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De manière générale tout résultat contenant une variable doit être précédé du quantificateur adéquat. ? Placer n'importe où des quantificateurs. Par exemple
Quest-ce quun quantificateur ? Le point de vue de lalgèbriste
est obtenue de f(x) par quantification existentielle. De façon générale on appele quantificateur existentiel le symbole Il qui à lra fonction propositionnelle f
Logique et Quantificateurs
Quantificateur universel : Il signifie « Quel que soit » « pour tout » « pour n'importe quel ». Quantificateur existentiel : Il
1.4 Quantificateurs logiques
1.4 Quantificateurs logiques. Définition 9. Soit P(x) une proposition dépendant de la variable x. Le quantificateur universel.
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Quantificateurs logiques et rédaction mathématique
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1.4 Quanti
fi cateurs logiques Dé fi nition 9. Soit P x une proposition dépendant de la variable x . Le quanti fi cateur universel noté , permet de former la proposition " x X, P x " qui est vraie lorsque P x est vraie pour tous les éléments x de X , et qui est fausse si P x est fausse pour au moins un élément
x de XRemarque 10.
x X, P x )" se lit "pour tout x dans X la proposition P x ) est véri fiée", ou "tout
élément
x de X véri fi e P " ou "quel que soit x dans X la proposition P x ) est véri fiée".
Dé fi nition 10. Soit P x une proposition dépendant de la variable x . Le quanti fi cateur exis- tentiel , noté , permet de former la proposition " x X, P x " qui est vraie lorsque P x est vraie pour au moins un élément x de X , et qui est fausse si P x est fausse pour tous les éléme nts de XRemarque 11.
x X, P x )" se lit "il existe x dans X tel que la proposition P x ) est véri fiée", ou
"il existe x dans X qui véri fi e PExemple 10.
On considère la proposition
P x x0". Alors la proposition "
x R , x0" est
fausse et la proposition " x R , x0" est vraie.
1.3. Propriété- Négation des quanti
fi cateurs.Soit une proposition
P , alors on a les équivalences logiques : non x X, P x xX, non
P x non x X, P x xX, non
P xExemple 11.
La proposition "
x R , x0" est fausse et sa négation "
x R , x <0" est vraie.
Exemple 12.
La négation de "toutes les pommes du panier sont vertes" est "il y a une pomme dans le panier qui n'est pas verte" : la négation de "Tous ( )" n'est pas "Aucun ( )" mais plutôt "Il existe au moins un pour lequel on n'a pas (Exercice 1
(examen deuxième session 2013)On considère la proposition : "s
i tous les insectes ontsix pattes alors les araignées ne sont pas des insectes". Écrire la contraposée et la négation de cet
te proposition.Remarque 12.
Par convention, la propositio
n " x , P x )" est toujours vraie (il n' y a rien à véri fi er puisque l'ensemble vide n'a pas d'éléments) et la proposition " x , P x )" est toujours fausse (il n'existe aucun élément dans l'ensemble vide) 81.4. Propriété- Utilisation des quanti
fi cateurs.Soit une proposition
P x,y ) dépendant de deux variables , alors on a les équi- valences logiques : x X, y Y, P x,y y Y, x X, P x,y x X, y Y, P x,y y Y, x X, P x,yRemarque 13.
Par contre, la proposition "
x X, y Y, P x,y )" signi fi e que pour tout x il existe une valeur y (qui dépend a priori de x ) telle que P x,y ) est véri fiée, alors que "
y Y, x X, P x,y signi fi e qu'il existe une valeur de y telle que P x,y ) est véri fiée pour toutes les valeurs de
x dans XExemple 13.
Rappel sur les ensembles
N Z Q et R . On considère les deux propositions " x Z y Z , y x + 1" et " y Z x Z , y x + 1". Que dire par ailleurs de la proposition x N y N , y x + 1"?1.5 Techniques de démonstration
1.5.1 Preuve directe d'une implication.
Soit P et Q deux propositions données. Démontre r l'implication " P Q " consiste à véri fi er / démontrer que cette implication est vra ie. La preuve directe de l'implication P Q consiste à supposer que P est vraie et à démontrer (par un raisonnement déductif) que Q est vraie : dans ce cas cela montre que l'implication P Q est vraie (rappelons que quand P est fausse cette implication est de toute manière vraie).Exemple 14.
On démontre par preuve directe que pour tout entier naturel k N l'implication suivante est véri fiée :
k est impair k 2 est impair1.5.2 Preuve par contraposée d'u
ne implication. Soit P et Q deux propositions données.Démontrer
l'implication " P Q par la contraposée (ou par contraposition) consiste à démontrer que sa contraposée non Q non P ) est vraie (pourcela, on emploie la preuve directe). Rappellons qu'une implication et sa contraposée sont logiquement
équivalentes, donc elle sont vraies (ou fausses) simulanément : en ce sens il revient au même de
démontrer l'une ou l'autre.Exemple 15.
On démontre par la contraposée
que pour tout entier naturel k N l'implication suivante est véri fiée :
k 2 est pair k est pair 91.5.3 Preuve par l'absurde.
Soit P une proposition. La démonstration par l'absurde de P consiste à supposer que P est fausse et à en déduire une absurdité, une contradiction.
Exemple 16.
La preuve classique de l'irrationnalité de
2, qui remonte à Euclide, est une preuve
par l'absurde.quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46[PDF] les quantitées
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