caso ù 2

Si0,n"aau cuneracinecar

2 = 0n "aaucune solution;

Si= 0,admetun eseuler acine,=0;

Si0,a deuxra cines:

et. !Le nombrederacin eses tinférieurouéga laudeg ré.

Solutiondel"exem ple4.

1. Si()=3

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