Comment étudier la limite dune suite à laide dun encadrement
Pour montrer qu'une suite converge vers une limite l on peut utiliser le théorème de l'encadrement : Soient u v et w trois suites telles qu'à partir d'un
LES SUITES (Partie 2)
Par abus de langage on pourrait dire que la suite (un) pousse la suite (vn) vers +? à Méthode : Déterminer une limite par encadrement.
ETUDE des SUITES RECURRENTES 1 Intervalle stable par f
On va voir comment étudier le comportement de (un)n?N `a partir de l'étude de la fonction f. 1 Intervalle stable par f - Existence et encadrement des termes de
Compléments sur les suites Suites adjacentes
27 févr. 2017 Compléments sur les suites. Suites adjacentes. I Encadrement d'une suite. EXERCICE 1. 1) Montrer que pour tout k ? N? et pour tout x ? [k ...
Suites 1 Convergence
Suites. 1 Convergence. Exercice 1. Montrer que toute suite convergente est (C'est un encadrement de l'aire de l'ensemble des points (xy) du plan tels ...
Les suites - Partie II : Les limites
A. Théorème d'encadrement dit "des gendarmes". III - Limites ds suites arithmétiques et géométriques ... On peut encadrer facilement la suite.
Suites
Etudier les suites u et v puis déterminer un et vn en fonction de n en recherchant donc d'après le théorème de la limite par encadrement
Compléments sur les suites Suites adjacentes - Correction - Lycée d
27 févr. 2017 I Encadrement d'une suite ... En intégrant l'encadrement ... d'après le théorème des suites monotones la suite (un) converge vers ? ? 2.
Du théor`eme dencadrement au calcul intégral Il existe de
sur les suites adjacentes théor`eme d'encadrement pourtant
Séries
suite des sommes partielles. 1. La somme S vérifie les encadrements : S1 ? S3 ? S5 ? ··· ? S2n+1 ? ··· ? S ? ··· ? S2n ? ··· ? S4 ? S2 ? S0.
Suites
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le coursExercice 1***ITSoient(un)n2Nune suite réelle et(vn)n2Nla suite définie par :8n2N;vn=u0+u1+:::+unn+1.
1.Montrer que si la suite (un)n2Nvers un réel`, la suite(vn)n2Nconverge et a pour limite`. Réciproque ?
2. Montrer que si la suite (un)n2Nest bornée, la suite(vn)n2Nest bornée. Réciproque ? 3. Montrer que si la suite (un)n2Nest croissante alors la suite(vn)n2Nl"est aussi. alors la suite(un)n2Nconverge. (série harmonique). 1. Montrer que : 8n2N;ln(n+1)2+22+:::+k2.
u n+1=un+vn2 etvn+1=pu n+1vn. Montrer que les suites(un)et(vn)sont adjacentes et que leur limite commune est égale à bsin(arccos(ab ))arccos(ab 1 1. sinnn 2. 1+1n n, 3. n!n n, 4.E((n+12
)2)E ((n12 )2)), 5. npn 2, 6. pn+1pn, 7.ånk=1k2n
3, 8.Õnk=12k=22k.
pn+un.1.8n2N;un+1=un32un,
2.8n2N;un+1=4(un1)u
n(ne pas se poser de questions d"existence). u n+1=2un+vn3 etvn+1=un+2vn3Etudier les suitesuetvpuis déterminerunetvnen fonction denen recherchant des combinaisons linéaires
intéressantes deuetv. En déduire limn!+¥unet limn!+¥vn. u n+1=vn+wn2 ;vn+1=un+wn2 etwn+1=un+vn2 Etudier les suitesu,vetwpuis déterminerun,vnetwnen fonction denen recherchant des combinaisons linéaires intéressantes deu,vetw. En déduire limn!+¥un, limn!+¥vnet limn!+¥wn.Exercice 12***Montrer que les suites définies par la donnée deu0,v0etw0réels tels que 0 réel positifl. Montrer que si 06` <1, la suite(un)converge vers 0 et si` >1, la suite(vn)tend vers+¥. En utilisant dif férentesformules de trigonométrie fournissant des relations entre unetvn, montrerMontrer que si`=1, tout est possible.
n)converge vers un réel`, alors npu n)converge et a même limite. 2. Etudier la réciproque.
