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ECE1-B2015-2016Feuille d"exercices n°5 :

Récurrences doubles, suites réelles

Récurrence

Exercice 1.(☀)

Montrer que8n>n0;2n> n2(l"entiern02Nest à déterminer).

Récurrence double

Exercice 2.(☀)

On considère la suite(un)définie par :8

:u 0= 1 u 1=5

8n2N; un+2= 5un+16un

Démontrer que, pour tout entier naturelnon a :un= 82n73n.

Exercice 3.(☀)

On considère la suite(un)définie par :8

:u 0= 0 u 1= 1

8n2N; un+2=un+1+un

Démontrer que :8n2N; un=1p5

1 +p5 2 n 1p5 1p5 2 n .Récurrence forte

Exercice 4.(☀☀☀)

Démontrer que tout entier natureln>2admet un diviseur premier.

Propriétés des suites

Exercice 5.(☀)

On considère une suite(un)vérifiant la propriété :

9M2R;9n02N;8n>n0; un6M

a.Donner la négation de cette propriété. b.Montrer que la suite(un)est majorée. On exhibera l"un de ses majorants.

Exercice 6.(☀)

a.La suite

11n+ 1

est-elle majorée? Minorée? Admet-elle une borne supérieure? Une borne inférieure? b.Répondre aux mêmes questions dans le cas de la suite

1 +1n+ 1

Exercice 7.(☀)

Soitq >0.

a.Étudier le sens de variation de la suite :qnn! n2N b.A-t-elle un minimum, un maximum, des bornes inférieure et supérieure?

Exercice 8.(?)(Sens de variation)

Déterminer le sens de variation des suites(un)et(vn)définies par : a.8n2N; un=nP k=11k b.8n2N; vn=n!pn

(?): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 1

ECE1-B2015-2016Exercice 9.(☀)(Suites extraites) On considère la suite(Sn)de terme général :Sn=nP k=1(1)k+1k a.Montrer que(S2n)et(S2n+1)sont des suites extraites de la suite(Sn). b.Déterminer le sens de variation des suites(S2n)et(S2n+1).

Suites classiques

Exercice 10.(☀)

Pour chacune des suites suivantes, définies par récurrence, donner une ex- pression explicite deun. a.u0= 1et8n2N; un+1= 4un6. b.u0= 1;u1= 1et8n2N; un+2= 3un+12un. c.u0= 1;u1= 1et8n2N; un+2= 4un+14un. d.u0=u1= 1et8n2N; un+2=un+1un2 e.u0= 2;u1=103 et8n2N;3un+2= 4un+1un. Exercice 11.(☀)(Somme d"une suite arithmétique)

Soit(un)une suite arithmétique.

a.Montrer que :8k2J0;nK; uk+unk=u0+un. b.En déduire que :8n2N;nP k=0u k= (n+ 1)u0+un2 c.Retrouver la valeur denP k=0kà l"aide de cette formule.Exercice 12.(☀) Déterminer les suites bornées vérifiant la relation de récurrence :

8n2N; un+23un+1+ 2un= 0

Exercice 13.(☀☀)

On considère la suite(un)définie paru0= 2

8n2N; un+1= 2un+ 2n2n

a.Déterminer trois réelsa,betctels que la suite(vn)de terme général v n=un+an2+bn+csoit une suite géométrique. b.En déduire une expression deun.

Exercice 14.(☀)

On considère la suite(un)définie paru0= 0

8n2N; un+1= 2un+ 3n

a.Montrer que la suite(vn)de terme généralvn=un3 nest une suite arithmético-géométrique. b.En déduire une expression deun.

Exercice 15.(☀)

On considère la suite(un)définie par8

:u 0= 4

8n2N; un+1=1u

n2+ 2 a.Montrer que la suite(un)est bien définie et que :8n2N; un>2. b.On considère la suite(vn)définie parvn= ln(un2).

