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Racines carrées et nombres rationnels

Des nombres entiers?-La racine carrée d"un nombre positifcest le nombre positifxtel quex2=c; on le notepc. Par exemple, la racine carrée de169est égale à13. L"opposépcvérifie aussi(pc)2=c; on dit parfois quepcest la racine carrée négative dec. Ici, seule la racine carrée positive nous intéressera :nous allons chercher les nombres entiers n0tels quepnsoit un nombre rationnel. Mais auparavant, posons nous une question plus simple : quels sont les nombresn0dont la racine carrée est un nombre entier? Par définition, les nombresndont la racine carrée est un entier peuvent être écrits sous la formen=m2avecmentier positif. Ces nombresnsont donc les éléments de la liste qui commence ainsi : (le dernier terme écrit,289 = 172, correspond àm= 17). Dans cette liste, l"écart entre le termem2et le suivant(m+1)2est égal à2m+1; les écarts successifs grandissent donc indéfiniment : à chaque fois, l"écart s"accroit de deux unités, passant par exemple de21pourm= 10à23pourm= 11, de31pourm= 15à33pourm= 16, ... Les entiers de la formem2ou, ce qui revient au même, les nombres dont la racine carrée est un entier,

deviennent de plus en plus rare à mesure que leur taille augmente.p2n"est pas rationnel.-Le premier nombre entier qui n"est pas le

carré d"un entier est le nombre2. Sa racine carréep2est-elle rationnelle? Autrement dit, peut-on trouver deux entiers positifspetqtels quep2 = p=q? La réponse est non : Théorème.-La racine carrée de2n"est pas un nombre rationnel. Nous allons donner deux démonstrations de ce théorème, l"une géo- métrique, l"autre arithmétique. Les deux procèdent d"un raisonnement par l"absurde : nous y supposons que le nombreL=p2est rationnel et l"écri- vons sous forme réduitep=q, avecpetqentiers positifs; il s"agit alors de 1 2 trouver une nouvelle écritureL=a=bavecaplus petit quepstrictement etbplus petit queqstrictement, contredisant l"hypothèse initiale de forme réduite.Démonstration géométrique.- En écrivantL2= 2et en multipliant chaque terme parq2nous obtenons p

2= 2q2:

Ceci implique que l"aire d"un carré de côtép(c"est-à-direp2) est égale à la somme des aires de deux carrés de côtéq, comme sur la figure ci-dessus. Faisons glisser les deux petits carrés rouges à l"intérieur du grand jaune comme ci-dessous. Trois nouveaux carrés apparaissent : le carré bleu : c"est là où les deux carrés rouges se superposent ; les deux petits carrés v erts: ce sont les zones du grand carré qui ne sont pas couvertes par les deux carrés rouges. 3 En additionnant les aires des deux carrés verts et des deux rouges on obtient donc l"aire du grand carré jaune plus celle du carré bleu, car celui- ci est compté deux fois (une fois par carré rouge). L"aire du carré jaune étant à deux rouges, l"aire du carré bleu est le double de celle d"un vert. Notonsale côté du carré bleu etbcelui du vert; alors l"égalité que nous

venons d"établir correspond à l"équationa2= 2b2. Ainsi(a=b)2= 2etp2est donc aussi égal au nombre rationnela=b. Maisaetbsont des entiers

positifs strictement plus petits quepetq: plus précisément,b=pqet a= 2qp. Donc l"écriturep2 =p=qne pouvait pas être une forme réduite. Démonstration géométrique sans la géométrie.- En oubliant le chemi- nement géométrique précédent, mais en relisant le dernier paragraphe de la démonstration, nous obtenons une démonstration plus courte. Partant de L=p=qavecp2= 2q2, définissonsa= 2qpetb=pq. Puisque

1< L <2nous savons queq < p <2q; ceci montre que0< a < p

et que0< b < q. Par ailleurs,a2= 4q24pq+p2= 6q24pqet b

2=p22pq+q2= 3q22pq. Donca2= 2b2. Ainsi,a=best aussi égal

àL=p2, ce qui contredit l"hypothèse de forme réduite pourp=q. Démonstration arithmétique.- Nous utiliserons la remarque suivante :le carré d"un nombre impair est impair. En effet, un nombre impair est de la forme2k+1, son carré est alors égal à4k2+4k+1 = 2(2k2+2k)+1 et est donc impair. Revenons à la démonstration du théorème. En écrivantL2= 2et en multipliant chaque terme parq2nous obtenonsp2= 2q2:Ceci montre que

2divisep2. Ainsi,pest pair et peut être écrit sous la formep= 2aoùaest

l"entier obtenu en divisantppar2. En remplaçantppar2a, l"équationp2=

2q2devient4a2= 2q2; elle fournit la relation2a2=q2, ce qui montre

queqest pair aussi et peut-être écrit sous la formeq= 2b. La fractionp=q n"était donc pas sous forme réduite puisquep=q= (2a)=(2b) =a=b. C"est

la contradiction cherchée.Irrationnalité.-Nous allons maintenant reproduire la démonstration

pour démontrer le théorème suivant. 4 Théorème.-Les entiersn0dont la racine carrée est un nombre ra- tionnel sont les entiers qui sont les carrés d"un nombre entier.

Autrement dit,

pnest un nombre rationnel si et seulement sipnest un entier, si et seulement s"il existe un entiermtel quen=m2: on retrouve la liste du premier paragraphe. Ainsi,p2,p3,p5,p6,p7, ..., ne sont pas rationnels. Ce ne sont donc pas des nombres décimaux; ces derniers, en effet, sont les nombres rationnels qui peuvent être écrits sous la formep=q avecqune puissance de10:q= 10kpour un entierk0. Démonstration arithmétique.- Nous utiliserons l"existence et l"unicité de la décomposition d"un nombre entier en produit de facteurs premiers. Ceci remplacera le fait, utilisé pour étudierp2, que le carré d"un nombre impair est impair. Supposons quepnsoit un nombre rationnel, que l"on écrit sous forme réduitep=q. Alorsp2=nq2. Notonsp1,:::,pkles facteurs premiers dep, etq1,:::,q`les facteurs premiers deq; les nombres premiers qui apparaissent sont deux-à-deux distincts (si des facteurs pre- miers depetqcoïncidaient, la fractionp=qne serait pas réduite car on pourrait simplifier numérateur et dénominateur par ce facteur premier). Les facteurs premiers dep2sont les mêmes que ceux dep, simplement les exposants sont multipliés par2. Par exemple, sip= 63 = 327alors p

2= 3969 = 3472. Pourtant, la relationp2=nq2montre que les fac-

teurs premiers depsont ceux denet deq2: lesqjdevraient donc apparaître

dans la liste despi. C"est la contradiction cherchée.De bonnes approximations.-Même sip2n"est pas rationnel, il existe

de très bonnes approximations par des nombres rationnels. Par exemple, son développement décimal commence par1:414, donc j p214141000 j=jp2707500 j<11000 = 0;001: Mais l"on peut faire beaucoup mieux. Par exemple,jp29970 j<8105: L"approximation est meilleure car les quatre premiers chiffres après la vir- gule sont exacts (au lieu de trois) et les entiersp= 99etq= 70utilisés pour la fraction sont bien plus petits que707et500. Avec la fraction17=12, on obtiendrait déjà les deux premières décimales.quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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