[PDF] Suites numériques - Lycée dAdultes

View - Download Suites numériques - Lycée dAdultes

Previous PDF

Next PDF

1

Suites numériques

Table des matières

1 Suite numérique

2

1.1 Définition

2

1.2 Définir une suite

2

1.2.1 De façon explicite

2

1.2.2 Par récurrence

3

1.3 Variation d"une suite

3

2 Suite arithmétique

5

2.1 Définition

5

2.2 Comment reconnaît-on une suite arithmétique?

5

2.3 Expression du terme général en fonction de n

6

2.4 Somme des premiers termes d"une suite arithmétique

7

2.4.1 Somme des n premiers naturels

7

2.4.2 Somme des n+1 premiers termes

7

2.4.3 Somme des n-p+1 premiers termes

8

2.4.4 Conclusion

8

3 Suite géométrique

10

3.1 Définition

10

3.2 Comment reconnaît-on une suite géométrique?

10

3.3 Expression du terme général en fonction de n

11

3.4 Somme des premiers termes d"une suite géométrique

12

3.4.1 Somme des n+1 premières puissances de q

12

3.4.2 Somme des n+1 premiers termes

13

3.4.3 Somme des n-p+1 premiers termes

13

3.4.4 Conclusion

14

3.5 Suite arithmético-géométrique

14

4 Convergence d"une suite

15

4.1 Définition

15

4.2 Théorèmes sur les limites

15

4.3 Théorème des gendarmes

17

4.4 Limite d"une suite géométrique

18

4.4.1 Notion de limite infinie

18

4.4.2 Convergence d"une suite géoùétrique

18

4.4.3 Limite de la somme des termes

18 PAUL MILAN30 décembre 2010 PREMIÈRES

21 SUITE NUMÉRIQUE1Suitenumérique

1.1Définition

Définition 1 :Une suite numérique(un)n2Nest une succession de nombres réels ordonnés. A un rang donnén, on associe un nombre réelun. (un):N!R n7!un u

nest appelé le terme général de la suite(un).Exemple :Soit la suite(un)dont les premiers termes sont :

1, 4, 7, 11, 15, 19, ...

On peut alors associer :

u

0=1,u1=4,u2=7,u3=11,u4=15,u5=19, ...

1.2Définirunesuite

1.2.1Defaçonexplicite

Définition 2 :Une suite(un)est définie de façon explicite si le terme généraluns"exprime en fonction den. u n=f(n)8n2NExemples : Soit la suite(un)telle que :un=3n+5. Par exemple : u

10=310+5=35

Soit la suite(vn)telle que :vn=2n1n+1. Par exemple : v

5=2515+1=96

=32

PAUL MILAN30 décembre 2010 PREMIÈRES

1.3 VARIATION D"UNE SUITE31.2.2Parrécurrence

Définition 3 :Lorsque le terme généralundépend du ou des terme(s) précédent(s), on définit alors la suite par une relation de récurrence et d"un ou des premier(s) terme(s). La suite est dite récurrente à un terme siunne dépend que du terme précé- dent. Cette suite est alors définie par : u

0etun+1=f(un)

La suite est dite récurrente à deux termes siundépend des deux termes qui le précèdent. Cette suite est alors définie par : u

0,u1etun+2=f(un,un+1)

La fonctionfainsi définie s"appelle lafonction associéeà la suite(un)Exemples : êOn donne la suite(un)définie par :u0=2 etun+1=3un2. Déterminer u

1,u2,u3,u4.

u

1=3u02=322=4

u

2=3u12=342=10

u

3=3u22=3102=28

u

4=3u32=3282=82

êOn donne la suite(vn)définie par :v0=2,v1=1 etvn+2=vn+1+vn.

Déterminerv2,v3,v4,v5.

v

2=v1+v0=1+2=3

v

3=v2+v1=3+1=4

v

4=v3+v2=4+3=7

v

5=v4+v3=7+4=11

1.3Variationd"unesuite

Définition 4 :On dit qu"une suite est strictement croissante si :

8n2N,un+1>un

On dit qu"une suite est strictement décroissante si :

8n2N,un+1

Si une suite est soit croissante, soit décroissante, la suite est dite monotone.PAUL MILAN30 décembre 2010 PREMIÈRES

41 SUITE NUMÉRIQUEDans la pratique pour déterminer la variation d"une suite, on déterminera le

signe deun+1un. Si cette différence est positive, pour toutn, la suite sera croissante. Si la diffé- rence est négative pour toutn, la suite sera décroissante. Lorsque tous les termes de la suite sont positifs, on peut aussi calculer le rap- portun+1u n. Si ce rapport est supérieur à 1 pour toutn, la suite sera croissante. Si le rapport est inférieur à 1 pour toutn, la suite sera décroissante.

