LES SUITES PDF un est appelé le terme

SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES

Si le premier terme est égal à 3 les premiers termes successifs sont : u0 = 3

SUITES NUMERIQUES I) Définition dune suite II) Sens de variation

Définition : Lorsqu'une suite est définie par son premier terme et par une relation qui permet de calculer tous les termes successifs de proche en proche on

Formules concernant les suites arithmétiques et les suites

terme est u12 si le premier terme est noté u1. 5°) Formule permettant de calculer la somme des n premiers termes d'une suite arithmétique : a) S = nombre

SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES

Si le premier terme est égal à 3 les premiers termes successifs sont : u0 = 3

Partie 1 : Expression du terme général dune suite arithmétique

On considère la liste des trois nombres suivants : –2 5 et 12. Dans cet ordre

Suites numériques 1 Calcul des termes dune suite numérique

S'il n'est pas difficile de travailler avec les suites sous Maple il conviendra avant tout de comprendre comment sont donnés les termes de la suite. 1.1 Suite

LES SUITES

un est appelé le terme général de la suite (un). Les premiers termes de la suite n'entrent pas forcément en compte dans la variation d'une suite. Ils.

TP 6 : Calcul des termes dune suite

TP 6 : Calcul des termes d'une suite. I. Introduction à la boucle for. On considère le programme suivant. 1 n = input("Entrer la valeur d''un entier : ").

Partie 1 : Expression du terme général dune suite géométrique

Dans cet ordre ces nombres peuvent-ils être les termes consécutifs d'une suite géométrique ? Pour y répondre

Calculer les termes dune suite

Donner l'expression d'une suite. ( un. ) dont les six pre- miers termes sont les valeurs affichées par l'algorithme. Correction 1. 1. Voici synthétisé ci-

HAPITRE

LES SUITES

1.1Généralités sur les suitesDénition 1.1.1

Une suite(u

n )est une fonction définie de?dans?.Onnote(u n n?-→u n ?u n est appelé le terme général de la suite(u n ?Attention donc à bien faire la différence entre(u n )(la suite) etu n (un seul terme). ?On pourra noter indifféremment(u n )ou tout simplementu. ?Variations, monotonie d"une suiteDénition 1.1.2

Soit(u

n )une suite. On dit que : a)la suite(u n )estcroissantesi pour toutn??:u n ?u n+1 b)la suite(u n )estdécroissantesi pour toutn??:u n ?u n+1 c)la suite(u n )estmonotonesi elle est croissante ou décroissante; d)la suite(u n )estconstantesi pour toutn??:u n+1 =u n ?Il existe des suites qui ne sont ni croissantes, ni décroissantes :u n =(-1) n

?Les premiers termes de la suite n"entrent pas forcément en compte dans la variation d"une suite. Ils

peuvent cependant donner une indication sur la monotonie de la suite.

CHAPITRE11

1 ?Méthodes de détermination du sens de variation d"une suite

MÉTHODE1. ... SENS DE VARIATION DUNE SUITE

Pour déterminer le sens de variation d"une suite(u n ), on peut utiliser l"une des règles suivantes : a)On étudie le signe de la différenceu n+1 -u n ?Siu n+1 -u n est positive, alors la suite(u n )est croissante. ?Siu n+1 -u n est négative, alors la suite(u n )est décroissante. b)Si tous les termes de la suite sont strictement positifs, alors il suffit de comparer le rapportu n+1 u n

à1.

?Siu n+1 u n ?1, alors la suite(u n )est croissante. ?Siu n+1 u n ?1, alors la suite(u n )est décroissante. c)Si la suite(u n )est définie explicitement :u n =f(n), alors il suffit d"étudier les variations de la fonction fsur l"intervalle0;+∞.Lasuite(u n )et la fonctionfont le même sens de variation. d)On utilise un raisonnement par récurrence (voirsection 2).

Il est bien évident que chacune de ces méthodes est adaptée au type de suite à laquelle nous serons

confrontés.

Exemple

Déterminer le sens de variation des suites suivantes en utilisant la règle la mieux adaptée.

a)Pour toutn??,u n =n 2 -n. b)Pour toutn?? ,u n =2 n n. c)Pour toutn?2,u n =2n-1 n+1. a)Pour toutn??, u n+1 -u n =(n+1) 2 -(n+1)-(n 2 -n)=2n?0.

Par conséquent, la suite(u

n )est croissante. b)Ici on étudie le rapportu n+1 u n . Pour toutn?1 u n+1 u n =2 n+1 n+1 2 n n= 2 n+1 n+1×n2 n =2n n+1=n+nn+1?1.

Ainsi, la suite(u

n )est croissante. c)On au n =f(n)oùf(x)=2x-1 x+1.Lafonctionfest dérivable sur0;+∞et pour toutx?0,

2LES SUITES

Chapitre 1

f (x)=3 (x+1) 2 >0. La fonctionfest donc strictement croissante sur0;+∞. On déduit que la suite(u n )est aussi strictement croissante. ?Suite arithmétique

Dénition 1.1.3

Une suite(u

n n?? est arithmétique s"il existe un réelrindépendant dentel que, pour toutn??, u n+1 =u n +r

Le nombrerest appelé la raison de la suite(u

Exemple 1

La suite(u

n )définie par :u 0 =2etu n+1 =u n +3(n??) est arithmétique. Ici la raison estr=3. MÉTHODE2. - DÉMONTRER QU"UNE SUITE EST ARITHMÉTIQUE

Une suite(u

)est arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs est constante. Cette constante

est alors la raison de la suite.

