Cours dAlgèbre I et II avec Exercices CorrigésOM DE VOTRE
Structures Algébriques avec Exercices Corrigés. 35. 1. Lois De Composition Internes. 35. 2. Groupes Algébrique sur les Matrices avec Exercices Corrigés.
Exercices sur les structures algébriques : corrigé
Exercices sur les structures algébriques : corrigé. PCSI 2 Lycée Pasteur. 3 novembre 2007. Exercice 1. Un groupe à un élément est un ensemble E constitué
Groupes anneaux
anneaux
Structures algébriques
8 nov. 2011 Exercice 14. Montrer que les ensembles suivants d'applications de C dans C munis de la loi de composition des applications
Structures algébriques (groupes) Corrigé de lexamen partiel
9 nov. 2016 (1 point). Faux il est cyclique
Algèbre I Cours et exercices Louiza TABHARIT
1.5 Exercices corrigés . de nouveaux outils algèbriques tout en lui rappellant les prérequis des années ultérieures ... les Structures algèbriques.
Structures Algébriques 1 Corrigé session 2 Exercice 1. Dans S6 on
Structures Algébriques 1. Corrigé session 2. Exercice 1. Dans S6 on considère les permutations ? = (136)(24)
algebre4 exercicescorriges
Structures Algébriques. Exercices Corrigés Exercice 1.1 On se propose de montrer de deux façons différentes que ?n ? N* ?s
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d'une première structure algébrique avec la notion de groupe. site Exo7 toutes les vidéos correspondant à ce cours
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Groupes sous-groupes
Université Mohamed V- Agdal
Faculté des Sciences
Département de Mathématiques
Avenue Ibn Batouta, B.P. 1014, Rabat, Maroc
Filières SM et SMI
Algèbre 4
Structures Algébriques
Exercices Corrigés
Azzouz Cherrabi ElMostafa Jabbouri
Année 2007-2008
iiTable des matières
1 Arithmétique1
2 Groupes7
3 Anneaux et corps15
4 Divisibilité dans un anneau principal19
5 Anneaux de Polynômes23
6 Sujets d"examens31
6.1 Côntrole final (2006-2007) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 31
6.2 Rattrapage (2006-2007) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 34
6.3 Côntrole final (2007-2008) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 37
6.4 Rattrapage (2007-2008) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 40
iii ivTABLE DES MATIÈRESChapitre 1Arithmétique
Exercice 1.1On se propose de montrer de deux façons différentes que?n?N?,?s,t?N: n= 2 s(2t+ 1).1) Première méthode
: Utiliser une récurrence généralisée surn.2) Deuxième méthode
: En considérant l"ensembleA={m?N: 2m/n},montrer queA possède un plus grand élément notéset quen= 2 s(2t+ 1).Solution
1) * Pourn= 1, n= 2
0(2.0 + 1).
* Supposons que cette propriété est vraie pour toutk < n. * Pourn: on distingue les deux cas suivants : - Sinest impair, alors?t?N:n= 2t+ 1d"oùn= 20(2t+ 1).
- Sinest pair, alors?k?N ?:n= 2ket puisquek < n, il résulte de l"hypothèse de récurrence quek= 2 s?(2t+ 1)avecs?,t?N. Ainsin= 2s?+1(2t+ 1).2) On aA={m?N: 2
m/n} ?N, A?=∅car0?AetAest majoré, car?m?A, sket puisque2 s+1?n,kest impair, i.e.,?t?N:k= 2t+ 1doncn= 2s(2t+ 1).Exercice 1.2
1) Montrer que sia?Netpest un nombre premier, alorsp/aoup?a= 1.
2) En déduire que sipetqsont deux entiers naturels premiers et distincts, alorsp?q= 1.
