Statistiques Moyenne Médiane PDF Moyenne Médiane prend plusieurs

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Statistiques : moyenne médiane et étendue

La moyenne à ce contrôle de maths est donc d'environ 117 sur 20. 2. Médiane. La médiane d'une série statistique est le nombre qui partage cette série en deux

Cours de statistique descriptive - Archive ouverte HAL

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Cours de statistique descriptive

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4ème : Chapitre09 : Statistiques moyennes et médiane

4ème : Chapitre09 : Statistiques moyennes et médiane. 1. Moyenne arithmétique (rappels). Pour calculer la moyenne arithmétique d'une série statistique

Statistiques Moyenne Médiane

Moyenne Médiane prend plusieurs fois les même valeurs

Séance 4

Une série numérique peut être résumée par deux paramètres statistiques : 3) Si médiane = moyenne le mode l'est aussi (sauf pour des distributions à ...

Résumé du Cours de Statistique Descriptive

15?/12?/2010 1 Variables données statistiques

STATISTIQUES DESCRIPTIVES

Les statistiques ont en effet d'abord désigné l'étude des faits sociaux relatifs à l'état. Partie 1 : Moyenne médiane

26 petits exercices de statistiques 3eme pour sentrainer.pdf

classe de 3e de 25 élèves au dernier devoir de mathématiques. 1) Calculer la moyenne des notes. 2) Déterminer la médiane des notes. 3) Calculer le pourcentage

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Statistiques

Moyenne, M´ediane

On consid`ere une population denindividus, num´erot´es de 1 `an. Sur cette population on mesure un

caract`erex: taille, poids, salaire moyen, ...On notexila valeur du caract`ere pour l"individu num´eroi.

On obtient ainsi (xi)ni=1une s´erie statistique simple, `a une variable. On num´erote les individus de

mani`ere `a ce que la s´erie soit ordonn´ee. En pratique, on est en g´en´eral oblig´e de trier les valeurs de la s´erie.

Lorsque la s´erie prend plusieurs fois les mˆeme valeurs, on utilise les s´eries statistiques pond´er´ees :

(yj,nj)p y

1< y2<···< yn,

n j= cardinal{i? {1,2,···,n}tel quexi=yj}, N f j=njn F j=Njn

C"est `a dire que :

-pest le nombre de valeurs que prend la s´erie (xi)ni=1, -{y1,y2,···,yp}est l"ensemble des valeurs prise par la s´erie (xi)ni=1.,

-njest l"effectif des individus qui prennent la valeuryj, i.e. le nombre de fois que la s´erie (xi)ni=1prend

la valeuryj,

-Njest l"effectif cumul´e pour la valeuryj, i.e. le nombre de fois que la s´erie (xi)ni=1prend une valeur

inf´rieure ou ´egale `ayj, -fjest la fr´equence ou proportion d"individus de la population qui prennent la valeuryjpour le caract`erex, -Fj=Njn est la fr´equence cumul´ee.

Lorsque l"on a beaucoup de valeurs, ou un caract´ere continu, on peut regrouper la s´erie (xi)ni=1par

classe : ([aj-1,aj[,nj)p j=1,

o`unjest l"effectif des individus dont la valeur du caract`ere est dans l"intervalle [aj-1,aj[. Ainsi, on a

toujours n

1+n2+···+np=n.

1 Calcul de la moyenne

On notex=1n

n i=1x ila moyenne statistique de la s´erie (xi)ni=1. Lorsque la s´erie (xi)ni=1est regroup´ee par classe on note?x=1n n j=1b jnjla moyenne aprroch´ee de la s´erie (xi)ni=1, o`ubjd´esigne le milieu de l"intervalle [aj-1,aj[.

1. Montrez quex=p?

j=1y jfj.

Quand a-t-on ´egalit´e :|x-?x|=h2

2 Ecart-type

Soitf(x) =1n

n i=1|xi-x|2. On notes=?f(x), l"´ecart-type et,s2la variance de la s´erie (xi)ni=1.

1. Montrez quef >0 d`es quep >1.

2. MinimiserfsurIR.

3. En d´eduire que la valeur moyenne de la s´erie est le nombre qui minimise l"´ecart quadratique moyen.

4. Calculersen fonctiona=x-x1pourn= 2.

3 Stabilit´e de la moyenne

On suppose que l"on cherche `a mesurer une quantit´eξpr´ecis´ement. On fait plusieurs mesures (xi)ni=1de cette quantit´e. En raison d"erreurs de mesures on a

x i=ξ+εi, o`uεid´esigne l"erreur dˆue `a la mesure num´eroi.

