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Limites de suites - Applications

Christophe ROSSIGNOL

Année scolaire 2020/2021Table des matières

1 Rappels sur le sens de variation d"une suite

2

2 Limite d"une suite3

2.1 Limite infinie

3

2.2 Limite finie

4

3 Opérations sur les limites5

3.1 Limite d"une somme

5

3.2 Limite d"un produit

5

3.3 Limite d"un quotient

6

4 Limites par comparaison7

4.1 Théorèmes de comparaison

7

4.2 Théorème des gendarmes

7

5 Cas des suites géométriques et des suites monotones

8

5.1 Suites géométriques

8

5.2 Suites monotones

9

Table des figures

1 Suite de limite+∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

2 Suite de limite finiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

Liste des algorithmes

1 Suite de limite+∞. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

2 Suite convergente

5 ?

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1

1 RAPPELS SUR LE SENS DE VARIATION D"UNE SUITE

En préliminaire au cours :

Exercice :31page 13 [Magnard]

1 Rappels sur le sens de variation d"une suiteDéfinition :-Une suite (un)estcroissan tes i,p ourtout en tiernaturel n, on aun+1≥un.

Si p ourtout n,un+1-un≥0alors(un)estcroissan te.

Si p ourtout non aun+1u

n>1, alors la suite(un)estcroissan te.

Si p ourtout non aun+1u

n<1, alors la suite(un)estdécroissan te.Remarques : 1. On déduit de la Propriété 1 que p ouru ne suite arithmétique

Si r >0, la suite eststrictemen tcroissan te

Si r <0, la suite eststrictemen tdécroissan te

2. On déduit de la Propriété 2 que p ourun e suite géométrique de premier terme str ictementp ositif Si 0< q <1, la suite eststrictemen tdécroissan te

Si q >1, la suite eststrictemen tcroissan te

3. on admettra que si q <0, la suitegéométrique n"est pas monotone . Exemples :1.Soit (un)la suite définie parun=n2-8.

On a :

u n+1-un= (n+ 1)2-8-?n2-8? =n2+ 2n+ 1-8-n2+ 8 = 2n+ 1

De plus, commenest un entierp ositif,2n+ 1>0.

Par suite, pour toutn,un+1-un>0donc la suite(un)est croissante. 2.

Soit (vn)la suite définie parvn=2n3

n-1.

La suite(vn)est à termes strictement positifs.

On a :

v n+1v n=2 n+13 (n+1)-12 n3 n-1 2n+13 n×3n-12 n 2n+12 n×3n-13 n = 2×13 =23

Par suite, pour toutn,vn+1v

n<1donc la suite(vn)est décroissante.1. Représenter graphiquement une suite 2

2 LIMITE D"UNE SUITE

2 Limite d"une suite

Activités :Activité 22page 14 [Magnard]

2.1 Limite infinieDéfinition :On dit que la suite(un)admet commelimite +∞sitout in tervallede la forme ]a; +∞[

contient tous les termes de la suite à partir d"un cer tainrang (v oirfi gure 1

On note alors :

limn→+∞un= +∞Figure1 - Suite de limite+∞

Exemple :Soitun=n2.

On peut conjecturer que la suite(un)tend vers+∞.

Pour le montrer en utilisant la définition, on doit trouver, pour touta >0, un rangptel que, sin≥p,

u n> a.

Résolvons cette inéquation :

u n> a n 2> a

Comme le passage à la racine carrée conserve l"ordre pour les nombres positifs, on obtientn≥⎷a.

Il suffit donc de prendre pourple plus petit entier supérieur à⎷apour obtenir le résultat.

La suite(un)tend donc vers+∞.

La fonction Python de l"algorithme

1 p ermetde d éterminerc erang p.Algorithme 1Suite de limite+∞def rangsuite (a) : p= 1 u= 1 p=p+ 1 u=p2 returnpRemarques :1.On dit qu eces suites son td ivergentes. 2. On admettra que les suites de terme général ⎷n;n;n2etn3admettentcomme limite +∞. 3.