3) Montrer que tout entiern≥2admet un diviseur premier (Ind : Considérer l"ensemble
D={d?N/ d≥2etd/n}, montrer queDpossède un plus petit élémentpet quepest premier).4) En déduire que l"ensemble des nombres premiers est infini.(Ind : on suppose que l"ensem-
blePdes nombres premiers est fini, i.e.,P={p1,...,pn}, avecpiles nombres premiers,
considérer l"entierm=p1...pn+ 1et utiliser 3)).
Solution
1) Soitd=p?a. Puisqued/petpest premier,d= 1oud=p. Ainsip?a= 1oup/a.
2) D"après la question précédente,p?q= 1oup/qet puisqueqest premier etp?=q,
p?q= 1.3) Soientn≥2etD={d?N:d≥2etd/n}. On aD?=∅(n?D)etD?N, d"oùD
possède un plus petit élément qu"on notep. Alorspest premier, sinon,?d /? {1,p}tel qued/p et par suited/n, ce qui contredit le fait quepest le plus petit élément deD. 12CHAPITRE 1. ARITHMÉTIQUE
4) Supposons queP={p
1,...,pn}est fini et considéronsm=p1...pn+ 1. On am≥2,
d"où, d"après 3),?ppremier :p/met puisquep=p i, alorsp/p1...pndoncp/1 =m-p1...pn, ce qui est absurde.Exercice 1.3Soienta,b?N.
1) Montrer que sia?b= 1, alorsa?(a+b) =b?(a+b) = 1etab?(a+b) = 1.
2) En déduire que sia?b=d, alors(a+b)?(a?b) =d.
Solution
1) Sid/aetd/a+b, alorsd/(a+b)-a=bet par suited= 1. On utilise le même
raisonnement pour vérifier queb?(a+b) = 1. On a aussiab?(a+b) = 1. En effet, supposons queab?(a+b)?= 1,?ppremier tel que p/abetp/(a+b), alors(p/aetp/(a+b))ou(p/betp/(a+b))et donca?(a+b)?= 1ou b?(a+b)?= 1.2) Posonsa=da
?etb=db?, alorsa??b?= 1et donc (a+b)?(a?b) = ((da ?+db?)?(da??db?)) = (d(a?+b?)?d(a?b?)) =d.((a?+b?)?(a?b?))et puisque a ??b?= 1, on a, d"après la question précédente,(a?+b?)?(a?b?) = 1, d"où(a+b)?(a?b) =d.Exercice 1.4
1) Soitn?N- {0,1}. Montrer que tous les entiers suivants ne sont pas des nombres
premiers :n! + 2,n! + 3,...,n! +n.2) Donner100entiers consécutifs non premiers.
Solution
1) On remarque que2/n! + 2,3/n! + 3,...etn/n! +n.
2) On prendn= 101etn
100 entiersn
ksont des entiers non premiers. Exercice 1.5Soitp?N-{0,1}.Montrer que si(p-1)!≡ -1(modp), alorspest un nombre premier. SolutionSupposons quepn"est pas premier, alors?d? {2,...,p-1}:d/p.Commed? {2,...,p-1},d/(p-1)!, i.e.,(p-1)!≡0 (modd). Or, on a(p-1)!≡ -1 (modd)card/p, contradiction. Exercice 1.6Soientn?N- {0,1}etpun nombre premier. Sip/n, on appellep-valuation den, et on la notev p(n), l"exposant de la plus grande puissance depdivisantn. i.e.,vp(n) = sup{α?N ?/ pα/n}.Sip?n, on convient quevp(n) = 0.1) Déterminerv
2(104),v3(243)etv5(81).
2) Montrer que sin,m?N- {0,1}, alorsv
p(nm) =vp(n) +vp(m).3) Montrer quev
2(1000!) = 994.
Solution
1) On a104 = 2
3.13, d"oùv2(104) = 3.De même,v3(243) = 5etv5(81) = 0.
