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M. CERISIER - Mme ROUSSENALYAP : Un problème sur les suites chap 6 : Suites arithmético-géométriques et limite d"une suiteTaleESfévrier 2016POLYNÉSIE SEPTEMBRE2014Une personne décide d"ouvrir un compte épargne le premier janvier 2014 et d"y placer 2000 euros. Le placement
à intérêts composés est au taux annuel de 3 %. Elle verse 150 euros sur ce compte tous les 1
erjanvier suivants.Pour tout entier natureln, on noteunle montant présent sur ce compte au premier janvier de l"année2014 +n
après le versement de 150 euros. On au0= 2000. Dans tout l"exercice, les résultats seront arrondis à102près.Partie A
1)Calculer les termesu1etu2de la suite(un).
2)Justifier que pour tout entier naturelnon a :un+1= 1;03un+ 150.
3)Pour tout entiern, on posevn=un+ 5000.
Démontrer que la suite(vn)est une suite géométrique de raison1;03.4)Exprimervnen fonction denet en déduire que pour tout nombre entiernon a :
u n= 70001;03n5000:5)A partir de quelle année, cette personne aura-t-elle au moins 4000 euros sur son compte épargne? Indiquer
la façon dont la réponse a été trouvée.Partie B
L"algorithme ci-dessous modélise l"évolution d"un autre compte épargne, ouvert le premier janvier 2014, par une
seconde personne.Variables :C et D sont des nombres réelsN est un nombre entier
Entrée :Saisir une valeur pour C
Traitement :Affecter à N la valeur 0
Affecter à D la valeur2C
Tant que C affecter à C la valeur1;03C+ 600 affecter à N la valeur N+1Fin du Tant que Sortie :Afficher N1)a) Que représente la variable C dans cet algorithme? b)Quel est le taux de ce placement? c)Quel est le versement annuel fait par cette personne? 2)On saisit, pour la variable C, la valeur 3000.
a)Pour cette valeur de C, en suivant pas à pas l"algorithme précédent, recopier le tableau suivant et le com-
pléter en ajoutant autant de colonnes que nécessaire.Valeur de C 3000 Valeur de N 0
Valeur de D 6000
Test CCORRECTIONPOLYNÉSIE SEPTEMBRE2014Une personne décide d"ouvrir un compte épargne le premier janvier 2014 et d"y placer 2000 euros. Le placement à intérêts composés est au taux annuel de 3 %. Elle verse 150 euros sur ce compte tous les 1
erjanvier suivants. Pour tout entier natureln, on noteunle montant présent sur ce compte au premier janvier de l"année2014 +n
après le versement de 150 euros. On au0= 2000. Partie A
1)Les intérêts la première année sont de :20003100
= 60; on a donc au bout d"un an :2000 + 60 + 150 = 2210. Doncu1= 2210.
Les intérêts la deuxième année sont de :22103100 = 66;30; on a donc au bout de deux ans :2210 + 66;30 + 150 = 2426;30. Doncu2= 2426;30.
2)Ajouter 3% à un nombre, c"est multiplier par1 +3100
= 1;03. Pour passer de l"annéenà l"annéen+ 1, on multiplie le capital par1;03puis on ajoute 150; doncun+1=
1;03un+ 150, pour tout entier natureln.
3)Pour tout entiern, on posevn=un+ 5000doncun=vn5000.
v n+1=un+1+ 5000 = 1;03un+ 150 + 5000 = 1;03(vn5000) + 5150 = 1;03vn5150 + 5150 = 1;05vn
v 0=u0+ 5000 = 2000 + 5000 = 7000
Donc la suite(vn)est géométrique de raisonq= 1;03et de premier termev0= 7000. 4)La suite(vn)est géométrique de raisonq= 1;03et de premier termev0= 7000donc, pour tout entiern,
v n=v0qn= 70001;03n. Comme pour toutn,un=vn5000, on déduit que pour toutn,un= 70001;03n5000. 5)Cette personne aura au moins4000euros sur son compte dès queun>4000.
On peut calculeru3,u4...u8etu9, puis signaler queu8= 3867;39<4000et queu9= 4133;41>4000. Donc c"est à partir den= 9que la personne aura au moins 4000 euros sur son compte, c"est-à -dire à partir
de l"année2014 + 9 = 2023. Partie B
L"algorithme ci-dessous modélise l"évolution d"un autre compte épargne, ouvert le premier janvier 2014, par une
seconde personne.Variables :C et D sont des nombres réels N est un nombre entier
Entrée :Saisir une valeur pour C
Traitement :Affecter à N la valeur 0
Affecter à D la valeur2C
Tant que C affecter à C la valeur1;03C+ 600 affecter à N la valeur N+1Fin du Tant que Sortie :Afficher N1)a) Dans cet algorithme, la variable C représente la somme que possède la personne l"année2014 +N.
b)On sait que C reçoit1;03C+ 600donc le capital est multiplié par 1,03 ce qui correspond à une aug-
mentation de 3%. c)On sait que C reçoit1;03C+ 600donc le versement annuel fait par cette personne est de 600 euros.