On définit de maniè reanalogue une suite de li mite-∞:Définition :On dit que la suite(un)admet commelimite -∞sitout in tervallede la forme ]-∞;a[

contient tous les termes de la suite à partir d"un cer tainrang

On note alors :

limn→+∞un=-∞Remarque :Les suites de terme général-⎷n;-n;-n2et-n3admettentcomme limite -∞.

Exercices :6, 8 page 19; 49, 50, 52 page 30; 95 page 33 et 103 page 343- 5 page 19; 46 page 304[Magnard]2. Prolifération bactérienne.

3. Conjectures

4. Suites tendant vers l"infini.

3

2.2 Limite finie 2 LIMITE D"UNE SUITE

2.2 Limite finie

Définition :On dit que la suite(un)admet commelimite le nom breréel lsitout in tervallecon tenantl

contient tous les termes de la suite à partir d"un cer tainrang (v oirfi gure 1

On dit alors que(un)convergev erslet on note :

lim n→+∞un=lFigure2 - Suite de limite finiel

Remarques :1.P ourmon trerqu"une suite est con vergente,on p eutse limiter aux in tervallescen tréssur

la limitel, c"est-à-dire les intervalles de la forme[l-a;l+a]aveca >0. 2.

Si elle existe

la limite ld"une suiteest unique . 3.

Si une suite ne con vergepas

, on dit qu"elle est d ivergente 4.

On admettra que les suites de terme général

1⎷n

;1n ;1n 2et1n

3ontp ourlimite zéro .

Exemples :

1.

Soit un= (-1)n

-1et1sont les deux seules valeurs possibles pour la suite. La limite éventuelle de la suite ne pourrait

donc être que-1ou1. Or, aucun des intervalles]0; 2[et]-2; 0[ne contiennent tous les termes de la suite à partir d"un certain rang (les termes d"indice pair sont dans]0; 2[et ceux d"indice impair dans]-2; 0[. Cette suite est donc divergente (en fait, elle n"a pas de limite). 2.

Soit vn= 1 +1n

On peut conjecturer que la suite(vn)converge vers 1.

Pour le montrer en utilisant la définition, on doit trouver, pour touta >0, un rangptel que, sin≥p,

Résolvons cette inéquation :

Comme 1n >0, cela revient à1n positifs,n≥1a Il suffit donc de prendre pourple plus petit entier supérieur à1a pour obtenir le résultat.

La suite(vn)converge donc vers 1.

La fonction Python de l"algorithme

2 p ermetde d éterminerc erang p.

Exercice :33, 34 page 29; 96 page 33 et 105 page 345- 7 page 19; 47, 51 page 30 et 53 page 316[Magnard]5. Conjectures

6. Suites convergentes.

4

3 OPÉRATIONS SUR LES LIMITES

Algorithme 2Suite convergentedef rangsuite (a) :

p= 1 v= 2 while(v >1 +a)or(v <1-a): p=p+ 1 v= 1 +1p returnp3 Opérations sur les limites Dans toute cette section,letl?désignent deux nombres réels.3.1 Limite d"une somme Les résultats sont résumés dans le tableau 1 .lim n→+∞vnl lim

Table1 - Limite d"une somme

Remarque :" F.I. » signifie "F ormeIndéterminée ». Ceci v eutdire que l"on ne p eutpas conclure direc-

tement à l"aide du tableau. Il faut étudier plus en détail les suites pour " lev erl"indéte rmination

» et

trouver la limite.

Exemples :1.limn→+∞?1n

+⎷n+ 2?=? lim n→+∞1n = 0 lim n→+∞⎷n= +∞ lim n→+∞2 = 2? donclimn→+∞? 1n +⎷n+ 2?

2.limn→+∞?n2-n?=?

lim n→+∞n2= +∞ lim n→+∞(-n) =-∞?

On a une forme indéterminée

Cette F.I. sera levée à la sous-section

3.2

3.2 Limite d"un produit

Les résultats sont résumés dans le tableau 2

Exemples :1.limn→+∞?-3n2?=?

lim n→+∞-3 =-3 lim n→+∞n2= +∞? donclimn→+∞?-3n2?=-∞ 5

3.3 Limite d"un quotient 3 OPÉRATIONS SUR LES LIMITES

lim n→+∞unll >0l >0l <0l <0+∞+∞-∞00 lim n→+∞vnl lim

Il s"agit de la

règle des signes

Table2 - Limite d"un produit

2.limn→+∞?n2-n?=?