On va ´etudier la pr´esicion obtenue surξen prenant comme approximation deξla moyenne :x. On

remarquera dans tous les cas suivants que bien que chaquexiest une mauvaise approximation deξ,x donnera une bonne approximation deξ.

1. On se place dans le cas o`u les mesures sont ind´ependantes de mˆeme variance, i.e. (εi)ni=1est une suite

de variables al´eatoires ind´ependantes, d"esp´erance nulle et de variances2. avec une probabilit´e d"environ 95% pour un ´echantillon assez grand. Sinest pair, v´erifier que l"on a mˆemex=ξ. 2

3. On suppose que (εi)iest une suitek-p´eriodique de moyenne nulle :

i+k=εipour touti,1k k i=1ε i= 0. , avecA=k? i=1|εi|. V´erifiez que la suiteεi= sin(iαπ) satisfont les hypoth`eses pourαrationnel.

4. On suppose que les sommes des perturbations sont toujours born´ees. C"est `a dire qu"il existe un

nombreC >0 tel que pour toutj: ?????j i=1ε i? V´erifiez que la suiteεi= sin(iαπ) satisfont les hypoth`eses pourα?IR.

4 Quelques propri´et´es de la moyenne

1. Associativit´e: Si une populationPdenindividus de moyenne du caract`erex, est partag´ee entre

deux populationsPaetPb, dena, respectivementnbindividus et de moyenne du caract`erex a, respectivementx b.

Montrez quex=nax

a+nbx bn

2. Valeur aberrante: Soitξla "vraie" valeur de la moyenne de la s´erie statisiques (xi)ni=1. On suppose

quexn=ξ. On est dans le cas o`u une seule valeur de la s´erie statistique est aberrante. Pour cela on

remplace la vraie valeur dexnparξ+A,|A|>>1. (a) Quelle erreur fait-on maintenant surξen l"´evaluant avecx?

(b) Justifier le proc´ed´e qui consiste `a enlever les valeurs aberrantes avant de calculer les moyennes,

les variances. 3

5 Calcul de la m´ediane

Lorsque la s´erie (xi)ni=1est ordonn´ee, on d´efinit la m´ediane suivant la parit´e den:

Med=?xksi n = 2k-1,x

k+xk+12 si n = 2k

1. Calculer la m´ediane des s´eries suivantes (1,3), (1,1,1), (2,1,1).

2. V´erifier que au moins 50% des individus ont une valeur du caract`ere inf´erieure ou ´egale `a la m´ediane.

De mˆeme, v´erifier que au moins 50% des individus ont une valeur du caract`ere sup´erieure ou ´egale

`a la m´ediane. Ces deux propri´et´es caract´erisent la m´ediane. On dit que la valeur m´ediane partage en "deux moiti´es" la population.

3. Si la s´erie est pond´er´ee, montrez que

Med=?yksiFk-1<0,5< Fk,y

k-1+yk2 siFk= 0,5

4. Si la s´erie est regroup´ee par classe. On obtient la classe m´ediane en appliquant l"algorithme du calcul

de la m´ediane d"une s´erie pond´er´ee utilisant les fr´equences cumul´ees. V´erifiez que la m´ediane appartient bien `a la classe m´ediane obtenue.

6 L"´ecart absolue moyen

Soitg(x) =1n

n i=1|xi-x|. On noteMl"ensemble des points qui minimisegsurIR.

1. Repr´esenter le graphe deget expliciterMpour les s´eries suivantes : (-1,1), (-1,0,1).

2. Montrer quegest continue et affine sur les intervalles ]- ∞,y1], [y1,y2], ..., [yp-1,yp], [yp,+∞[.

Sur chaque intervalle, on exprimera la pente degen fonction des fr´equences cumul´ees.

3. En d´eduire que la m´ediane apartient toujours `aM.

Plus pr´ecis´ement, montrez queMest un point ou un intervalle, et que, dans ce dernier cas, la m´ediane est le milieu de cet intervalle.

4. Ainsi la m´ediane est un nombre qui minimise l"´ecart absolu moyen.

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