2) Posonsv
p α+β+1?nm, sinonpα+1/noupβ+1/m, alorsvp(nm) =vp(n) +vp(m).3)1000! = 1.(2.1).3.(2.2).....999.(2.500) = 2
500.500!.kavec2?k, donc, en utilisant 2),
v2(1000!) = 500 +v2(500!). Aussi,v2(500!) = 250 +v2(250!),v2(250!) = 125 +v2(125!),
v2(125!) = 62 +v2(62!), v2(62!) = 31 +v2(31!), v2(31!) = 15 +v2(15!), v2(15!) = 7 +v2(7!),
v2(7!) = 3 +v2(3!) = 4et ainsiv2(1000!) = 500 + 250 + 125 + 62 +31 +15 +7 + 3 +1 = 994.
3Exercice 1.7Montrer que :
1)11/2
123+ 3121
2)7/32n+1+ 2n+2
Solution
1) On a2
5≡ -1 (mod11), d"où210≡1 (mod11).Aussi, on a35≡1 (mod11), alors
2123+ 3121= (210)12.23+ (310)12.3≡23+ 3≡0 (mod11).
2)32n+1+ 2n+2= (32)n.3 + 2n.4≡2n(3 + 4)≡0 (mod7).
Exercice 1.8
1) Soienta,b?Z
?. On suppose qu"il existeq,c?Ztels queb=aq+c. Montrer que a?b=a?c.2) Soitk?N. Montrer que(5k+3)?(2k-1)divise11et que (5k+3)?(2k-1) = 1si,
et seulement si,k+ 5n"est pas congru à0modulo11(Ind : Appliquer deux fois la réduction issue de 1)).3) Soienta= 327etb= 823. Résoudre l"équation :ax+by= 36.
Solution
1) Posonsd=a?betd
?=a?c. On ad/aqetd/bd"oùd/b-aqdoncd/c. Puisqued/c etd/a, alorsd/d ?. De même, on vérifie qued?/det ainsid=d?.2) * On a5k+ 3 = 2(2k-1) + (k+ 5). Posonsb= 5k+ 3,a= 2k-1etc=k+ 5. En
utilisant 1), on a :(5k+3)?(2k-1) = (2k-1)?(k+5). On a aussi2k-1 = 2(k+5)-11, alors(2k-1)?(k+ 5) = (k+ 5)?11et ainsi(5k+ 3)?(2k-1) = (k+ 5)?11divise11. * On a(k+ 5)?11 = 1si, et seulement si,k+ 5?≡0 (mod11), car11est premier, d"où (5k+ 3)?(2k-1) = 1si, et seulement si,k+ 5?≡0 (mod11).3) On prendk= 164,a= 2k-1 = 327etb= 5k+ 3 = 823;k+ 5 = 169≡4 (mod11)
d"où, d"après 2),a?b= 1. On a(k+ 5)?11 = 1. Utilisons l"algorithme d"Euclide pour déterminers,t?Ztels que s(k+5)+11t= 1;k+5 = 169 = 11×15+4,q1= 15,r1= 4;11 = 4×2+3,q2= 2,r2= 3;4 =
3×1+1,q
3= 1,r3= 1, alors1 = (1+q2q3)(k+5)+11(-q1-q3-q1q2q3) = 3(k+5)-46.11;
on prends= 3ett=-46. Utilisons la réduction 1) pour détermineru,v?Ztels queub+va= 1. On as(k+5)+11t=1, alors1 =s(b-2a)+t[2(k+5)-a] =s(b-2a)+t[(2b-4a)-a] = (s+2t)b+(-2s-5t)a
et ainsi, on prendu=s+ 2t=-89etv=-2s-5t= 224, d"où36ub+ 36va= 36, alors (x-36v)a+(y-36u)b= 0(*), ainsib/(x-36v)aet par suiteb/(x-36v), cara?b= 1. Alors, x= 36v+mb, oùm?Z. En remplaçantxpar36v+mbdans (*), on obtienty= 36u-ma. On vérifie facilement quex= 36v+mbety= 36u-maest solution de l"équation et ainsi S={(36v+mb,36u-ma)/m?Z}={(8064 +mb,-3204-ma)/m?Z}.Exercice 1.9
1) Déterminerx
1,x2?Ztels que?x1≡1 (modulo28)
x1≡0 (modulo19)et?x
2≡0 (modulo28)
x2≡1 (modulo19).