2)On saisit, pour la variable C, la valeur 3000.
2 a)Pour cette valeur de C, on complète le tableau en suivant pas à pas l"algorithme :Valeur de C3000 3690 4400;70 5132;72 5886;70 6663;30Valeur de N 0 1 2 3 4 5
Valeur de D6000 6000 6000 6000 6000 6000Test C D; l"algorithme affiche donc 5.
La variable D est égale au double du capital initial; cet algorithme donne donc le nombre d"années qu"il faut
pour que le capital double, donc 5. À partir de2014 + 5 = 2019, le capital aura doublé. 3quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46
2)On saisit, pour la variable C, la valeur 3000.
a)Pour cette valeur de C, en suivant pas à pas l"algorithme précédent, recopier le tableau suivant et le com-
pléter en ajoutant autant de colonnes que nécessaire.Valeur de C 3000Valeur de N 0
Valeur de D 6000
Test Cà intérêts composés est au taux annuel de 3 %. Elle verse 150 euros sur ce compte tous les 1
erjanvier suivants.Pour tout entier natureln, on noteunle montant présent sur ce compte au premier janvier de l"année2014 +n
après le versement de 150 euros. On au0= 2000.Partie A
1)Les intérêts la première année sont de :20003100
= 60; on a donc au bout d"un an :2000 + 60 + 150 =2210. Doncu1= 2210.
Les intérêts la deuxième année sont de :22103100 = 66;30; on a donc au bout de deux ans :2210 +66;30 + 150 = 2426;30. Doncu2= 2426;30.
2)Ajouter 3% à un nombre, c"est multiplier par1 +3100
= 1;03.Pour passer de l"annéenà l"annéen+ 1, on multiplie le capital par1;03puis on ajoute 150; doncun+1=
1;03un+ 150, pour tout entier natureln.
3)Pour tout entiern, on posevn=un+ 5000doncun=vn5000.
v n+1=un+1+ 5000 = 1;03un+ 150 + 5000 = 1;03(vn5000) + 5150 = 1;03vn5150 + 5150 =1;05vn
v0=u0+ 5000 = 2000 + 5000 = 7000
Donc la suite(vn)est géométrique de raisonq= 1;03et de premier termev0= 7000.4)La suite(vn)est géométrique de raisonq= 1;03et de premier termev0= 7000donc, pour tout entiern,
v n=v0qn= 70001;03n. Comme pour toutn,un=vn5000, on déduit que pour toutn,un= 70001;03n5000.5)Cette personne aura au moins4000euros sur son compte dès queun>4000.
On peut calculeru3,u4...u8etu9, puis signaler queu8= 3867;39<4000et queu9= 4133;41>4000.Donc c"est à partir den= 9que la personne aura au moins 4000 euros sur son compte, c"est-à -dire à partir
de l"année2014 + 9 = 2023.Partie B
L"algorithme ci-dessous modélise l"évolution d"un autre compte épargne, ouvert le premier janvier 2014, par une
seconde personne.Variables :C et D sont des nombres réelsN est un nombre entier
Entrée :Saisir une valeur pour C
Traitement :Affecter à N la valeur 0
Affecter à D la valeur2C
Tant que C affecter à C la valeur1;03C+ 600 affecter à N la valeur N+1Fin du Tant que Sortie :Afficher N1)a) Dans cet algorithme, la variable C représente la somme que possède la personne l"année2014 +N.
b)On sait que C reçoit1;03C+ 600donc le capital est multiplié par 1,03 ce qui correspond à une aug-
mentation de 3%. c)On sait que C reçoit1;03C+ 600donc le versement annuel fait par cette personne est de 600 euros.
2)On saisit, pour la variable C, la valeur 3000.
2 a)Pour cette valeur de C, on complète le tableau en suivant pas à pas l"algorithme :Valeur de C3000 3690 4400;70 5132;72 5886;70 6663;30Valeur de N 0 1 2 3 4 5
Valeur de D6000 6000 6000 6000 6000 6000Test C D; l"algorithme affiche donc 5.
La variable D est égale au double du capital initial; cet algorithme donne donc le nombre d"années qu"il faut
pour que le capital double, donc 5. À partir de2014 + 5 = 2019, le capital aura doublé. 3quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46
Sortie :Afficher N1)a) Dans cet algorithme, la variable C représente la somme que possède la personne l"année2014 +N.
b)On sait que C reçoit1;03C+ 600donc le capital est multiplié par 1,03 ce qui correspond à une aug-
mentation de 3%.c)On sait que C reçoit1;03C+ 600donc le versement annuel fait par cette personne est de 600 euros.
2)On saisit, pour la variable C, la valeur 3000.
2a)Pour cette valeur de C, on complète le tableau en suivant pas à pas l"algorithme :Valeur de C3000 3690 4400;70 5132;72 5886;70 6663;30Valeur de N 0 1 2 3 4 5
Valeur de D6000 6000 6000 6000 6000 6000Test C La variable D est égale au double du capital initial; cet algorithme donne donc le nombre d"années qu"il fautD; l"algorithme affiche donc 5.
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