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Inéquations trigonométriques

B8 – Fonctions trigonométriques et cyclométriques. CoursModules_InequationsTrigonometriques page 1 de 6. Cours élaboré par Berns André. Inéquations

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Il s'agit des nombres de la forme. 2. 2 k π. - + π avec k ∈ . 8. Equation sin. 0 x = Les solutions ont pour points images A et A'.

Leçon 32 Inéquations trigonométriques Exemple 1 : Résoudre l

Leçon 32 Inéquations trigonométriques. Exemple 1 : Résoudre l'inéquation. 2. 2sin cos. 4. x 5 x. +. < tel que π2. 0. <. ≤ x . Solution. 2. 2. 2sin cos. 4. 2(1

Équations et Inéquations en Trigo : Cours • Lycée en 1ère Spé Maths

Pour résoudre une inéquation en trigonométrie il est indispensable: • de passer par la représentation d'un cercle trigonométrique

TRIGONOMÉTRIE (II) CORRECTION DES EXERCICES

3sont les solutions de l'équation 1 − cos(3x) = 0 lorsque x ∈ [−π;π[ c Cours Galilée. Toute reproduction même partielle

FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES

Rappels du cours de 1ère en vidéo : https://youtu.be/wJjb3CSS3cg. Partie 1 Méthode : Résoudre une équation et une inéquation trigonométrique. Vidéo ...

Comment résoudre une inéquation trigonométrique : la méthode

Résoudre une inéquation trigonométrique revient tout à d'abord à résoudre l'équation correspondante. Ensuite en plaçant les points correspondants sur le cercle

1S Equation et inéquation trigonométrique mercredi 17 octobre

On commence par chercher une valeur simple pour laquelle sin x = -. 1. 2 ici on prendra x = - π. 6 . On trace un cercle trigonométrique pour retrouver les

Trigonométrie

Résoudre de deux manières différentes l'équation cos( ) = sin(2 ). Inéquations trigonométriques. La simple visualisation du cercle trigonométrique permet de

Fonctions Trigonométriques - Partie 1 Équations et inéquations

Il faut penser à utiliser le cercle trigonométrique . Exemple 1 : L'équation cosx=cos(−π. 4. ) dans ]−π;π ] a pour solutions.

Leçon 32 Inéquations trigonométriques Exemple 1 : Résoudre l

2sin cos. 4. 2(1 cos ) 5cos. 4 x 5 x x x. +. < ?. -. +. <. 02 cos5 cos2. 04 cos5 cos22. 2. 2. > +. -. ?. <. -. +. -. ? x x x x. Posons. ?. ?.

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Il s'agit des nombres de la forme. 2. 2 k ?. - + ? avec k ? . 8. Equation sin. 0 x = Les solutions ont pour points images A et A'.

Équations et Inéquations en Trigo : Cours • Lycée en 1ère Spé Maths

www.freemaths.fr. Équations & Inéquations. Trigonométriques. Mini Cours B. Résoudre dans ¨ une équation trigonométrique: ? cos ( x) = cos ( a ):.

1S Equation et inéquation trigonométrique mercredi 17 octobre

On trace un cercle trigonométrique pour retrouver les autres valeurs sur la parallèle à l'axe des abscisses passant par le point correspondant à.

Synthèse de trigonométrie

nous le renvoyons à ses cours de l'enseignement secondaire. Contrairement aux équations algébriques une équation trigonométrique admet une infinité.

Synthèse de trigonométrie

nous le renvoyons à ses cours de l'enseignement secondaire. Contrairement aux équations algébriques une équation trigonométrique admet une infinité.

Inéquations trigonométriques

Cours élaboré par Berns André. Inéquations trigonométriques. Pour résoudre des inéquations trigonométriques nous allons toujours nous servir d'une

Équations et inéquations trigonométriques avec des cosinus et des

étudier la résolution d'inéquations trigonométriques nécessitant un Une autre méthode consiste à appliquer la propriété énoncée au début du cours.

Équations et inéquations trigonométriques avec des cosinus et des

Il s'agit des nombres de la forme 2k avec k » . Une autre méthode consiste à appliquer la propriété énoncée au début du cours. cos. 1 x ?. 0

Équations et inéquations trigonométriques avec des cosinus et des

Il s'agit des nombres de la forme 2k avec k » . Une autre méthode consiste à appliquer la propriété énoncée au début du cours. cos. 1 x ?. 0

1ère S

Chapitre 30

Equations et inéquations trigonométriques

avec des cosinus et des sinus

I. Règles fondamentales

1°) Egalité de deux cosinus

a et b sont deux réels. A B A' B' O b cos cos a b si et seulement si

2a b k k

2 'a b k 'k

2°) Egalité de deux sinus

a et b sont deux réels. A B A' B' O b sin sin a b si et seulement si

2a b k k

2 'a b k 'k

-b -b 2 II. Exemples de résolutions d'équations trigonométriques

1°) Exemple 1

Résoudre dans l'équation 1cos2x (1).