On a déjà vu à la sous-section

3.1 que cette limite présen teune forme indéterminée. Or, si n?= 0, n

2-n=n2?1-nn

2?=n2?1-1n

?et : lim n→+∞n2= +∞ lim n→+∞1-1n = 1? donclimn→+∞?n2-n?=+ ∞

On a levé l"indétermination.

Remarque :Pour lever une indétermination de la forme "∞ - ∞», il suffit souvent de mettre en facteur

le terme de plus haut degré.

3.3 Limite d"un quotient

Les résultats sont résumés dans le tableau 3 .lim x→+∞unll+∞ ou ou -∞l?= 0+∞ ou -∞0 lim x→+∞vnl ??= 0+∞ ou -∞l ??= 0+∞ ou -∞000 lim x→+∞unv nl l ?0+∞ ou -∞F.I.+∞ ou ou -∞F.I. règles des signesil faut prendre en compte le signe de v nTable3 - Limite d"un quotient

Exemples :1.limn→+∞-52n2-1=?

lim n→+∞-5 =-5 lim n→+∞2n2-1 = +∞? donclimn→+∞-52n2-1= 0

2.limn→+∞n-23n-1=?

lim n→+∞n-2 = +∞ lim n→+∞3n-1 = +∞?

On a une forme indéterminée

On va mettre en facteur les termes de plus haut degré : n-23n-1=n?1-2n ?n ?3-1n =1-2n 3-1n 6

4 LIMITES PAR COMPARAISON

lim n→+∞1-2n = 1 lim n→+∞3-1n = 3? donclimn→+∞n-23n-1=13 Remarque :Pour lever une indétermination de la forme "∞∞

», il suffit souvent de mettre en facteur le

terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur, puis réduire la fraction obtenue.

Exercices :9, 10 page 21 et 54, 56, 57 page 317- 11, 12 page 21 et 59, 60, 61, 62 page 318- 98 page 339

- 109 page 34

10[Magnard]

4 Limites par comparaison

Activité :Activité 3 page 1511[Magnard]

4.1 Théorèmes de comparaisonThéorème 1 :Soient(un)et(vn)deux suites eta n0un entier naturel.

1. Si, p ourn≥n0, on aun≥vnetlimn→+∞vn= +∞alorslimn→+∞un= +∞ 2.

1. Soitaun nombre réel.

Commelimn→+∞vn= +∞,il existe un entierptel que l"intervalle]a; +∞[contienne tous les termes

de(vn)à partir de l"indicep.

On noteNle plus grand des nombres entiersn0etp.

pourn≥N, l"intervalle]a; +∞[contient tous les termesvnet, de plus,un≥vn. Par suite, pourn≥N, l"intervalle]a; +∞[contient tous les termesun.

Cette démonstration étant valable pour tout nombre réela, on vient de montrer quelimn→+∞un= +∞.

2. Soitaun nombre réel.

Commelimn→+∞vn=-∞,il existe un entierptel que l"intervalle]-∞;a[contienne tous les termes

de(vn)à partir de l"indicep.

On noteNle plus grand des nombres entiersn0etp.

Par suite, pourn≥N, l"intervalle]-∞;a[contient tous les termesun.

Cette démonstration étant valable pour tout nombre réela, on vient de montrer quelimn→+∞un=-∞.

Exemple :Soitun=⎷n

2+ 1

Pour tout entiern,n2+ 1≥n2.

Comme la fonction racine carrée est croissante, elle conserve l"ordre donc⎷n

2+ 1≥⎷n

2.

Commenest un entier positif,⎷n

2=n.

On a donc⎷n

2+ 1≥n. Commelimn→+∞n= +∞,on obtientlimn→+∞un= +∞.

Exercices :13, 14 page 23 et 63, 64, 65 page 3112- 100 page 3313- 21, 22 page 2614[Magnard]

4.2 Théorème des gendarmesThéorème 2 :Théorème dit " des gendarmes » (admis)

Soient(un),(vn)et(wn)trois suites;n0un entier naturel etlun réel. lim n→+∞un=l7. Limites " simples ».

