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Mathématiques B30

Suites et séries

Module de l'élève

2002

Mathématiques B30

Suites et séries

Module de l'élève

Bureau de la minorité de langue officielle

2002

P.ii - Math B30 - Suites et séries

Liste des objectifs du programme d'études de Mathématiques B30

Objectif général

L'élève sera capable de:

•Démontrer l'habileté à appliquer la connaissance des fonctions exponentielles et logarithmiques à des situations de la vie courante

Objectifs spécifiques

L'élève sera capable de:

G.8. Identifier une séquence géométrique.

G.9. Déterminer le n

e terme d'une séquence géométrique G.10. Calculer le nombre requis de moyennes géométriques entre les termes donnés G.11. Calculer la somme d'une série géométrique G.12. Définir et illustrer les termes suivants : séquence géométrique, intérêt composé, valeur actualisée, annuité, moyenne géométrique

G.13. Déterminer la milite d'une séquence

G.14. Calculer la somme d'une série infinie

G.15. Résoudre des problèmes relatifs aux séries arithmétiques ou géométriques G.16. Résoudre des problèmes se rapportant à l'intérêt composé ou à une valeur actualisée G.17. Résoudre des problèmes se rapportant à des annuités ou à des hypothèques

Remerciements

Ce module puise la majeure partie de son contenu du document Algèbre 30,

1988 Ministère de l'Éducation de la Saskatchewan. Également, des exemples

et des exercices sont tirés du document de B. Thiessen (Mathematics B 30. Saskatoon Public School Division). Les droits de reproduction nécessaires ont été obtenus auprès des éditeurs de ces deux documents.

P.1 - Math B30 - Suites et séries

1. Introduction

Selon Statistique Canada, environ 46 % des diplômés du collégial et 50 % des bacheliers empruntent de l'argent dans le cadre des programmes gouvernementaux de prêts aux étudiants. À la fin de leurs études, les diplômés doivent rembourser une dette moyenne se situant entre 9 600 $ et 13 300 $ (

Statistique Canada,

). Pourquoi parler du taux d'endettement des étudiants en guise d'introduction ? Simplement parce que les concepts de cette unité permettent les calculs qui deviennent importants pour les consommateurs et consommatrices. En effet, une bonne compréhension des notions de suites et des séries peut nous aider à comprendre comment on calcule le montant à rembourser à chaque mois sur des emprunts bancaires. Un investisseur peut aussi mieux apprécier le processus lui permettant de faire fructifier son argent. Mais avant d'en arriver à ces applications, il est nécessaire de définir quelques termes concernant les suites et les séries.

1.1 Notion de suite

Une suite (ou séquence) est une liste de nombres ou de termes séparés par des virgules. Elles peuvent être aussi simples que celle indiquant les dates d'un mois (1, 2, 3, ..., 31) ou aussi complexes que celle indiquant combien d'argent vous obtenez lorsque vous placez une certaine somme en banque à tous les mois. Les éléments d'une suite sont nommés des termes. Chaque terme d'une suite possède une position. Par exemple, dans la suite 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, ..., le 5 e terme est 25. On peut aussi représenter le cinquième terme par la notation . Dans cette suite, le n e terme est indiqué par . 5 25tZ
n t Une suite est dite finie si elle possède un dernier terme. Par exemple, la suite

2, 10, 18, 26 est finie. Une suite infinie n'a pas de dernier terme. Par

exemple, la suite infinie 2, 10, 18, 26, ...

1.2. Différence entre une suite arithmétique et une suite géométrique

Les suites peuvent être de tout genre, mais celles qui ont le plus d'applications sont les suites arithmétiques et les suites géométriques. Dans une suite arithmétique (ou progression arithmétique), on retrouve une différence commune (parfois appelée raison). Il s'agit du nombre qu'il faut ajouter à un terme de la suite pour obtenir le suivant. Par exemple, la séquence 2, 5, 8, 11,

14, ... est une suite arithmétique. La différence commune est . On obtient

3dZ

P.2 - Math B30 - Suites et séries

facilement la différence en soustrayant deux termes consécutifs d'une suite arithmétique. Dans une suite géométrique (progression géométrique), chaque terme, à l'exception du premier, est obtenu en multipliant le terme précédent par une valeur constante. Au lieu de parler d'une différence commune comme dans le cas d'une suite arithmétique, on parle plutôt d'un rapport commun (ou raison). Par exemple, la suite 64, 32, 16, 8, 4,... est une suite géométrique dont le rapport .On obtient facilement le rapport d'une suite géométrique en 1 2rZ calculant le quotient entre deux termes consécutifs.

1.3 Comment trouver un terme dans une suite arithmétique ?

La définition d'une suite arithmétique de la section précédente nous permet deux constations qui sont résumées dans l'encadré suivant. La formule suivante, qu'on nomme aussi terme général, permet de trouver un terme quelconque dans une suite arithmétique : E 1 n tan dZH J est le terme à trouver n t est le premier terme de la suite a est la position du terme dans la suite n est la différence commune ou la raison d Constatations au sujet des suites arithmétiques

1. Un terme quelconque d'une suite arithmétique se trouve en ajoutant la

différence commune au terme précédent.

2. La différence commune d'une suite arithmétique se trouve en faisant la

différence entre un terme quelconque et le terme précédent.