Astuce de départ :

1cos2 3

Réécriture de l'équation

(1) s'écrit cos cos3x (1) cos cos3x (" on équilibre l'équation »)

23x k k

ou (on " enlève » les cos avec la règle 1)

2 '3x k 'k

12 , 2 ' , '3 3S k k k k

2°) Exemple 2

Résoudre dans l'équation

ne pas développer

2sin3 2x

(2).

Astuce de départ :

2sin2 4

Réécriture de l'équation

(2) s'écrit sin sin3 4x (2) sin sin3 4x

23 4x k k

2 '3 4x k 'k

24 3x k k

2 '4 3x k 'k

212x k k

52 '12x k 'k

252 , 2 ' , '12 12S k k k k

3°) Exemple 3

Résoudre dans l'équation cos3 sinx x (3).

Astuce de départ :

sin cos2x x

Réécriture de l'équation

(3) s'écrit cos3 cos2x x (3) cos3 cos2x x

3 22x x k k

3 22x x k' 'k

4 22x k k

2 2 '2x k 'k

22
4 k x k ou 2 '2 2 k x 'k 4

8 2x k k

ou '4x k 'k

3, ' , '8 2 4S k k k k

A B A' B' O

1ère famille (points rouges) 2e famille (points verts)

0k : 8

1k : 5

8 2 8

2k : 9

8 8

3k : 3 13

8 2 8 ' 0k : 4 ' 1k : 3 4 4 0M8 313M8
15M8 29M8
0M'4 13M'4 5 III. Equations trigonométriques particulières

1°) Règles

Par lecture du cercle trigonométrique, on obtient dans chaque cas une seule famille de solutions. cos 1x 2x k k cos 1x 2x k k cos 0x 2x k k sin 1x 22x k k sin 1x 22x k k sin 0x x k k

2°) Justification

Donner 6 cercles trigonométriques

Equation cos 1x

Les solutions ont pour point image A.

O AA' B B'

Les solutions sont les nombres 0, 2, 4, -2, -4

Il s'agit des nombres de la forme 2kavec k.

Equation cos 1x

Les solutions ont pour point image A'.

O AA' B B'

Les solutions sont les nombres , 3, -, -3

Il s'agit des nombres de la forme kavec k.

Equation cos 0x

Les solutions ont pour points images B et B'.

O AA' B B'

Les solutions sont les nombres 2

, 3 2 , 2 , 3 2

Il s'agit des nombres de la forme 2x k avec k.

Equation sin 1x

Les solutions ont pour point image B.

O AA' B B'

Les solutions sont les nombres 2

, 22 , 42 , 22 , 42

Il s'agit des nombres de la forme 22k avec k.

Equation sin 1x

Les solutions ont pour point image B'.

O AA' B B'

Les solutions sont les nombres 2

, 22 , 42 , 22 , 42

Il s'agit des nombres de la forme 22k avec k.

Equation sin 0x

Les solutions ont pour points images A et A'.

O AA' B B' Les solutions sont les nombres 0, , 2, 3, 4, - , - 2, - 3, - 4

Il s'agit des nombres de la forme x k avec k.

IV. Résolution d'une équation trigonométrique dans un intervalle donné (exemple) Résoudre dans [0 ; 4] l'équation 1cos22x (1).

1ère étape :

On résout l'équation dans .

Astuce de départ :

1cos3 2

(1) cos2 cos3x

2 23x k k

2 23x k' 'k

6x k k

ou '6x k 'k 9

2e étape :

On cherche les solutions dans [0 ; 4]

1ère famille

2e famille

On cherche k tel que :

0 46k

10 46k

1 23 6 6k

10,166...6

233,833...6

k Donc 0k ou 1k ou 2k ou 3k 1 6

On cherche 'k tel que :

0 ' 46k

10 ' 46k

1 25'6 6k

10,166...6

254,1666...6

'k Donc 1k' ou 2k' ou 3k' ou 4k' 1 6

On donne l'ensemble des solutions dans [0 ; 4].

