[PDF] Fonctions spéciales Cours de master 1 4M004 Université Pierre et

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Fonctions spéciales

Cours de master 1, 4M004

Université Pierre et Marie Curie

Nicolas Lerner

nicolas.lerner@imj-prg.fr

25 novembre 2015

2

Table des matières

1 Introduction

7

1.1 Les fonctions classiques

7

1.2 Fonctions holomorphes

13

1.3 Le logarithme complexe

17

2 La fonction Gamma

21

2.1 Définition, premières propriétés

21

2.2 La fonctionsur la droite réelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3 Dessins

27

3 La méthode d"Euler-Maclaurin

29

3.1 La série harmonique

29

3.2 Polynômes de Bernoulli

3 2

3.3 Formule d"Euler-Maclaurin

36

4 Développements eulériens

39

4.1 Produits infinis

39

4.2 Développements eulériens pourcotan;sin:. . . . . . . . . . . . . . . .42

4.3 Formules de Gauss et de Weierstrass

46

5 La fonction Zeta de Riemann

55

5.1 Introduction

55

5.2 Nombres de Bernoulli et valeurs de(2n). . . . . . . . . . . . . . . .59

5.3 Estimation du reste d"Euler-Maclaurin

61

6 Le théorème des nombres premiers

65

6.1 Prolongement de la fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65

6.2 Le théorème des nombres premiers

68

6.3 L"hypothèse de Riemann

78

7 Équation fonctionnelle de la fonction Zeta

81

7.1 La formule de Stirling

81

7.2 Développement de Stirling

84

7.3 Équation fonctionnelle de la fonction Zeta

91
3

4TABLE DES MATIÈRES

8 Fonctions de Bessel

101

8.1 Introduction

101

8.2 Équation différentielle de Bessel

109

8.3 Utilisation des fonctions de Bessel

127

9 Fonctions d"Airy

135

9.1 L"équation d"Airy

135

9.2 Développements asymptotiques

143

9.3 Dessins

148

10 Oscillateur harmonique, fonctions d"Hermite

153

10.1 Polynômes d"Hermite

1 53

10.2 Fonctions d"Hermite

159

10.3 Oscillateur harmonique

162

11 Appendice

171

11.1 Arithmétique élémentaire

171

11.2 Sous-groupes additifs deR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .176

11.3 Fonctions holomorphes

176

11.4 Analyse de Fourier

1 94

11.5 Coordonnées polaires, cylindriques, sphériques

2 17

11.6 La fonctionerf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .227

Préface

Le mathématicien Leonhard Euler considérait qu"une fonction devait être défi- nie par une formule "explicite". Le but de ce cours est de passer en revue une liste conséquente de fonctions définies par des formules ... explicites. C"est le cas de la fonction exponentielle, des déterminations du logarithme complexe, de la fonction Gamma d"Euler, de la fonction Zeta de Riemann et de bien d"autres exemples. Nous rappellerons des propriétés classiques des fonctions holomorphes et introduirons des méthodes d"analyse comme la méthode d"Euler-MacLaurin pour décrire en détail les propriétés de ces fonctions spéciales. Les liens de la fonction Zeta avec la théo- rie des nombres et la distribution des nombres premiers sont bien connus et nous démontrerons le théorème d"Hadamard & de La Vallée Poussin. Beaucoup de ces fonctions spéciales sont liées à des questions de physique mathématique et jouent

un rôle important pour fournir des solutions modèles à des équations différentielles :

c"est le cas notamment des fonctions d"Airy, de Bessel, d"Hermite et de Legendre. L"un des objectifs de ce cours est de fournir une liste importante d"exemples signifi- catifs de fonctions méromorphes reliées à divers problèmes mathématiques (théorie des nombres, analyse, équations différentielles, physique mathématique). Ce cours peut également être utile aux agrégatifs. Prérequis :Notions de base de calcul différentiel et intégral, notions sur les fonctions holomorphes (des rappels seront faits). Thèmes abordés :Théorie élémentaire des fonctions holomorphes et méro- morphes d"une variable complexe. Développements eulériens (produits infinis, fonc- tion cotan, sin, Gamma). Méthode d"Euler-MacLaurin. Fonction Zeta de Riemann, théorème des nombres premiers. Fonctions de Bessel, fonctions d"Airy. 5