8. Formes indéterminées.

9. Vrai-Faux.

10. Avec une suite intermédiaire.

11. Découvrir les propriétés sur les limites.

12. Théorème de comparaison.

13. Forme conjuguée.

14. Étudier la convergence d"une suite.

7

5 CAS DES SUITES GÉOMÉTRIQUES ET DES SUITES MONOTONES

Exemple :Soit(un)la suite définie parun=cosn⎷n

1⎷n

Commelimn→+∞1⎷n

= 0, la suite(un)converge vers zéro. Exercices :15, 16 page 23 et 67, 68, 69, 70 page 3115- 97 page 3316- 99 page 3317[Magnard]

5 Cas des suites géométriques et des suites monotones

5.1 Suites géométriquesLemme :Inégalité deBernoulli

Pour tout réela >0et pour tout entier natureln,on a : (1 +a)n≥1 +naDémonstration (exigible) :

Montrons par récurrence que(1 +a)n≥1 +na.

Initialisation:(1 +a)0= 1et1 + 0×a= 1donc la propriété est vérifiée au rang zéro. Hérédité: On suppose qu"il existe un rangntel que(1 +a)n≥1 +naet on veut monter que (1 +a)n+1≥1 + (n+ 1)a. (1 +a)n≥1 +na (1 +a)n×(1 +a)≥(1 +na)×(1 +a)car1 +a >0 (1 +a)n+1≥(1 +na)(1 +a) (1 +a)n+1≥1 +na+a+na2 (1 +a)n+1≥1 + (n+ 1)a+na2

Commena2≥0, on a doncqn+1≥1 + (n+ 1)a.

On a donc montré que, pour toutn,(1 +a)n≥1 +na.Propriété :Soitqun réel différent de zéro et de 1.

1. Si q >1, la suite de terme général(qn)admet commel imite+∞(elle est doncdiv ergente). 2. Si -1< q <1, la suite de terme général(qn)a pour limite zéro. 3.

1. Commeq >1, on peu noterq= 1 +a, aveca >0.

En utilisant l"inégalité deBernoulli, on a, pour tout entier natureln,qn≥1 +na. De plus, commea >0,limn→+∞(1 +na) = +∞donclimn→+∞qn= +∞.

2. On va traiter deux cas :

- Si0< q <1: On posep=1q . On a doncp >1etlimn→+∞pn= +∞.

Commeq=1p

, on aqn=? 1p n=1p ndonclimn→+∞qn= 0. - Si-1< q <0: On poses=-q. On a donc0< s <1etlimn→+∞sn= 0.

Commeq=-s, on a donclimn→+∞qn= 0.

3. Ce résultat est admis.

Exemples :15. Théorème des gendarmes.

16. Choix de méthode.

17. Vrai-Faux.

8

5 CAS DES SUITES GÉOMÉTRIQUES ET DES SUITES MONOTONES 5.2 Suites monotones

1. Soit (un)la suite géométrique de premier termeu0=-3et de raison4.

On a doncun=-3×4n.

Comme4>1, on alimn→+∞4n= +∞etlimn→+∞un=-∞. 2.

Soit (vn)la suite définie parvn= 5×?23

n

Comme0<23

<1, on alimn→+∞? 23
n = 0etlimn→+∞un= 0. 3.

Soit (wn)la suite définie parwn= 5n-3n.

On obtient une forme indéterminée. On va mettre en facteur le terme prépondérant : w n= 5n? 1-3n5 n? = 5 n? 1-?35 n?

Comme0<35

<1, on alimn→+∞? 35
n = 0etlimn→+∞? 1-?35 n? = 1. Comme5>1, on alimn→+∞5n= +∞et donclimn→+∞un= +∞. 4. Soit (tn)la suite géométrique de premier termeu0= 5et de raisonq=14

On noteSn=t0+t1+···+tn-1.

On a :

S n=t0×1-qn1-q= 5×1-?14 n1-14 = 5×1-?14quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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