Les racines carrées représentent un nouveau type de nombres qui
de la calculatrice. Savoir manipuler les racines permet de calculer réduire ou simplifier des expressions. Pour utiliser la racine carrée dans un produit
FRACTIONS PUISSANCES
https://www.maths-et-tiques.fr/telech/19RacPuissM.pdf
RACINES CARREES (Partie 2)
On regroupe les membres d'une même « famille de racines carrées » pour réduire l'expression. Les différentes familles de racines carrées sont :.
Racine carrée - Exercices corrigés
Au lieu de simplifier séparément les différentes racines nous pouvons
LES RACINES CARRÉES
La racine carrée de -5 est le nombre dont le carré est -5. Méthode : Calculer la racine carrée d'un nombre ... On peut alors réduire l'expression.
Fiche racines carrées
Rappels sur les racines carrées Nous dirons que c est la racine carrée de d ... Ecrire les expressions suivantes sans radical (racine carrée) au ...
3°4-Maths-chpt 3-les racines carrées
Définition 1: La racine carrée d'un nombre positif x est le nombre positif dont le carré est Définition : Réduire une expression c'est la simplifier.
SOUTIEN – RACINES CARREES EXERCICE 1 : Calculer les
Réduire chaque expression: Ecrire chaque expression sous la forme a b où a et b sont deux nombres entiers ... CORRECTION DU SOUTIEN – RACINES CARREES.
C:UsersPacalDesktopSujets brevet_Développements et
Commence par développer et réduire l'expression entre crochets. Conduire un calcul avec des racines carrées. Développer et réduire à l'aide des ...
Modèle mathématique. Ne pas hésiter à consulter le fichier daide
Définition et conditions d'existence de la racine carrée d'un nombre. 1) Définition . Il existe deux nombres tel que si on les multiplie par eux même le
3ème Chapitre A3 1
I)1) Définition .
Il existe deux nombres tel que si on les multiplie par eux même le résultat est 36 : 6 et 6 En effet : 6 ² = 6 6 = 36 et ( 6 ) ² = ( 6 ) ( 6 ) = 36 On choisit le nombre positif pour définir la " racine carrée » de 36.On décide que 36 = 6
Df : Soit a un nombre positif. La racine carrée du nombre a est le nombre positif noté a dont le carré est a. Quel que soit a positif ou nul, ( a ) ² = a ! RemarqueExemples :
81 = 9 car 9 ² = 81 ; 1.44 = 1.2 car 1.2 ² = 1.44
! Remarque : Les racines carrées entières sont les racines carrées des " carrés parfaits1 ² = 1 ; 2 ² = 4 ; 3 ² = 9 ; 4 ² = 16 ; 5 ² = 25
6 ² = 36 ; 7 ² = 49 ; 8 ² = 64 ; 9 ² = 81 ; 10 ² = 100
11 ² = 121 ; 12 ² = 144 ; 13 ² = 169 ; 14 ² = 196 ; 15 ² = 225
16 ² = 256 ; 17 ² = 289 ; 18 ² = 324 ; 19 ² = 361 ; 20 ² = 400
! Remarque : droite ou vers la gauche pour que la racine carrée du nombre obtenu soit un nombre décimal ( dont la partie décimale soit finie.)3ème Chapitre A3 2
Exemples :
169 = 13 16900 = 130 1.69 = 1.3 0.0169 = 0.13
1690000 = 1300 par contre 16.9 ou 1690 ne sont pas
des nombres décimaux.Compléter le tableau suivant :
a 2525
1 4 900 25
49
0.16 6
a 5 1 2 305 7 0.4 6 2a
225 225
1 (5 9) ²810000
2252401
0.0256
362) Avec la calculatrice :
On utilise la touche .
576 = 24 valeur exacte
575 23.979158 valeur approchée par défaut.
3) Propriété de base .
Quel que soit nombre positif a, a ² = a
! Remarque : donc ( a ) ² = a a = a ² = a aExemple :
( 5 ) ² = 5 1.2 1.2 = 1.2 7 7 = 710 6 = ( 10 3 ) ² = 10 3
3ème Chapitre A3 3
II) Equation du second degré de la forme x ² = a. Je cherche toutes les valeurs possibles de x pour que x = 49.Il y en a deux : 7 et : 49 et 49
Je cherche toutes les valeurs de x pour que x = 0. : 0 ( ou 0 ) Je cherche toutes les valeurs possibles de x pour que x = 64 n carré est toujours positifRécapitulatif :
Si a est positif :
x ² = a a pour solutions : x = a et x = aSi a est nul :
x ² = 0 a pour solution : x = 0Si a est négatif :
Exemples :
Résoudre les équations suivantes :
x ² = 256 cette équation admet deux solutions : x = 256 et x = 256 x = 16 et x = 16 x ² = 11 cette équation admet deux solutions : x = 11 et x = 11 x ² = aucune solution, car un carré est toujours positif.3ème Chapitre A3 4
3 x ² 8 = 5
3x ² = 5 + 8
3x ² = 3
x ² = 3 3 x ² = 9 cette équation admet deux solutions : x = 9 et x = 9 x = 3 et x = 3 : x = 0III) Propriétés et règles de calcul.