0; 45 7 11 13 17 19 23; ; ; ; ; ; ;6 6 6 6 6 6 6 6S

V. Inéquations trigonométriques

1°) Remarques préliminaires

Il n'y a pas de règle.

On utilise le cercle trigonométrique.

2°) Exemples

Exemple 1

Résoudre dans l'intervalle [- ; ] l'inéquation 2cos2x. A B A' B' O D'après le cercle trigonométrique : ;4 4S .

Exemple 2

Résoudre dans l'intervalle ;2 2

l'inéquation 1sin22x.

1ère étape

On pose : 2X x.

2 2x 2x X 2 (2 Donc 1sin2 X X 4 4 2 2 11 A B A' B' O

D'après le cercle trigonométrique :

5 6 6X

2e étape

Or 2X x

Donc 526 6x

12 12x

: 2 (2

5;12 12S

6 5 6 1 2 12

VI. Utilisation de la calculatrice

1°) Pour les cosinus

1cos2x

A B A' B' O

Calculatrice

Mode radians :

2nd cos 0,5 = 1,04719...

3 La calculatrice donne une valeur dans l'intervalle [0 ; ].

2°) Pour les sinus

A B A' B' O La calculatrice donne une valeur dans l'intervalle ;2 2 3 0 1 2 2 2 13

1ère S Exercices sur les équations et inéquations trigonométriques

1 Résoudre dans l'équation 3cos 23 2x .

2 Résoudre dans l'équation 1sin 32x.

3 Résoudre dans l'équation sin 5 sin 0x x .

4 Résoudre dans l'équation 22cos 7cos 3 0x x .

5 Résoudre dans l'équation 3 cos sin 2 0x x .

6 Résoudre dans l'équation 1 3 cos sin 12 2x x .

7 Résoudre dans 0 ; 2 l'inéquation 3cos 2x.

8 Résoudre dans ; l'inéquation 2sin 2x .

9 Résoudre dans ; l'inéquation 21cos 4x.

Réponses

1 , , 4 12S k k k' k'

2 2 5 2, , 18 3 18 3

k k'S k k'

3 Astuce : l'équation est équivalente sin 5 sin x x soit sin 5 sin x x .

, , 3 4 2 kS k k' k'quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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1ère S

Chapitre 30

Equations et inéquations trigonométriques

I. Règles fondamentales

1°) Egalité de deux cosinus

2a b k k

2 'a b k 'k

2°) Egalité de deux sinus

2a b k k

2 'a b k 'k

1°) Exemple 1

Résoudre dans l'équation 1cos2x (1).

Astuce de départ :

1cos2 3

Réécriture de l'équation

23x k k

2 '3x k 'k

12 , 2 ' , '3 3S k k k k

2°) Exemple 2

Résoudre dans l'équation

2sin3 2x

Astuce de départ :

2sin2 4

Réécriture de l'équation

23 4x k k

2 '3 4x k 'k

24 3x k k

2 '4 3x k 'k

212x k k

52 '12x k 'k

252 , 2 ' , '12 12S k k k k

3°) Exemple 3

Astuce de départ :

Réécriture de l'équation

3 22x x k k

3 22x x k' 'k

4 22x k k

2 2 '2x k 'k

8 2x k k

3, ' , '8 2 4S k k k k

1ère famille (points rouges) 2e famille (points verts)

0k : 8

1k : 5

2k : 9

3k : 3 13

1°) Règles

2°) Justification

Donner 6 cercles trigonométriques

Equation cos 1x

Les solutions ont pour point image A.

Les solutions sont les nombres 0, 2, 4, -2, -4

Il s'agit des nombres de la forme 2kavec k.

Equation cos 1x

Les solutions ont pour point image A'.

Les solutions sont les nombres , 3, -, -3

Il s'agit des nombres de la forme kavec k.

Equation cos 0x

Les solutions ont pour points images B et B'.

Les solutions sont les nombres 2

Il s'agit des nombres de la forme 2x k avec k.

Equation sin 1x

Les solutions ont pour point image B.

Les solutions sont les nombres 2

Il s'agit des nombres de la forme 22k avec k.

Equation sin 1x

Les solutions ont pour point image B'.

Les solutions sont les nombres 2

Il s'agit des nombres de la forme 22k avec k.

Equation sin 0x

Les solutions ont pour points images A et A'.

Il s'agit des nombres de la forme x k avec k.

1ère étape :

On résout l'équation dans .

Astuce de départ :

1cos3 2

2 23x k k

2 23x k' 'k

6x k k

2e étape :