Statistiques descriptives et exercices
Rappels de cours et exercices corrigés sur la statistique descriptive ni : le nombre d'individus qui ont le même xi ça s'appelle effectif partiel de xi ...
TD n° 1 STATISTIQUE DESCRIPTIVE 7 13 8 10 9 12 10 8 9 10 6 14
En comparant moyennes et variances toujours au seuil de 5%
Introduction aux probabilités et à la statistique Jean Bérard
répondre à l'aide d'un modèle que vous aurez vous-même élaboré et justifié. titre d'exercice (Exercice 3) le soin de réfléchir à la signification de la ...
Cours de probabilités et statistiques
Pourtant le nombre de combinaisons dont la somme fait 12 est le même que le nombre de combinaisons dont la somme fait 11. Alors ? 1.6 Exercices. Exercice 1 –
statistiques corrigé
:::::::::: Exercice 2 :::::::::::::::::::: Le tableau ci-contre récapitule les tailles en cm des 36 élèves d'une classe de Première. Ces valeurs ont été
Exercices Corrigés Statistique et Probabilités
Dresser le tableau statistique de la distribution de la variable X (effectifs cumulés Voir exercice 1 de l'examen précédent (même méthode de calcul).
Cours de Statistiques inférentielles
De même la probabilité que X soit entre a et b (b>a) vaut. P(a<X<b) = F(b) ? F(a). Ref : Statistique
Exercice type brevet : statistiques Exercice 2 : Les informations
Exercice type brevet : statistiques. Exercice 2 : Les informations suivantes concernent les salaires des hommes et des femmes d'une même entreprise :.
26 petits exercices de statistiques 3eme pour sentrainer.pdf
Exercice n°2 : Voici une série statistique : 25 ; 12 ; 13 ; 20 ; 17 ; 9 ; 1 ; 15 élèves ont déterminé en suivant le même protocole
CTU Master Enseignement des Mathématiques Statistique
Ce polycopié contient le cours les sujets d'exercice et leurs corrigés ainsi que on remarque également qu'un même estimateur peut mener à différentes ...
Stage ATSM - Ao^ut 2010
Cours de probabilit
´es et statistiques
A. Perrut
contact : Anne.Perrut@univ-lyon1.fr 2Table des matiµeres
1 Le modµele probabiliste 5
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Trois autres lois discrµetes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.2 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.3 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1 Loi d'une v.a. continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 La loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4 La loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.5 Fonction d'une v.a. continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.1 Loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3 Intervalles de con¯ance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
34TABLE DES MATIµERES
5 Tests statistiques 47
5.1 Tests d'hypothµeses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2 Test d'ajustement du chi-deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
B Tables statistiques 61
C.1 Variable quantitative discrµete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 C.2 Variable quantitative continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 C.3 Variable qualitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Chapitre 1
Le modµele probabiliste
1.1 Introduction
Exemples :
- l'enfant µa na^³tre sera une ¯lle, - Proportion :P(A) =3
6 = 1=2. AlorsP(¯lle) = limn!+1k
n n mais cette limite a-t-elle un sens? - Opinion : pour que l'OL soit championne de France? Dans ce cas, on ne peut pas rejouer le m^eme subjectif. 56CHAPITRE 1. LE MODµELE PROBABILISTE
Exemples :
\Lyon ne gagne pas". chi®re pair", ieA=f2;4;6g. jcelui du second.B: \on obtient pile au deuxiµeme lancer" est
B=f(f;p;f);(f;p;p);(p;p;f);(p;p;p)g
le nombre de \face" obtenus. Alors, =f0;1;2;3g. Le modµele est beaucoup plus simple, notations vocabulaire ensembliste vocabulaire probabiliste ensemble plein ensemble vide A sous-ensemble de !2A !appartient µaAA½B
Ainclus dansB
AimpliqueB
A[B AouB A\B intersection deAetB AetB A cou A A\B=;AetBdisjoints
AetBincompatibles
Exemple : soit =f0;1;2g. ConstruisonsP().
P() =n
;;f0g;f1g;f2g;f0;1g;f0;2g;f1;2g;o telle que : -P(A) =X -P() =X !2P(!) = 10.95 :Ava trµes probablement se produire.
4.0 : incorrect.
-2 : incorrect.0.5 : une chance sur deux.
8CHAPITRE 1. LE MODµELE PROBABILISTE
faire quelques calculs :1) SiAetBsont incompatibles,P(A[B) =P(A) +P(B).
2)P(Ac) = 1¡P(A).
3)P(;) = 0.
5)P(A[B) =P(A) +P(B)¡P(A\B).
2) CommeAetAcsont incompatibles,1 =P() =P(A[Ac) =P(A) +P(Ac).
3)P(;) = 1¡P(;c) = 1¡P() = 0.