Ainsi, si pour toutn??,u

n+1 -u n =r, alors la suite(u n )est arithmétique de raisonr.

Exemple

Soit(u

n )la suite définie pour toutn??par :u n =4n-1. Montrer que(u n )est arithmétique.

Pour toutn??:

u n+1 -u n =4(n+1)-1-4n+1=4.

Par conséquent, la suite(u

n )est bien arithmétique de raisonr=4.

Propriété 1.1.4

A)Expression du terme général en fonction den: ?si le premier terme estu 0 ,alors:u n =u 0 +nr; ?si le premier terme estu p (pB)Somme des premiers termes:siSdésigne la somme de termes consécutifs d"une suite arithmétique,

alors :

S=(Nombre de termes)×

1 er terme+dernier terme 2

CHAPITRE13

Les suites

?Suite géométrique

Dénition 1.1.5

Une suite(u

n n?? est géométrique s"il existe un réelqindépendant dentel que, pour toutn??, u n+1 =q.u n

Exemple 2

a)La suite(u n )définie par :u 0 =2etu n+1 =3u n pour toutn??.

Ici la raison estq=3.

b)La suite(v n )définie par :v 0 =-3etv n+1 =v n

4pour toutn??.

La suite(v

n )est-elle géométrique? MÉTHODE3. - DÉMONTRER QU"UNE SUITE EST GÉOMÉTRIQUE

Pour justifier qu"une suite(u

n )est géométrique, il suffit d"utiliser la définition suivante.

Une suite(u

n )est géométrique si l"on peut écrireu n+1 sous la forme :u n+1 =qu n . Le nombre réelqest alors la raison de la suite géométrique(u n

Exemple

Soit(u

n )la suite définie pour toutn??par :u n =3 2 n .Montrerque(u n )est géométrique. On précisera le premier terme et la raison.

Pour toutn??,

u n+1 =3 2 n+1 =1

2×32

n =1 2u n

Par conséquent, la suite(u

n )est bien géométrique de raisonq=1 2. Une autre méthode (reposant aussi sur la définition) consiste à prouver que le rapportu n+1 u n est constant, mais il faut s"assurer que les termesu n ne s"annulent pas.

4LES SUITES

Chapitre 1

Propriété 1.1.6

Si(u n )est une suite géométrique de raisonq: A)Expression du terme général en fonction den: ?si le premier terme estu 0 ,alors:u n =u 0 q n ?si le premier terme estu p (pB)Somme des premiers termes: si

Sdésigne la somme de termes consécutifs d"une suite géométrique de raisonq(q?=1), alors :

S=(1 er terme)×1-q nombre de termes 1-q

1.2Le raisonnement par récurrence

?Introduction et intérêt du raisonnement par récurrence

Exemple

Soit la suite(u

n )définie par : (u n ):"u 0 =0 u n+1 =2u n +1

En calculant les premiers termes de la suite, on peut donc émettre une conjecture quant à la forme

du terme généralu n

On a :u

1 =1;u 2 =3;u 3 =7. Il semble que pour toutn??:u n =2 n -1. Pour confirmer une telle conjecture, il nous faut la démontrer.

Pour toutn??, notons

P n la propriété : P n :u n =2 n -1. a)On démontre que P 0 est vraie; on a d"une part u 0 =0 (définition) et d"autre part 2quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

[PDF] LES SUITES un est appelé le terme

HAPITRE

LES SUITES

1.1Généralités sur les suitesDénition 1.1.1

Une suite(u

Soit(u

CHAPITRE11

MÉTHODE1. ... SENS DE VARIATION DUNE SUITE

à1.

Exemple

Par conséquent, la suite(u

Ainsi, la suite(u

2LES SUITES

Chapitre 1

Dénition 1.1.3

Une suite(u

Le nombrerest appelé la raison de la suite(u

Exemple 1

La suite(u

Une suite(u

Ainsi, si pour toutn??,u

Exemple

Soit(u

Pour toutn??:

Par conséquent, la suite(u

Propriété 1.1.4

S=(Nombre de termes)×

CHAPITRE13

Les suites

Dénition 1.1.5

Une suite(u

Exemple 2

Ici la raison estq=3.

4pour toutn??.

La suite(v

Pour justifier qu"une suite(u

Une suite(u

Exemple

Soit(u

Pour toutn??,

2×32

Par conséquent, la suite(u

4LES SUITES

Chapitre 1

Propriété 1.1.6

1.2Le raisonnement par récurrence

Exemple

Soit la suite(u

On a :u

Pour toutn??, notons

1.1Généralités sur les suitesDénition 1.1.1

MÉTHODE1. ... SENS DE VARIATION DUNE SUITE

Dénition 1.1.3

Dénition 1.1.5