P.3 - Math B30 - Suites et séries

Exemple 1 : Trouve le 20

e terme de la suite 3, 7, 11, 15, ...

Solution est le terme à trouver

n t 3aZ 20nZ 4dZ EF1 n tan dZH J E 20

3201479tZH J Z

Exemple 2 : Trouve le premier terme d'une suite arithmétique pour laquelle et le 14 e terme est -41.3dZJ

Solution

E1 n tan dZH J

E41 14 1 3aJZH J J

41 39aJZHJ

2aJZ

Le premier terme est donc -2.

Les termes situés entre deux termes non consécutifs d'une suite arithmétique sont nommés moyens arithmétiques. Par exemple, les moyens arithmétiques situés entre 2 et 14 dans la suite 2, 5, 8, 11, 14,... sont 5, 8 et 11. Lorsqu'on cherche un seul terme situé entre deux termes non consécutifs, on parle alors d'une moyenne arithmétique. Il est assez facile de trouver une moyenne arithmétique : , où et

2prqHZ

,pq sont des termes consécutifs dans une suite arithmétique. Par exemple, dansr la suite 2, 5, 8, 11, 14,..., on pourrait obtenir la moyenne entre 5 et 11 en calculant .

51182HZ

P.4 - Math B30 - Suites et séries

Exemple 3 : Trouve les 5 moyens arithmétiques entre 3 et 21. Solution Commençons par une représentation de la suite:

3,,,,,,21

, et 3aZ 7

21tZ7nZ

Trouvons d à l'aide des informations fournies et de la formule du terme général: E1 n tan dZH J

21 3 6dZH

18 6dZ

3dZ Exemple 4 : Trouve la moyenne arithmétique entre 9 et 25.

Solution

2prqHZ

925172qHZZ

Exemple 5 : Trouve le premier terme d'une suite arithmétique dont le quatrième terme est 3 et le septième terme est 15.

Solution

,,,3,,,15

Puisque alors

4

3aZ33adZH

et alors 7

15aZ15 6adZH

Nous avons alors un système d'équations linéaires à 2 variables. La résolution de ce système nous permettra de trouver le premier terme. EF 15 6 33
12 3 4ad ad d ou dZH JZH Z Z

P.5 - Math B30 - Suites et séries

En substituant dans la seconde équation, nous trouvons que: EF 64 15
9a aHZ Z

Le premier terme de la suite est donc 9.

Nos connaissances des suites arithmétiques nous permettent de résoudre des problèmes de la vie courante comme en témoigne l'exemple suivant. Exemple 6 : Marc, un étudiant de l'Université de Saskatoon, reçoit un salaire de

12500 $ pendant sa première année de travail pour un emploi à

temps partiel. Il recevra une augmentation de 700 $ au début de sa deuxième année et au début de chaque année subséquente.

Quel sera son salaire à la fin de la 8

e année s'il conserve cet emploi après ses études universitaires ? Solution Les salaires forment une suite arithmétique dont les premiers termes sont:

12500,13200,13900,...

12500aZ

700dZ
8nZ E1 n tan dZH J E 8

12500 7 700 17400$tZH Z

Marc recevra donc 17400 $ à la fin de la 8

e année de travail.

P.6 - Math B30 - Suites et séries

Exercice 1

2. Trouve les 4 premiers termes des suites arithmétiques dont nous connaissons le

premier terme et la différence commune. a)

2; 7adZZ

b)20; 6adZZ c)8; 2adZJ ZJ d)

0,5; 0,3adZZJ

e)2; 1amdmZZJ f)1,02; 0,02adZZJ

2. Détermine lesquelles des suites suivantes sont arithmétiques. Donne la valeur de d

des suites qui le sont. a) 5, 7, 9, 11, ... b) 1, 4, 9, ... c) 7, 2, -3, ... d) 2, 4, 8, 16, ...e) 15, 17, 20, 22, ... f) -10, 5, 20, ... g) -5, -1, 3, 7, ... h) 2, 1,5, 1, 0,5, ...

3. Dans chacune des suites arithmétiques suivantes trouve d et le prochain terme.

a) 4, 7, 10, 13, ... b) 15, 11, 7, 3, ... c) 1, -1, -3, -5, ... d) -5, -2, 1, 4, ... e)

574,1, , ,...663

f)

11 5 1, , , ,...43122

g)a, a+2b, a+4b h)3x-2, 3x-5, 3x-8, ...

4. Trouve le ne terme de chaque suite arithmétique dont on donne les valeurs a, d et n.

a)

17; ; 223ad nZZZ

b)3; 3; 14adnZZZ c)

110; ; 312adnZJ Z Z

d)3; 3; 8adnZJ ZJ Z e)0; 0,5; 101ad nZZJ Z f)3; 2; 11ad nZZJZ g)2; 5; 12aid inZZJZ h)

35;;1344ad nZZJZ

P.7 - Math B30 - Suites et séries

5. Trouve le terme spécifié pour chacune des suites arithmétiques suivantes.

a) 12 ; 17, 13, 9,...tJJJ b) 20 ;10,7,4,...t c) 45

11;3,3 ,3 ,...42t

d) 99

1; 5, 3 , 2,...2tJJ J

e) 10 ;8,3, 2,...tJ f) 20 ; 4, 7,10,...t g) 12

339;,,,...424t

h) 10

573;,,,...662t

i) 8quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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