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CAHIERS DE

TOPOLOGIE ET GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE

CATÉGORIQUESJEANBENABOU

Cahiers de topologie et géométrie différentielle catégoriques, tome10, n o1 (1968), p. 1-126 © Andrée C. Ehresmann et les auteurs, 1968, tous droits réservés. L"accès aux archives de la revue " Cahiers de topologie et géométrie différentielle catégoriques » implique l"accord avec les conditions générales d"utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d"une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/

STRUCTURES

ALGEBRIQUES DANS LES CATEGORIES

par Jean BENABOU

A Doudou

MATHEMATICIEN,

IENNE. Celui, celle qui

sait les mathématiques, les enseigne et les pratique.

C'est un

grand mathématicien. j e ne puis concevoir comment tous ces habiles mathématiciens nient un mathématicien éter- nel. (Voltaire) 1

Philol. Contre les mathé-

maticiens, Titre d'un livre de Sextus Empi- ricus dirigé contre les philosophes dogma- tiques. )

Les mathématiciens discourant avec

une justesse toute mécanique sur les choses de leur état, sauf le cas d'erreur matérielle, on en concluait autrefois qu'ils avaient néces- sairement le sens droit et devaient raison- ner juste. C'était un préjugé; on confondait le travail intellectuel, les spéculations de l'esprit, avec les opérations machinales dites pondération, mesure, calcul; et l'on était fort

éloigné

de soupçonner que le raison- nement dit mathématique n'avait absolument rien de commun avec le véritable raisonne- ment. Cette erreur était elle-même la consé- quence de l'application vicieuse qu'on avait faite des termes de logique et de philosophie tels que raisonnement, déduction, etc. , à la science spéciale dont l'objet unique est l'ap- préciation exacte de l'étendue en tous sens.

Aujourd'hui, les esprits les

plus éminents sont conv ain cu s, au contraire, qu e

1 e s ma-

thématiciens, en dehors de tout ce qui con- cerne la mesure des quantités et des gran- deurs, sont les plus pitoyables raisonneurs que l'on puisse rencontrer, notamment en politique, en morale, en philosophie, et surtout dans le domaine des sentiments et des passions. Cela tient à ce que le mathé- maticien, habitué à avoir l'unité, quelle qu'elle soit, pour base, point de départ et terme de comparaison, est nécessairement dévoyé, privé de boussole ou de phare, et ne saurait' faire dès lors un pas assuré, tou- tes les fois que l'unité lui fait défaut. La logique rigoureuse veut qu'il en soit ainsi.

Le mathématicien est fatalement, par état,

un esprit terre- à- terre; voilà pourquoi il est généralement athée ou matérialiste, ce qui a été un sujet de grand étonnement pour Vol- taire. On voit que rien n'est plus naturel, plus facile à comprendre. Cette inaptitude, logiquement démontrée des mathématiciens

à raisonner juste, est

peut- être l'une des plus heureuses découvertes de l'esprit mo- derne. (C. H enriey) 2

INTRODUCTION

L'exposé qui

suit se compose de deux parties.

Dans la

première nous étudions systématiquement (c'est-à-dire fonctoriellement ! ) les structures algébriques sur les familles finies ou infinies d'ensembles, ou plus généralement d'objets d'une catégorie quelconque.

Plusieurs rédactions et

exposés (en particulier au séminaire de

M. Ehresmann en

1963)
d'un travail beaucoup plus général où l'on étudiait les structures algébriques sur les familles de catégories, ou mieux sur les familles d'objets d'une 2- catégorie, nous ont convaincus qu'il

était

" difficilement lisible >> sans préparation préalable. La publication posté- rieure de la note de Lawvere [ 1](*) et de l'article de

Higgins [ 1 ] ,

ainsi que la question posée par

Heller

[ 1] , nous ont renforcés dans cette con- viction. La première partie est " le cas particulier

à une dimension >> de ce

premier travail, datant de

1963, qui

fera l'objet d'une autre publication. Un type de structures algébriques sur 1- ternies (abrégé en 1- type), où 7 est un ensemble d' " indices » quelconque, est une catégorie T ayant pour objetsquotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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