[PDF] SUITES ARITHMÉTIQUES ET SUITES GÉOMÉTRIQUES





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SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. SUITES ARITHMETIQUES. ET SUITES GEOMETRIQUES. I. Suites arithmétiques. 1) Définition.



Mathématiques Financières Chapitre 0 : Rappel Suites

Elle associe à chaque élément n ? N un terme unique noté Un appelé terme d'indice n de la suite Un. Pr. F-Z Aazi. Rappel Suites Mathématiques. 2 / 20. Page 3 



Formules concernant les suites arithmétiques et les suites

terme est u12 si le premier terme est noté u1. 5°) Formule permettant de calculer la somme des n premiers termes d'une suite arithmétique : a) S = nombre 



Cours I : SUITES NUMERIQUES I Quelques rappels

Définition : Une suite un est une application de l'ensemble ? ou une partie de ? dans ? qui à II Suites arithmétiques et géométriques (rappels).



FICHE DE RÉVISION DU BAC

Mathématiques – Toutes séries. Suites numériques. LE COURS. [Série – Matière – (Option)]. 1. Note liminaire. Programme selon les sections :.



69 - APPLICATIONS DES MATHÉMATIQUES `A DAUTRES

Domaine : Evolution de population Outils : Etude de suites définies par récurrence



Maths vocab in English

maths : les deux sont corrects toutefois math relève de l'anglais américain et maths de l'anglais britannique. Qu'il y ait un s ou non



Suites remarquables

29 sept. 2010 vu au lycée les suites arithmétiques et géométriques (nous ... Une suite réelle (un)n?N est une liste infinie de nombres réels ...



SUITES ARITHMÉTIQUES ET SUITES GÉOMÉTRIQUES

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. SUITES ARITHMÉTIQUES. ET SUITES GÉOMÉTRIQUES. Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/ 



Suites numériques

8 nov. 2011 Maths en Ligne. Suites numériques. Bernard Ycart. Vous savez déjà étudier une suite et calculer sa limite. La nouveauté réside dans.

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SUITES ARITHMÉTIQUES

ET SUITES GÉOMÉTRIQUES

Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/05UHsy9G4M4

Partie 1 : Suites arithmétiques

1) Définition

Exemple :

Considérons la suite (

) où l'on passe d'un terme au suivant en ajoutant 5. Si le premier terme est égal à 3, les termes suivants sont : =3, =8, =13, =18. Une telle suite est appelée une suite arithmétique de raison 5 et de premier terme 3.

La suite est donc définie par : (

=3 +5

Définition : Une suite (

) est une suite arithmétique s'il existe un nombre tel que pour tout entier , on a :

Le nombre est appelé raison de la suite.

Remarque :

La raison peut être un nombre négatif. On peut par exemple ajouter -2. Méthode : Démontrer qu'une suite est arithmétique

Vidéo https://youtu.be/YCokWYcBBOk

a) La suite ( ) définie par : =7-9 est-elle arithmétique ? b) La suite ( ) définie par : +3 est-elle arithmétique ?

Correction

a) =7-9 +1 -(7-9) =7-9-9-7+9 =-9.

La différence entre deux termes successifs reste constante et égale à -9, donc on passe d'un

terme au suivant en ajoutant -9. ) est une suite arithmétique de raison -9. b) +1 +3-( +3) +2+1+3- -3 =2+1. 2

La différence entre un terme et son précédent n'est pas constante car elle dépend de .

) n'est pas une suite arithmétique.

Propriété : (

) est une suite arithmétique de raison et de premier terme

Pour tout entier naturel , on a :

Démonstration au programme :

Vidéo https://youtu.be/Jn4_xM_ZJD0

La suite arithmétique (

) de raison et de premier terme vérifie la relation

En calculant les premiers termes :

En additionnant membre à membre ces égalités, on obtient : Soit, en retranchant aux deux membres les termes identiques : Méthode : Déterminer une expression en fonction de d'une suite arithmétique

Vidéo https://youtu.be/6O0KhPMHvBA

a) Déterminer l'expression, en fonction de , de la suite arithmétique définie par : =7 -4 b) Déterminer l'expression, en fonction de , de la suite arithmétique définie par : =5 +3

Correction

a) On a : =7 et -4 On passe d'un terme au suivant en ajoutant -4, et donc la raison est égal à -4et le premier terme est égal à 7.

Ainsi :

=7+× -4 =7-4 b) On a : =5 et +3 On passe d'un terme au suivant en ajoutant 3, donc la raison est égale à 3.

Ici, le terme

n'est pas donné mais on peut le calculer. 3

Pour passer de

, on retire 3 (" marche arrière ») donc -3=2.

Ainsi :

=2+3 -1 Méthode : Déterminer la raison et le premier terme d'une suite arithmétique

Vidéo https://youtu.be/iEuoMgBblz4

Considérons la suite arithmétique (

) tel que =7 et =19. a) Déterminer la raison et le premier terme de la suite ( b) Exprimer en fonction de .

Correction

a) Les termes de la suite sont de la forme

Ainsi :

+5 +9

7=

+5

19=

+9

7-19=

+5- -9← On soustrait membre à membre -12=-4 -12 -4 =3

Comme

+5=7, on a : +5×3=7 =7-15 =-8. b) =-8+×3 =3-8

2) Sens de variation

Propriété : (

) est une suite arithmétique de raison r. - Si > 0 alors la suite ( ) est croissante. - Si < 0 alors la suite ( ) est décroissante.

