SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. SUITES ARITHMETIQUES. ET SUITES GEOMETRIQUES. I. Suites arithmétiques. 1) Définition.
Mathématiques Financières Chapitre 0 : Rappel Suites
Elle associe à chaque élément n ? N un terme unique noté Un appelé terme d'indice n de la suite Un. Pr. F-Z Aazi. Rappel Suites Mathématiques. 2 / 20. Page 3
Formules concernant les suites arithmétiques et les suites
terme est u12 si le premier terme est noté u1. 5°) Formule permettant de calculer la somme des n premiers termes d'une suite arithmétique : a) S = nombre
Cours I : SUITES NUMERIQUES I Quelques rappels
Définition : Une suite un est une application de l'ensemble ? ou une partie de ? dans ? qui à II Suites arithmétiques et géométriques (rappels).
FICHE DE RÉVISION DU BAC
Mathématiques – Toutes séries. Suites numériques. LE COURS. [Série – Matière – (Option)]. 1. Note liminaire. Programme selon les sections :.
69 - APPLICATIONS DES MATHÉMATIQUES `A DAUTRES
Domaine : Evolution de population Outils : Etude de suites définies par récurrence
Maths vocab in English
maths : les deux sont corrects toutefois math relève de l'anglais américain et maths de l'anglais britannique. Qu'il y ait un s ou non
Suites remarquables
29 sept. 2010 vu au lycée les suites arithmétiques et géométriques (nous ... Une suite réelle (un)n?N est une liste infinie de nombres réels ...
SUITES ARITHMÉTIQUES ET SUITES GÉOMÉTRIQUES
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. SUITES ARITHMÉTIQUES. ET SUITES GÉOMÉTRIQUES. Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/
Suites numériques
8 nov. 2011 Maths en Ligne. Suites numériques. Bernard Ycart. Vous savez déjà étudier une suite et calculer sa limite. La nouveauté réside dans.
SUITES ARITHMÉTIQUES
ET SUITES GÉOMÉTRIQUES
Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/05UHsy9G4M4Partie 1 : Suites arithmétiques
1) Définition
Exemple :
Considérons la suite (
) où l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant 5. Si le premier terme est égal à 3, les termes suivants sont : =3, =8, =13, =18. Une telle suite est appelée une suite arithmétique de raison 5 et de premier terme 3.La suite est donc définie par : (
=3 +5Définition : Une suite (
) est une suite arithmétique s'il existe un nombre tel que pour tout entier , on a :Le nombre est appelé raison de la suite.
Remarque :
La raison peut être un nombre négatif. On peut par exemple ajouter -2. Méthode : Démontrer qu'une suite est arithmétiqueVidéo https://youtu.be/YCokWYcBBOk
a) La suite ( ) définie par : =7-9 est-elle arithmétique ? b) La suite ( ) définie par : +3 est-elle arithmétique ?Correction
a) =7-9 +1 -(7-9) =7-9-9-7+9 =-9.La différence entre deux termes successifs reste constante et égale à -9, donc on passe d'un
terme au suivant en ajoutant -9. ) est une suite arithmétique de raison -9. b) +1 +3-( +3) +2+1+3- -3 =2+1. 2La différence entre un terme et son précédent n'est pas constante car elle dépend de .
) n'est pas une suite arithmétique.Propriété : (
) est une suite arithmétique de raison et de premier termePour tout entier naturel , on a :
Démonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/Jn4_xM_ZJD0
La suite arithmétique (
) de raison et de premier terme vérifie la relationEn calculant les premiers termes :
En additionnant membre à membre ces égalités, on obtient : Soit, en retranchant aux deux membres les termes identiques : Méthode : Déterminer une expression en fonction de d'une suite arithmétiqueVidéo https://youtu.be/6O0KhPMHvBA
a) Déterminer l'expression, en fonction de , de la suite arithmétique définie par : =7 -4 b) Déterminer l'expression, en fonction de , de la suite arithmétique définie par : =5 +3Correction
a) On a : =7 et -4 On passe d'un terme au suivant en ajoutant -4, et donc la raison est égal à -4et le premier terme est égal à 7.Ainsi :
=7+× -4 =7-4 b) On a : =5 et +3 On passe d'un terme au suivant en ajoutant 3, donc la raison est égale à 3.Ici, le terme
n'est pas donné mais on peut le calculer. 3Pour passer de
, on retire 3 (" marche arrière ») donc -3=2.Ainsi :
=2+3 -1 Méthode : Déterminer la raison et le premier terme d'une suite arithmétiqueVidéo https://youtu.be/iEuoMgBblz4
Considérons la suite arithmétique (
) tel que =7 et =19. a) Déterminer la raison et le premier terme de la suite ( b) Exprimer en fonction de .Correction
a) Les termes de la suite sont de la formeAinsi :
+5 +97=
+519=
+97-19=
+5- -9← On soustrait membre à membre -12=-4 -12 -4 =3Comme
+5=7, on a : +5×3=7 =7-15 =-8. b) =-8+×3 =3-82) Sens de variation
Propriété : (
) est une suite arithmétique de raison r. - Si > 0 alors la suite ( ) est croissante. - Si < 0 alors la suite ( ) est décroissante.Démonstration :
- Si > 0 alors >0 et la suite ( ) est croissante. - Si < 0 alors <0 et la suite ( ) est décroissante. 4 Méthode : Déterminer le sens de variation d'une suite arithmétiqueVidéo https://youtu.be/R3sHNwOb02M
Étudier les variations des suites arithmétiques ( ) et ( ) définies par : =3+5 b) ( =-3 -4Correction
a) ( ) est croissante car de raison positive et égale à 5. b) On passe d'un terme au suivant en ajoutant -4. ( ) est décroissante car de raison négative et égale à -4.3) Représentation graphique
Les points de la représentation graphique d'une suite arithmétique sont alignés.Exemple :
On a représenté ci-dessous la suite de raison -0,5 et de premier terme 4. 5RÉSUMÉ
) une suite arithmétique - de raison - de premier termeExemple :
=-0,5 et =4Définition
-0,5La différence entre un terme et son
précédent est égale à -0,5.Propriété
=4-0,5 SensDe variation
Si > 0 : (
) est croissante.Si < 0 : (
) est décroissante. =-0,5<0La suite (
) est décroissante.Représentation
graphiqueRemarque :
Les points de la représentation
graphique sont alignés.La croissance est linéaire.