3. Application : limites de
(a) npC n2n, (b) nn pn!, (c) 1n 2nq(3n)!n!.
vers 1. netvn=1+1n n+1. Etudier les deux suitesun=
ånk=11pk
2pn+1 etvn=
ånk=11pk
2pn. 3 Exercice 20**TDéterminerunen fonction denet de ses premiers termes dans chacun des cas suivants : 1.8n2N;4un+2=4un+1+3un.
2.8n2N;4un+2=un.
3.8n2N;4un+2=4un+1+3un+12.
4.8n2N;2u
n+2=1u n+11u n. 5.8n>2;un=3un12un2+n3.
6.8n2N;un+36un+2+11un+16un=0.
7.8n2N;un+42un+3+2un+22un+1+un=n5.
n. Montrer que limn!+¥(unpn) =12 cos p2 n=12 q2+p2+:::+p2 (n1 radicaux) et sinp2 n=12 q2p2+:::+p2 (n1 radicaux). En déduire lim
n!+¥2nq2p2+:::+p2 (nradicaux). 2. Montrer que
Õnk=11+1k
kOn suppose dans cette question que
a2pest irrationnel . (a) Montrer que (un)converge si et seulement si(vn)converge . (b) On suppose toujours que
a2pest irrationnel. On veut montrer que l"ensemble des valeurs de la suite(un) (ou(vn)) est dense dans[1;1], c"est-à-dire que8x2[1;1];8e>0;9n2N=junxjConclure.
a2]0;p[(supn2N(jsin(na)j)). . Montrer que(un)converge vers 12 Correction del"exer cice1 N1.Soit e>0. Il existe un rangn0tel que, sin>n0alorsjun`j1n+1nå
k=0(uk`) 6 1n+1nå
k=0juk`j=1n+1n 0å k=0juk`j+1n+1nå k=n0+1juk`j 6 1n+1n 0å k=0juk`j+1n+1nå k=n0+1e2 61n+1n
0å k=0juk`j+1n+1nå k=0e2 1n+1n 0å k=0juk`j+e2 Maintenant,
ån0k=0juk`jest une expression constante quandnvarie et donc, limn!+¥1n+1ån0k=0juk`j= 0. Par suite, il existe un entiern1>n0tel que pourn>n1,1n+1ån0k=0juk`j
Si uest bornée, il existe un réelMtel que, pour tout natureln,junj6M. Pournentier naturel donné, on
a alors jvnj61n+1nå k=0jukj61n+1nå k=0M=1n+1(n+1)M=M:La suitevest donc bornée.
Si la suiteuest bornée alors la suitevest bornée.Laréciproqueestfausse. Soitulasuitedéfiniepar:8n2N;un=(1)nEn2
=psin=2p;p2N psin=2p+1;p2N.un"est pas bornée car la suite extraite(u2p)tend vers+¥quandptend vers+¥. Mais, sinest impair,
v n=0, et sinest pair,vn=1n+1un=n2(n+1), et dans tous les casjvnj61n+1n261n+1n+12
=12 et la suite vest bornée. 3. Si uest croissante, pournentier naturel donné on a : v n+1vn=1n+2n+1å k=0u k1n+1nå k=0u k=1(n+1)(n+2) (n+1)n+1å k=0u k(n+2)nå k=0u k!1(n+1)(n+2)
(n+1)un+1nå k=0u k!1(n+1)(n+2)nå
k=0(un+1uk)>0:La suitevest donc croissante.
6Si la suiteuest croissante alors la suitevest croissante.Correction del"exer cice2 NSupposons sans perte de généralitéucroissante (quite à remplaceruparu). Dans ce cas, ou bienuconverge,
ou bienutend vers+¥. Supposons queutende vers+¥, et montrons qu"il en est de même pour la suitev. Soit
A2R. Il existe un rangn0tel que pour n naturel supérieur ou égal àn0,un>2A. Pourn>n0+1, on a alors,
v n=1n+1 n0å k=0u k+nå k=n0+1u k! 1n+1n 0å k=0u k+(nn0)2An+1Maintenant, quandntend vers+¥,1n+1ån0k=0uk+(nn0)2An+1tend vers 2Aet donc, il existe un rangn1à partir
duquelvn>1n+1ån0k=0uk+(nn0)2An+1>A. On a montré que :8n2N;9n12N=(8n2N);(n>n1)vn>A).Par suite, lim
n!+¥vn= +¥. Par contraposition, sivne tend pas vers+¥, la suiteune tend pas vers+¥et donc converge, d"après la remarque initiale.Correction del"exer cice3 N1.La fonction x7!1x est continue et décroissante sur]0;+¥[et donc, pourk2N, on a :1k+1= (k+1k)1k+16Z
k+1 k1x dx6(k+1k)1k =1kDonc, pourk>1,1k
>Rk+1 k1x dxet, pourk>2,1k 6Rk k11x dx. En sommant ces inégalités, on obtient pourn>1, H n=nå k=11k >nå k=1Z k+1 k1x dx=Z n+1 11x dx=ln(n+1); et pourn>2, H n=1+nå k=21k61+nå
k=2Z k k11x dx=1+Z n 11x dx=1+lnn; cette dernière inégalité restant vraie quandn=1. Donc,8n2N;ln(n+1)6Hn61+lnn:2.Soit nun entier naturel non nul.
