[PDF] Les puissances à exposants négatifs

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CHAPITRE 2

Les puissances à exposants négatifs

1. Introduction : les puissances de 2

Nous connaissons bien la notation

2n où n est un entier positif :

0 2 1= 1 2 2= 2

2 2 2 4= × =

32 2 2 2 8= × × =

42 2 2 2 2 16= × × × =

En général :

facteurs

2 2 2 ... 2Nn

nn" Î = × × ×????? Remarquons qu"il y a une relation évidente entre deux puissances successives de 2. Par exemple :

4 32 2 2= × ou encore :

4 3222=

5 42 2 2= × ou encore :

3 2222=

6 52 2 2= × ou encore :

6 5222=
etc.

En général :

()* 12 2 2Nn nn-" Î = ×

Ou encore : 1222

n n-=

Nous allons essayer de donner un sens à

32- : c"est une puissance avec l"exposant négatif -3. Pour

cela, nous faisons l"hypothèse que la formule (4.3) reste valable pour tout entier relatif n. Nous

obtenons de cette façon le tableau suivant : n -3 -2 -1 0 1 2 3 2n 1 8 1 4 1

2 1 2 4 8

:2 :2 :2 :2 :2 :2

Il est donc naturel de poser :

3

31 128 2

En d"autres termes :

32- est l"inverse de 32.

2Et en général :

( )122Nnnn-" Î = est l"inverse de 2n

2. Définition et exemples

Définition. Soit

*RaÎ et NnÎ. na- est l"inverse de na. Donc : 1n naa Remarque. Dans la définition on doit choisir 0a¹ puisqu"en général 1 1

0 0n= n"existe pas !

Corollaire de la définition. Comme

na- est l"inverse de na, on peut dire également que na est l"inverse de na-. En d"autres termes : 1n naa-=

Démonstration. 1 11n n n n

nna a a aa a

Exemples.

▪ Puissances de 3 1

11 133 3

2

21 133 9

3

31 133 27

▪ Puissances de -3 1

11 1 133 33-- = = = ---

2

21 1393

3

31 13273-- = = --

Remarquons que les puissances paires de -3 sont positives tandis que les puissances impaires de -3 sont négatives. Ceci est général :

Signe d"une puissance. Soit

*RaÎ et ZnÎ. a) Si 0a> alors 0na>. b) (i) Si 0a< et n est pair alors 0na>. (ii) Si 0a< et n est impair alors 0na<. n -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 3n 1 81 1
27 1
9 1

3 1 3 9 27 81

n -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ( )3 n- 1 81 1
27- 1
9 1

3- 1 -3 9 -27 81

33. Propriétés Pour commencer, rappelons les propriétés des puissances à exposants positifs:

()()*, ,R Na b n m" Î " Î

Puissance d"un produit : ( )

nn nab a b=

Puissance d"un quotient :

nn na a b b Produit de puissances de même base : n m n ma a a+=

Quotient de puissances de même base :

si

1 si n m

n m m na n ma a n ma-

Puissance d"une puissance : ()

mn nma a= Nous allons prouver que ces formules restent valables pour des exposants négatifs.

· Puissance d"un produit

()( ) ( )*,R Z nn na b n ab a b" Î " Î =

Démonstration. La formule est déja valable si NnÎ (voir cours de 6e). Il reste donc à démontrer la

formule si Zn-Î, c.-à-d. si n m= - avec NmÎ. Dans ce cas :

1 par définition

1 formule pour exposants positifs 1 1 produit de deux fractions (voir cha p. 3) par définitionn m m m m m m m m n nab ab ab a b a b a b a b-

Exemple.

33 3 312 2

8a a a

· Puissance d"un quotient

( )( )*,R Zn n na aa b nb b

Démonstration. La formule est déja valable siNnÎ. Il reste donc à démontrer la formule siZn-Î,

c.-à-d. si n m= - avec NmÎ. Dans ce cas : 4 ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 n m m m n m m m m m m n m a a b a aaab b a b b ba b b- avec : ()par définition* = ()** =formule pour exposants positifs ()*** = formule sur les fractions

Exemple.

33 3

3 3 33 27

3 3x xx x

L"exemple suggère d"introduire une autre formule intéressante : ( )( )*,R Z n na ba b nb a

Démonstration.

1 1 1 nnn n n n n n n na a b bbb b a b a a a

Exemple.

4 43 3xx

· Produit de puissances de même base

()()*,R Zn m n ma n m a a a+" Î " Î =

Démonstration. La formule est déja valable si NnÎ et NmÎ. Il reste donc à démontrer la formule

si Zn-Î ou si Zm-Î. Nous allons nous restreindre au cas ou NnÎ et Zm-Î, c.-à-d. "m m= - avec "NmÎ. Alors : ""d"après (4.11) " si "

1 si "

n m n m n n m n m m m nn m n m m na a n maa a a aa a a a n ma- +

Exemple.

( )5 85 8 3

31 12 2 2 22 8

· Quotient de puissances de même base

( )( )*,R Znn m maa n m aa

Démonstration. ( )

par définition d"après (4.16)1 nn n m n m n m m maa a a a aa a

Exemple.

44 54 5

52
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