Justifier que(vn)est bien définie.

c.Quelle est la nature de la suite(vn)?

d.En déduire la formule explicite deun.(?): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 2

ECE1-B2015-2016Exercice 16.(☀)

Soit(un)la suite définie paru0= 4

8n2N; un+1= 2pu

n a.Montrer que la suite(vn)définie parvn= lnunest bien définie. b.Calculervnet déduire la valeur deun.

Exercice 17.(☀☀)

On considère la suite(un)définie par8

:u 0= 1 u 1= 4

8n2N; un+2=pu

nun+1 a.Vérifier que cette suite est bien définie. b.Donner une expression explicite deun. Comme dans les exercices précé- dents, on pourra introduire une suite auxiliaire(vn)bien choisie. Exercice 18.(☀☀)(Des suites récurrentes croisées) Soient(un)n>1et(vn)n>1deux suites définies par :

8>>>>>><

>>>>>:u 1= 12 v 1= 1 u n+1=un+ 2vn3 v n+1=un+ 3vn4 a.Pour tout entiernstrictement positif, on pose :wn=vnun. Montrer que(wn)est une suite géométrique dont on précisera la raison. b.Pour tout entiernstrictement positif, on pose :tn= 3un+ 8vn.

Démontrer que la suite(tn)est constante.

c.Exprimerwnen fonction den. d.En déduire une expression explicite deunetvnen fonction den. e.Calculeru2,v2,u3etv3à l"aide de la relation de récurrence, puis en utilisant le résultat de la question précédente.Exercice 19.(☀)

Soit(un)la suite définie par8

:u 0= 1

8n2N; un+1=3un+ 12un+ 4

On introduit la suite auxiliaire(tn)de terme général : t n=2un1u n+ 1 a.Montrer que(tn)est une suite géométrique. b.En déduire une expression detnpuis deun.

Exercice 20.(☀☀)

Quatre réelsa,b,cetqvérifient :

(i) Les nom bresa,betcsont trois termes consécutifs d"une suite géomé- trique de raisonq. (ii) Les nom bresa,2bet3csont trois termes consécutifs d"une suite arith- métique de raisonq.

Déterminer les valeurs possibles dea,b,cetq.

Exercice 21.(☀☀)

On cherche à déterminer toutes les suites(un)vérifiant la relation :

8n2N; un+23un+1+ 2un= 3

a.Déterminer deux réelsaetbtels que la suite(vn)définie parvn=an+b vérifie la relation ci-dessus. b.Montrer que la suite(zn)définie parzn=unvnest d"un type bien

connu, en déduire la valeur deznet celle deun.(?): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 3

ECE1-B2015-2016Suite de la formeun+1=f(un)

Exercice 22.(☀☀☀)

On considère la suite(un)définie par8

:u 0= 0

8n2N; un+1=2un+ 12 +un

Montrer que :8n2N;06un6un+161.

Suites définies à l"aide du symbole

Q

Exercice 23.(☀☀)

On considère la suite(un)définie par :

8< :u 0= 2

8n2N; un=n1P

k=0u kk+ 1 a.Démontrer que :8k>2; uk= 1 +1k uk1. b.Démontrer que :8n>2; un=u1nQ k=2 1 +1k En déduire la formule explicite de la suite(un). c.Démontrer que :8n>2;un=n+ 1.

Cette question devra être traitée sans se servir des résultats précédents.Exercice 24.(☀☀)

On considère la suite(un)définie par :

8< :u 0= 2

8n2N; un=n1P

k=0(k+ 1)uk a.Démontrer que :8n2N; un>0. b.Démontrer que :8k>2; uk= (1 +k)uk1. c.CalculernQ k=2 uku k1 En déduire la formule explicite de la suite(un). d.Démontrer que :8n>2; un= (n+ 1)! Cette question devra être traitée sans se servir des résultats précédents.

On pourra se servir du fait que :(k+ 1) = ((k+ 2)1)(?): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 4

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