P i2NA i´ =X i2NP(Ai) - axiome 3 :P() = 11 =P() =X
!2P(!) =X !2p=p£card()D'oµup=P(!) =1
card()P(A) =X
!2AP(!) =card(A) card() dire : - choisir, parP(BjA) =P(A\B)
P(A) Utilisation 2 : QuandP(BjA)etP(A)sont faciles µa trouver, on peut obtenirP(A\B). Exemple 6Une urne contientrboules rouges etvboules vertes. On en tire deux, l'une =frouge;verteg £ frouge;verteg rouge".P(A\B) =P(BjA)P(A) =r¡1
r+v¡1¢r r+vP(B) =P(BjA)P(A) +P(BjAc)P(Ac)
10CHAPITRE 1. LE MODµELE PROBABILISTE
preuve : CommeA[Ac= ,P(B) =P(B\(A[Ac)) =P((B\A)[(B\Ac)). OrB\AP(B) =P(B\A) +P(B\Ac)
On garde le m^eme formalisme.
P(B) =P(BjA)P(A) +P(BjAc)P(Ac)
r¡1 r+v¡1¢r r+v+r r+v¡1¢v r+v =r r+v (i)[i2IAi= (ii) lesAisont deux µa deux incompatibles : pour tousi6=j,Ai\Aj=;.P(B) =X
i2IP(BjAi)P(Ai) dans l'ordre chronologique. Nous allons maintenant voir une formule µa remonter le temps...1etP(B)>0. Alors,
P(AjB) =P(BjA)P(A)
P(BjA)P(A) +P(BjAc)P(Ac)
preuve :P(AjB) =P(A\B)
P(B)=P(BjA)P(A)
P(B) i2I,P(AijB) =P(BjAi)P(Ai)
P j2IP(BjAj)P(Aj) bleaux sur informatique. Les tableaux deAcomportent des fautes dans 5,2% des cas et ceux deBdans 6,7% des cas. On prend un tableau au hasard. Il comporte des fautes. T TF=\ le tableau comporte des fautes".
P(TAjF) =P(FjTA)P(TA)
P(FjTA)P(TA) +P(FjTB)P(TB)
P(A\B) =P(A)P(B)
P(BjA) =P(B)()P(AjB) =P(A)()P(A\B) =P(A)P(B)
Proposition 14Soit =E£FoµuEest de cardinalnetFde cardinalp. Supposons queP(!) =P((x;y)) =1
card() =1 np =PE(fxg)PF(fyg) =fP;Fg £ f1;:::;6g12CHAPITRE 1. LE MODµELE PROBABILISTE
8!2; P(!) =1
card() = 1=12 P N³ (!1;:::;!N)´ =P(!1)¢¢¢P(!N) surN. Pourtant, le nombre de combinaisons dont la somme fait 12 est le m^eme que le nombre de combinaisons dont la somme fait 11. Alors?1.6 Exercices
3) On tire trois cartes dans un jeu .
suppose queP(A[B) = 7=8; P(A\B) = 1=4; P(A) = 3=8:
CalculerP(B),P(A\Bc),P(B\Ac).
ros impairs ont chacun la m^eme chance d'appara^³tre, chance qui est deux fois plus grande hasard, et l'on observe que les quatre places libres se suivent. Est-ce surprenant?1.6. EXERCICES13
Exercice 6 {SoientM1,M2,M3trois personnes. La premiµereM1dispose d'une infor- la transmet µaM3. Malheureusement, µa chaque fois que l'information est transmise, il y a le bon message? Et siM3transmet l'information dont il dispose µa une quatriµeme personneM4, quelle est elle re»coit un vaccin? daire? Exercice 8 |Dans une usine, la machine A fabrique 60% des piµeces, dont 2% sont C? Exercice 9 |Dans une jardinerie : 25% des plantes ont moins d'un an, 60% ont de 1 µa 2 ans, 25% ont des °eurs jaunes, 60% ont des °eurs roses, 15% ont des °eurs jaunes et moins d'un an, 3% ont plus de 2 ans et n'ont ni °eurs jaunes, ni °eurs roses. 15% de celles qui ont de 1 µa 2 ans, ont des °eurs jaunes, 15% de celles qui ont de 1 µa 2 ans, n'ont ni°eurs jaunes ni °eurs roses. On suppose que les °eurs ne peuvent pas ^etre µa la fois jaunes
et roses. On choisit une plante au hasard dans cette jardinerie.14CHAPITRE 1. LE MODµELE PROBABILISTE
Exercice 10 |Deux chau®eurs de bus se relaient sur la m^eme ligne. Lors d'une grµeve, le premier a60%de chances de faire grµeve et le second80%. Pendant la prochaine grµeve, Exercice 11 |Une loterie comporte 500 billets dont deux seulement sont gagnants.Chapitre 2