Partie 2 : Suites géométriques
1) Définition
Exemple :
Considérons la suite (
) où l'on passe d'un terme au suivant en multipliant par 2. Si le premier terme est égal à 5, les termes suivants sont : =5, =10, =20, =40. Une telle suite est appelée une suite géométrique de raison 2 et de premier terme 5.La suite est donc définie par : (
=5 =2Définition : Une suite (
) est une suite géométrique s'il existe un nombre réel tel que pour tout entier , on a : Le nombre est appelé raison de la suite. Méthode : Démontrer qu'une suite est géométriqueVidéo https://youtu.be/YPbEHxuMaeQ
La suite (
)définie par : =3×5 est-elle géométrique ? 6Correction
3×5
3×5
5 5 =5 =5Le rapport entre un terme et son précédent reste constant et égale à 5, donc on passe d'un
terme au suivant en multipliant par 5. ) est une suite géométrique de raison 5 et de premier terme =3×5 =3.Exemple concret :
On place un capital de 500 € sur un compte dont les intérêts annuels s'élèvent à 4 %.
Chaque année, le capital est donc multiplié par 1,04. Ce capital suit une progression géométrique de raison 1,04.On a ainsi :
=1,04×500=520 =1,04×520=540,80 =1,04×540,80=562,432De manière générale :
=1,04× avec =500Propriété : (
) est une suite géométrique de raison et de premier termePour tout entier naturel , on a :
Démonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/OpLU8Ci1GnE
La suite géométrique (
) de raison et de premier terme vérifie la relation - Si ou est nul, alors tous les termes de la suite sont nuls. La démonstration est évidente dans ce cas. - Dans la suite, on suppose donc que et sont non nuls. Dans ce cas, tous les termes de la suite sont non nuls.En calculant les premiers termes :
En multipliant membre à membre ces n égalités, on obtient : Comme les termes de la suite sont non nuls, on peut diviser aux deux membres les facteurs identiques, on obtient : 7 Méthode : Déterminer une expression en fonction de d'une suite géométriqueVidéo https://youtu.be/WTmdtbQpa0c
a) Déterminer l'expression en fonction de de la suite géométrique définie par : =3 =4 b) Déterminer l'expression en fonction de de la suite géométrique définie par : =5 =2Correction
a) On a : =3 et =4 On passe d'un terme au suivant en multipliant par 4, donc la raison est égal à 4et le premier terme est égal à 3.Ainsi :
=3×4 b) On a : =5 et =2 On passe d'un terme au suivant en multipliant par 2 donc la raison est égal à 2.Ici, le terme
n'est pas donné mais on peut le calculer.Pour passer de
, on divise par 2 (" marche arrière ») donc : 2 5 2 =2,5. La raison est égal à 2et le premier terme est égal à 2,5.Ainsi :
=2,5×2 Méthode : Déterminer la raison et le premier terme d'une suite géométriqueVidéo https://youtu.be/wUfleWpRr10
Considérons la suite géométrique (
) tel que =8 et =512. a) Déterminer la raison et le premier terme de la suite ( b) En déduire une expression de la suite en fonction de .Correction
a) Les termes de la suite sont de la formeAinsi : (
88=
512=
← On effectue le quotient membre à membre 64=7 4
64=
On utilise la fonction racine troisième de la calculatrice pour trouver le nombre qui élevé au
cube donne 64.Ainsi =
64=4
Comme
=8, on a : ×4 =8 8 4Et donc :
1 32×4
2) Sens de variation
Propriété : (
) est une suite géométrique de raison et de premier terme non nulPour
>0 : - Si >1 alors la suite ( ) est croissante. - Si 0<<1 alors la suite ( ) est décroissante.Pour
<0 : - Si >1 alors la suite ( ) est décroissante. - Si 0<<1 alors la suite ( ) est croissante.Démonstration dans le cas où
>0 : -1 - Si >1 alors >0 et la suite ( ) est croissante. - Si 0<<1 alors <0 et la suite ( ) est décroissante.Remarques :
• Si =1, la suite est constante. Méthode : Déterminer le sens de variation d'une suite géométriqueVidéo https://youtu.be/vLshnJqW-64
Déterminer le sens de variation des suites géométriques ( ) et ( ) définies par : a) =-4×2 b) A =-2 1 2 9Correction
a) La suite géométrique ( ) définie par =-4×2 est décroissante car : =-4 donc <0 et =2 donc >1 b) La suite géométrique ( ) définie par 1 2 et =-2 est croissante car : =-2 donc <0 et = 1 2 donc 0<<1.Partie 3 : Sommes de termes consécutifs
1) Cas des suites arithmétiques
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