2) Déterminerx?Ztel que?x≡13 (modulo28)
x≡9 (modulo19).4CHAPITRE 1. ARITHMÉTIQUE
Solution
1) On a28?19 = 1, d"où19.3+(-2).28 = 1. En posantc
1= 19u= 57etc2= 28v=-56,
on obtient?c1≡1 (modulo28)
c1≡0 (modulo19)et ainsix1≡c1(modulo28.19 = 532). De même,x2≡c2
(modulo28.19 = 532).2) Posonsb
1= 13etb2= 9alors?x≡13 (modulo28)
x≡9 (modulo19)si, et seulement si,x≡b1c1+b2c2 (modulo28.19 = 532), i.e,x≡13.57-9.56 = 237(modulo28.19 = 532).Exercice 1.10
1) Soitpun nombre premier.
a) Montrer que pour tout entier naturel non nulk < p,on ap|C kp. b) En déduire le petit théorème de Fermat : sipest premier, alors pour tout entierx tel quex?≡0 (modp), on ax p-1≡1 (modp).2) Soitn?N
?. On appelleIndicateur d"Eulerdenle nombre, noté?(n), des entiersm a) Calculer?(6),?(8),?(13)et?(p)sipest premier. b) Montrer que sipetqsont deux nombres premiers distincts, alorsSolution
1) a) On apC k-1p-1=kCkpd"oùp/kCkpet puisquep?k= 1(k < petppremier), alorsp/Ckp. b) Utilisons maintenant une récurrence finie sur{1,...,p-1}pour montrer quex p≡x (modp). Le résultat est évident pourx= 1, supposons que le résultat est vrai pourx. Alors, (x+1) p=xp+ p-1? k=1 (modp).Ainsi, pour tout entierx,p/x
p-x=x(xp-1-1), commep?x= 1,p/(xp-1-1), i.e., x p-1≡1 (modp). 2) a)?(6) = 2, ?(8) = 4, ?(13) = 12et puisque?k? {1,...,p-1},k?p= 1, ?(p) =p-1. dans{1,...,pq}. Les multiples depdans{1,...,pq}sontp,2p,...,qpet par suite, leur nombre estq. De même, le nombre des multiples deqdans{1,...,pq}estp.Puisquepqest le seul multiple pq-(p+q-1) = (p-1)(q-1)et donc?(pq) = (p-1)(q-1). Exercice 1.11 (Le cryptosystème RSA inventé par Rivest, Shamir et Adelman en 1977) Une personneAveut utiliser le cryptosystème RSA, il prend deux nombres premierspetq distincts, et posen=pq. Il choisit un entiereavec1< e < ?(n)ete??(n) = 1.1) Montrer qu"il existe un, et un seul, entierdtel que :1< d < ?(n)eted≡1 (mod?(n))
(utiliser l"identité de Bezout). 5 - Le couple(n,e)s"appellela clef publique de A(cette clef est publiée sur Internet). - Le couple(n,d)s"appellela clef privée de A(p,qetddoivent rester secrets).2) Montrer que pour tout entier x tel que1< x < n, on a(x
e)d≡x(modn). (Ind : montrer le résultat moduloppuis moduloqen utilisant l"exercice précédent).3) Application
: on prendp= 7,q= 17,e= 11,n= 119et?(n) = 96. a) Trouverdtel que1< d <96eted≡1 (mod96).quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46[PDF] Les subordonnées : Alors que et tandis que, ils expriment l'opposition, le temps ou les deux
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