Exemples :

êMontrer que la suite définie par :un=3n2n+1est croissante.

Calculons alors :

u n+1un=3(n+1)2(n+1) +13n2n+1

3n+1n+23n2n+1

(3n+1)(n+1)(3n2)(n+2)(n+2)(n+1)

3n2+3n+n+13n26n+2n+4(n+2)(n+1)

5(n+2)(n+1)

Comme8n2N5(n+2)(n+1)>0 , la suite(un)est croissante.

êMontrer que la suite définie par :vn=23n3

2nest décroissante.

Tous les termes de la suite sont positifs, calculons alors : v n+1v n=2

3(n+1)3

2(n+1)2

3n3 2n

23n+33

2n+232n2

3n

2323n3

232n32n2

3n 233
2 89

PAUL MILAN30 décembre 2010 PREMIÈRES

5

Comme8n2N89

<1 , la suite(vn)est décroissante.

2Suitearithmétique

2.1Définition

Définition 5 :Une suite arithmétique(un)est définie par :

êun premier termeu0ouup

êune relation de récurrence :un+1=un+r

rétant la raison de la suiteUne suite arithmétique est donc définie par 2 termes : son premier terme et sa

raison. Exemple :Soit la suite(un)définie paru0=2 etr=5.

Détermineru1,u2,u3,u4.

u

1=u0+r=2+5=7

u

2=u1+r=7+5=12

u

3=u2+r=12+5=17

u

4=u3+r=17+5=22

Propriété 1 :Une suite est arithmérique lorsque la différence entre deux termes consécutifs est constante. On a alors :

8n2N,un+1un=rExemple :Montrer que la suite définie par :un=2n+3 est arithmétique.

On calcule la différence entre deux termes consécutifs quelconques : u n+1un=2(n+1) +3(2n+3) =2n+2+32n3 =2

Donc8n2N,un+1un=2.

Lasuite(un)estunesuitearithmétiquederaison2etdepremiertermeu0=3.PAUL MILAN30 décembre 2010 PREMIÈRES

62 SUITE ARITHMÉTIQUE2.3Expressiondutermegénéralenfonctionden

1)

La suite commence à u0.

On peut écrire les égalités suivantes à l"aide de la relation de récurrence : u

1=u0+r

u

2=u1+r

u

3=u2+r

u n1=un2+r u n=un1+r9 >>>>>>>>;ntermesu n=u0+nr Il ne reste plus que le premier termeu0et le dernierun. 2)

La suite commence à up.

On écrit les relations deup+1àun. On obtient alorsnptermes, d"où la rela- tion : u n=up+ (np)r Conclusion :Propriété 2 :Le terme généralund"une suite arithmétique s"exprime en fonction dende la façon suivante :

êSi le premier terme estu0, alors :un=u0+nr

êSi le premier terme estup, alors :un=up+ (np)rApplication :Soit une suite(un)arithmétique de raisonr. On donne :u17=

24 etu40=70. Trouver la raisonret le premier termeu0.

1)

On exprime u40en fonction deu17, on a alors :

uquotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

[PDF] Les suites numériques, bloquage

[PDF] les suites par récurrence

[PDF] Les suites partie Géométrique

[PDF] les suites pdf

[PDF] les suites première sti2d

[PDF] les suites récurrentes

[PDF] les suites récurrentes Ts

[PDF] les suites sont elles géométriques

[PDF] Les suites terminales

[PDF] Les suites, besoin d'aide!

[PDF] Les suites, démonstration par récurrence

[PDF] Les suites: arithmétiques, géométrique

[PDF] les sujet de bac 2017

[PDF] les sujets du bac sont ils tirés au sort

[PDF] Les sujets possibles sur L'Allemagne Nazie