u n+1un=1n+1ln(n+1)+lnn=1n+1Z n+1 n1x dx=Z n+1 n1n+11x
dx60 car la fonctionx7!1x décroit sur[n;n+1]. De même, v n+1vn=1n+1ln(n+2)+ln(n+1) =1n+1Z n+2 n+11x dx=Z n+2 n+11n+11x
dx>0 car la fonctionx7!1x décroit sur[n+1;n+2]. Enfin, u nvn=ln(n+1)lnn=ln 1+1n 7et donc la suiteuvtend vers 0 quandntend vers+¥. Finalement, la suiteudécroit, la suitevcroit et
la suiteuvtend vers 0. On en déduit que les suitesuetvsont adjacentes, et en particulier convergentes
et de même limite. Notonsgcette limite. Pour tout entier naturel non nuln, on avn6g6un, et en particulier,v36g6u1avecv3=0;5:::etu1=1. Donc,g212 ;1. Plus précisément, pournentier naturel non nul donné, on a06unvn61022
,ln 1+1n60;005,1n
6e0;0051,n>1e
0;0051=199;5:::,n>200:
Donc 06gv10061022
et une valeur approchée dev200à1022 près (c"est-à-dire arrondie à la 3 èmedécimale la plus proche) est une valeur approchée degà 102près. On trouveg=0;57 à 102près par
défaut. Plus précisémént,g=0;5772156649:::(gest la constante d"EULER).Correction del"exer cice4 NSoitrla raison de la suiteu. Pour tout entier naturelk, on a
ru kuk+1=uk+1uku kuk+1=1u k1u k+1.En sommant ces égalités, on obtient :
r nå k=01u kuk+1=nå k=0 1u k1u k+1 =1u 01u n+1=un+1u0u0un+1=(n+1)ru
0un+1:
Sir6=0, on obtientånk=01u
kuk+1=(n+1)u0un+1, et sir=0 (etu06=0),uest constante et le résultat est immédiat.Correction del"exer cice5 NSoitkun entier naturel non nul. On sait queåki=1i2=k(k+1)(2k+1)6
. Déterminons alors trois réelsa,betctels que, pour entier naturel non nulk,6k(k+1)(2k+1)=ak
+bk+1+c2k+1():Pourkentier naturel non nul donné,
akPar suite,
()(8 :2a+2b+c=03a+b+c=0
a=6,8 :a=6 b=6 c=24; et donc,8n2N;nå
k=16k(k+1)(2k+1)=6 nå k=11k +nå k=11k+14nå k=112k+1!Ensuite, d"après l"exercice
3 , quandntend vers+¥,ånk=11k =lnn+g+o(1)puis 8 n k=11k+1=n+1å k=21k =Hn+11=1+ln(n+1)+g+o(1)=lnn+ln 1+1n +g1+o(1)=lnn+g1+o(1):Enfin,
n k=112k+1=1+2n+1å k=11k nå k=112k=1+H2n+112 Hn =ln(2n+1)+g12 (lnn+g)1+o(1) =ln2+lnn+ln 1+12n +g12 lnn12 g1+o(1) 12 lnn+ln2+12quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46[PDF] Les suites et la récurrence
[PDF] Les suites et les fonctions
[PDF] Les suites et raisonnement par récurrence
[PDF] Les suites et récurrences
[PDF] Les suites excercice
[PDF] les suites exercice
[PDF] les suites exercices corrigés
[PDF] les suites exercices corrigés 1ere s
[PDF] Les suites géo/arithm
[PDF] les suites geometrique
[PDF] Les suites géométriques
[PDF] Les suites géométriques (devoir maison)
[PDF] Les suites géométriques (trouver la raison)
[PDF] les suites géométriques ? rendre jeudi