6TABLE DES MATIÈRES

Chapitre 1

Introduction

1.1 Les fonctions classiques

La fonction exponentielle

Pourz2C, on pose

e z=X k0z kk!:(1.1.1) Cette série entière possède un rayon de convergence infini car sikN0+ 12; k! =k(k1):::(N0+ 1)N0!N0!(N0+ 1)kN0; ce qui implique(k!)1=k(N0!)1=k(N0+1)1+N0k !(N0+1)1lorsquektend vers +1et par conséquentlimk!+1(k!)1=k= 0:La fonctionexponentiellequi àz2C associeezest donc une fonction entière (i.e. holomorphe surC). On a en outre pour z

1;z22C,

e z1+z2=ez1ez2;(1.1.2) car pourN2N, posanteN(z) =P

0kNzkk!, il vient

e

2N(z1+z2) =X

0k2N(z1+z2)kk!=X

0k1+k22Nz

k11k 1!z k22k 2! X 0k1Nz k11k 1! X 0k2Nz k22k 2!+X k

1+k22N

max(k1;k2)>Nz k11k 1!z k22k 2! |{z} r

N(z1;z2):

On remarque que

jrN(z1;z2)j X k 1>NX k

20jz1jk1k

1!jz2jk2k

2!+X k 2>NX k

10jz1jk1k

1!jz2jk2k

2! =ejz2jX k

1>Njz1jk1k

1!+ejz1jX

k

2>Njz2jk1k

2!; 7

8CHAPITRE 1. INTRODUCTION

et par conséquentlimN!+1rN(z1;z2) = 0. On obtient finalement e z1+z2= limNe2N(z1+z2) = limNeN(z1)eN(z2) +rN(z1;z2) = lim

NeN(z1)eN(z2)=ez1ez2;

soit ( 1.1.2 N.B.Le théorème suivant est sans doute très familier au lecteur, qui pourrait le considérer comme "évident", ce que nous ne contestons pas. Néanmoins, nous sou- haitons ici attirer l"attention sur le fait qu"une définition rigoureuse et sans circularité du nombreet des fonctions trigonométriques usuelles requiert un certain effort, essentiellement résumé dans les démonstrations qui suivent.

Théorème 1.1.1.

(1)La fonction exponentielle, définie par(1.1.1)est une fonction entière surC, à valeurs dansC, qui vérifieddz (ez) =ez: (2)L"applicationR3t7!eit2S1=fz2C;jzj= 1gest un homomorphisme surjectif de groupe, et

8w2C;9z2C; w=ez:

(3)Il existe un unique nombre positif appelétel que e i=2=i;etez= 1()z22iZ: (4)La fonction exponentielle restreinte àRest une fonction convexe strictement croissante, lim x!1ex= 0; e0= 1;et pour tout entiern2N,limx!+1exxn= +1: Démonstration.Pour obtenir(1), on remarque queezez=e0= 1et que la dériva- tion pour les séries entières fournit l"équation différentielle. (2)On remarque queez=e z;ce qui implique pourt2Rquee it=eit, ce qui donne jeitj2=e iteit=eit+it= 1; en outre pourt;s2R, on a e iteis=ei(t+s):(1.1.3) Considérons les fonctions entières définies pourz2Cpar cosz=eiz+eiz2 ;sinz=eizeiz2i;(1.1.4) coshz=ez+ez2 = cos(iz);sinhz=ezez2 =isin(iz):(1.1.5) On obtient facilementsin0= cos;cos0=sinet pourz2C, cosz=X k0(1)kz2k(2k)!;sinz=X k0(1)kz2k+1(2k+ 1)!:(1.1.6)

1.1. LES FONCTIONS CLASSIQUES9

Par conséquent pourt2R, il vient

lim N!+1X

0k2N+1(1)kt2k(2k)!

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