Démonstration :

- Si > 0 alors >0 et la suite ( ) est croissante. - Si < 0 alors <0 et la suite ( ) est décroissante. 4 Méthode : Déterminer le sens de variation d'une suite arithmétique

Vidéo https://youtu.be/R3sHNwOb02M

Étudier les variations des suites arithmétiques ( ) et ( ) définies par : =3+5 b) ( =-3 -4

Correction

a) ( ) est croissante car de raison positive et égale à 5. b) On passe d'un terme au suivant en ajoutant -4. ( ) est décroissante car de raison négative et égale à -4.

3) Représentation graphique

Les points de la représentation graphique d'une suite arithmétique sont alignés.

Exemple :

On a représenté ci-dessous la suite de raison -0,5 et de premier terme 4. 5

RÉSUMÉ

) une suite arithmétique - de raison - de premier terme

Exemple :

=-0,5 et =4

Définition

-0,5

La différence entre un terme et son

précédent est égale à -0,5.

Propriété

=4-0,5 Sens

De variation

Si > 0 : (

) est croissante.

Si < 0 : (

) est décroissante. =-0,5<0

La suite (

) est décroissante.

Représentation

graphique

Remarque :

Les points de la représentation

graphique sont alignés.

La croissance est linéaire.

Partie 2 : Suites géométriques

1) Définition

Exemple :

Considérons la suite (

) où l'on passe d'un terme au suivant en multipliant par 2. Si le premier terme est égal à 5, les termes suivants sont : =5, =10, =20, =40. Une telle suite est appelée une suite géométrique de raison 2 et de premier terme 5.

La suite est donc définie par : (

=5 =2

Définition : Une suite (

) est une suite géométrique s'il existe un nombre réel tel que pour tout entier , on a : Le nombre est appelé raison de la suite. Méthode : Démontrer qu'une suite est géométrique

Vidéo https://youtu.be/YPbEHxuMaeQ

La suite (

)définie par : =3×5 est-elle géométrique ? 6

Correction

3×5

3×5

5 5 =5 =5

Le rapport entre un terme et son précédent reste constant et égale à 5, donc on passe d'un

terme au suivant en multipliant par 5. ) est une suite géométrique de raison 5 et de premier terme =3×5 =3.

Exemple concret :

On place un capital de 500 € sur un compte dont les intérêts annuels s'élèvent à 4 %.

Chaque année, le capital est donc multiplié par 1,04. Ce capital suit une progression géométrique de raison 1,04.

On a ainsi :

=1,04×500=520 =1,04×520=540,80 =1,04×540,80=562,432

De manière générale :

=1,04× avec =500

Propriété : (

) est une suite géométrique de raison et de premier terme

Pour tout entier naturel , on a :

Démonstration au programme :

Vidéo https://youtu.be/OpLU8Ci1GnE

La suite géométrique (

) de raison et de premier terme vérifie la relation - Si ou est nul, alors tous les termes de la suite sont nuls. La démonstration est évidente dans ce cas. - Dans la suite, on suppose donc que et sont non nuls. Dans ce cas, tous les termes de la suite sont non nuls.

En calculant les premiers termes :

En multipliant membre à membre ces n égalités, on obtient : Comme les termes de la suite sont non nuls, on peut diviser aux deux membres les facteurs identiques, on obtient : 7 Méthode : Déterminer une expression en fonction de d'une suite géométrique

Vidéo https://youtu.be/WTmdtbQpa0c

a) Déterminer l'expression en fonction de de la suite géométrique définie par : =3 =4 b) Déterminer l'expression en fonction de de la suite géométrique définie par : =5 =2

Correction

a) On a : =3 et =4 On passe d'un terme au suivant en multipliant par 4, donc la raison est égal à 4et le premier terme est égal à 3.

Ainsi :

=3×4 b) On a : =5 et =2 On passe d'un terme au suivant en multipliant par 2 donc la raison est égal à 2.

Ici, le terme

n'est pas donné mais on peut le calculer.

Pour passer de

, on divise par 2 (" marche arrière ») donc : 2 5 2 =2,5. La raison est égal à 2et le premier terme est égal à 2,5.

Ainsi :

=2,5×2 Méthode : Déterminer la raison et le premier terme d'une suite géométrique

Vidéo https://youtu.be/wUfleWpRr10

Considérons la suite géométrique (

) tel que =8 et =512. a) Déterminer la raison et le premier terme de la suite ( b) En déduire une expression de la suite en fonction de .

Correction

a) Les termes de la suite sont de la forme

Ainsi : (

8

8=

512=

← On effectue le quotient membre à membre 64=
7 4

64=

On utilise la fonction racine troisième de la calculatrice pour trouver le nombre qui élevé au

cube donne 64.

Ainsi =

64
=4

Comme

=8, on a : ×4 =8 8 4

Et donc :

1 32
×4

2) Sens de variation

Propriété : (

) est une suite géométrique de raison et de premier terme non nul

Pour

>0 : - Si >1 alors la suite ( ) est croissante. - Si 0<<1 alors la suite ( ) est décroissante.

Pour

<0 : - Si >1 alors la suite ( ) est décroissante. - Si 0<<1 alors la suite ( ) est croissante.

Démonstration dans le cas où

>0 : -1 - Si >1 alors >0 et la suite ( ) est croissante. - Si 0<<1 alors <0 et la suite ( ) est décroissante.

Remarques :

• Si =1, la suite est constante. Méthode : Déterminer le sens de variation d'une suite géométrique

Vidéo https://youtu.be/vLshnJqW-64

Déterminer le sens de variation des suites géométriques ( ) et ( ) définies par : a) =-4×2 b) A =-2 1 2 9

Correction

a) La suite géométrique ( ) définie par =-4×2 est décroissante car : =-4 donc <0 et =2 donc >1 b) La suite géométrique ( ) définie par 1 2 et =-2 est croissante car : =-2 donc <0 et = 1 2 donc 0<<1.

Partie 3 : Sommes de termes consécutifs

1) Cas des suites arithmétiques

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