1) .
Quels que soient les nombres positifs a et b,
ab = a b ou a b = ab deux nombres positifs est égale auExemples :
3 5 = 3 5 = 15
12 = 4 3 = 4 3 = 2 3
5 20 = 5 20 = 100 = 10
2) .Quels que soient les nombres positifs a et b,
a b = a b ou a b = a b La racine carrée du quotient de deux nombres positif est égale au quotient3ème Chapitre A3 5
Exemples :
102 = 10
2 = 5
2581 = 25
81 = 5
9 753 = 75
3 = 25 = 5
34 = 3
4 = 3
2 ! Remarque : sommes et les différences. a + b a + b et a b a bExemples :
16 + 9 = 25 = 5 et 16 + 9 = 4 + 3 = 7
100 64 = 36 et 100 64 = 10 8 = 2
IV) Comparaison de racines carrées.
Règle : Deux racines carrées sont toujours rangées dans le même ordre que leurs carrés.Quels que soient les nombres positifs a et b,
Si a b alors a b et si a b alors a bExemples :
Comparer 56 et 57
56 < 57 donc 56 < 57
3ème Chapitre A3 6
Comparer 3 2 et 27
( 3 2 ) ² = 3 ² 2 ² = 9 2 = 1827 ² = 27 donc 3 2 < 27
V) .1) Simplifier une racine carrée.
Mettre sous la forme a b où a et b sont deux entiers avec b le plus petit lifier ! )50 = 25 2 = 25 2 = 5 2
24 = 4 3 = 4 3 = 2 3
64 = 8
6 45 = 6 9 5 = 6 9 5 v = 6 3 5 = 18 5
2) Simplifier un produit, quotient ou carré de racines carrées.
Mettre sous la forme a b où a est une fraction ou un entier et b un45 5 = 9 5 5 = 9 5 5 = 3 5 = 15
21 15 = 7 3 3 5 = 3 3 7 5 = 3 35
1227 = 4 3
9 3 = 4 3
9 3 = 2
33) Simplifier une somme.
Mettre sous la forme a b où a et b sont deux entiers avec b le plus petit4 5 + 125 = 4 5 + 5 25
= 4 5 + 5 25 = 4 5 + 5 5 = 9 53ème Chapitre A3 7
75 4 27 + 2 48 = 25 3 4 9 3 + 2 16 3
= 25 3 4 9 3 + 2 16 3 = 5 3 4 3 3 + 2 4 3 = 5 3 12 3 + 8 3 = 3200 + 4 50 7 32 = 100 2 + 4 25 2 7 16 2
= 100 2 + 4 25 2 7 16 2 = 10 2 + 4 5 2 7 4 2 = 10 2 + 20 2 28 2 = 2 24) Développer et réduire un produit contenant des racines carrées.
Mettre sous la forme a + b c où a, b et c sont des entiers avec c le plus ( 2 + 3 ) ( 5 2 ) = 5 2 2 ² + 15 3 2 = 2 2 2 + 15 = 13 + 2 2 ( 3 5 2 ) ² = ( 3 5 ) ² 2 3 5 2 + 4 = 9 5 12 5 + 4 = 45 + 4 12 5 = 49 12 5 ( 2 7 + 5 ) ( 2 7 5 ) = ( 2 7 ) ² 5 ² = 4 7 25 = 28 25 = 3 ! Remarque : Dans le sens développement, la troisième égalité remarquable supprime les radicaux.3ème Chapitre A3 8
5) .Supprimer la racine au dénominateur :
52 = 5 2
2 2 = 5 2
2 33 = 3 3
33 = 3 3
3 = 3
Supprimer la racine au dénominateur en utilisant la troisième égalité remarquable dans le sens développement. 62 5 = 6 ( 2 + 5 )
( 2 5 ) ( 2 + 5 ) = 12 + 6 54 5 = 12 + 6 5
1 = 12 6 5 23 2 1 =
VI) Application à la géométrie.
1) . Soit un triangle équilatéral de côté a, et sa hauteur issue de C qui coupe [AB] en H. Calculer la valeur exacte de la hauteur [CH].Dans un triangle équilatéral, les hauteurs
sont aussi médianes, donc (CH) est la médiane issue de C dans le triangle ABC et H est le milieu de [AB]. Donc AH = a 2Dans un triangle équilatéral, les trois
angles valent chacun 60 °, doncCAH =
CAB = 60 °
(CH) étant la hauteur issue de C dans le triangle ABC, on peut dire que le triangleACH est rectangle en H
AB C H a a 2 a3ème Chapitre A3 9
Dans le triangle ACH, rectangle en H, je peux appliquer le théorème dePythagore :
AC ² = AH ² + HC ² HC ² = 4 a ²4 a ²
4 HC ² = AC ² AH ² HC ² = 3 a ² 4HC ² = a ² ( a
2 ) ² HC = 3 a ²
4HC ² = a ² a ²
2 ² HC = 3 a ²
4quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46[PDF] Les racines carrées - sujet de brevet
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