PPP PPF PFP FPP FFP FPF PFF FFF
valeur deX3 2 2 2 1 1 1 0
k(valeur prise parX)3 2 1 0
fPPPg fPPF,PFP,FPPg fPFF,FPF,FFPg fFFFg k(X=k) = 15 elle est ditecontinue(exemples : hauteur d'un arbre, distance de freinage d'une voiture souvent une formule, plut^ot qu'une liste. [X= 3] [X= 2] [X= 1] [X= 0] fPPPg fPPF,PFP,FPPg fPFF,FPF,FFPg fFFFg1/8 3/8 3/8 1/8
F(x) =P[X·x]
Exemple :Xest le nombre de Face quand on lance trois fois une piµece. On a vu que la loi deXest P[X= 0] = 1=8; P[X= 1] =P[X= 2] = 3=8; P[X= 3] = 1=8D'oµu,
F(x) =8
>>>>>:0six <0;1=8si0·x <1;
4=8si1·x <2;
7=8si2·x <3;
1six¸3
1)Fest croissante,
3) lim x! ¡1F(x) = 0;limx!+1F(x) = 1E[X] =X
kkP[X=k] oµu on somme sur toutes les valeurskque peut prendreX.E[g(X)] =X
kg(k)P[X=k] preuve : observons queg(X) =yssiX=xavecg(x) =y. Ainsi,P(g(X) =y) =X
x:g(x)=yP(X=x)E(Y) =X
yyP(Y=y) =X yX x:g(x)=yg(x)P(X=x) =X xg(x)P(X=x)Var(X) =Eh
(X¡E[X])2i =X k(k¡E[X])2P[X=k] =E[X2]¡E[X]2 k2X()jkjP(X=k)<1 sa valeur moyenneE[X]. Exemple 18: nous avons la loi du nombreXde PILE quand on lance trois fois une piµece.E[X] =3X
k=0kP[X=k] = 3¢1 8 + 2¢3 8 + 1¢3 8 + 0¢1 8 =12 8 =3 2Var(X) =E[X2]¡E[X]2=3X
k=0k2P[X=k]¡E[X]2
= 32¢1
8 + 22¢3 8 + 12¢3 8 + 02¢1 8¡µ3
2 2 3 4 nbr de PILE [X= 3] [X= 2] [X= 1] [X= 0]0.125 0.375 0.375 0.125
0.2 0.6 0.1 0.1
partir de quelques observations.P[X=i;Y=j] =P[X=i]P[Y=j]
P[(X;Y) = (i;j)] =P[X=i;Y=j].
touti2X(),P[X=i] =X
j2Y()P[X=ijY=j]P[Y=j]SoitZ=X+Y. Quelle est la loi deZ?
valeur que prendX, la valeur que prendYet la valeur deZ. XnY1 2 3 4 5 6
12 3 4 5 6 7
23 4 5 6 7 8
34 5 6 7 8 9
45 6 7 8 9 10
56 7 8 9 10 11
67 8 9 10 11 12
pour tous1·i;j·6; P[X=i;Y=j] =P[X=i]P[Y=j] = 1=362] =P[Z= 12] = 1=36,P[Z= 3] =P[Z= 11] = 2=36,P[Z= 4] =P[Z= 10] = 3=36,
1·j·12.
P[Z=j] =6X
i=1P[Z=jjX=i]P[X=i] 1 6 6 X i=1P[X+Y=jjX=i] 1 6 6 X i=1P[Y=j¡ijX=i] 1 6 6 X i=1P[Y=j¡i] rappeler queP[Y=k] = 1=6seulement sikest dansf1;:::;6g. preuve : pour le premier point, il faut observer que X yP(X=x;Y=y) =P³ (X=x)\([y(Y=y))´ =P³ (X=x)\´ =P(X=x) et il vientE[X+Y] =X
x;y(x+y)P(X=x;Y=y) X x;yxP(X=x;Y=y) +X x;yyP(X=x;Y=y) X xxP(X=x) +X yyP(Y=y) =E[X] +E[Y] Pour le second point, on montre tout d'abord queE(XY) =E(X)E(Y), la suite venant facilement. Ainsi,E[XY] =X
x;yxyP(X=x;Y=y) X x;yxyP(X=x)P(Y=y) µX =E(X)E(Y)P[Y= 1] =p; P[Y= 0] =q= 1¡p
Var(Y) =E[Y2]¡E[Y]2=E[Y]¡E[Y]2=p(1¡p).
conditions.P(E) =q= 1¡p.
P(X=k) =µn
p k(1¡p)n¡kpour tout0·k·n oµu ¡n k¢=n! k!(n¡k)!.P(!) =pk(1¡p)n¡k
Il en existe¡n
P(X=k) =X
!:X(!)=kP(!) = card(f!:X(!) =kg)pk(1¡p)n¡k µn p k(1¡p)n¡k np(1¡p). (preuve) AouB. Puis on le remet dans le lot et on recommence : on choisit µa nouveau un individu binomialeB(n;NA=N). loi binomialeB(4;p).P(X= 0) =¡4
0¢q4=q4,
P(X= 1) =¡4
1¢p1q3= 4pq3,
P(X= 2) =¡4
2¢p2q2= 6p2q2,
P(X= 3) =¡4
3¢p3q1= 4p3q,
P(X= 4) =¡4
4¢p4=p4.
Pourp= 1=5, on obtient les va-
leurs :0 1 2 3 40.0 0.1 0.2 0.3 0.4
Loi binomiale pour n=4, p=1/5
valeurs de Xquotesdbs_dbs46.pdfusesText_46[PDF] Les Statistiques (médianes, moyennes)
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