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DERNIÈRE IMPRESSION LE31 mars 2015 à 14:11
Lois de probabilité à densité
Loi normale
Table des matières
1 Lois à densité2
1.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Densité de probabilité et espérance mathématique. . . . . . . . . . 2
1.3 Loi uniforme : densité homogène. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.2 Espérance mathématique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.3 Application : méthode de Monte-Carlo. . . . . . . . . . . . 4
1.4 Loi exponentielle : loi sans mémoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.2 Loi sans mémoire ou sans vieillissement. . . . . . . . . . . . 6
1.4.3 Espérance mathématique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.4 Un exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.5 Application à la physique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Lien entre le discret et le continu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 La loi normale9
2.1 Du discret au continu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 La loi normale centrée réduite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.1 La densité de probabilité de Laplace-Gauss. . . . . . . . . . 9
2.2.2 Loi normale centrée réduite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.3 Calcul de probabilités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.4 Espérance et variance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.5 Probabilité d"intervalle centré en 0. . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Loi normale générale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.1 Loi normale d"espéranceμet d"écart typeσ. . . . . . . . . 13
2.3.2 Influence de l"écart type. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.3 Approximation normale d"une loi binomiale. . . . . . . . . 15
2.3.4 Théorème Central-Limit (hors programme). . . . . . . . . . 17
PAULMILAN1 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
1 Lois à densité
1.1 Introduction
Lorsque l"on s"intéresse à la durée d"une communication téléphonique, à la durée
de vie d"un composant électronique ou à la température de l"eau d"un lac, la va- riablealéatoireXassociée au temps ou à la température, peut prendre une infinité de valeurs dans un intervalle donné. On dit alors que cette variableX est continue (qui s"oppose à discrète comme c"est le cas par exemple dans la loi binomiale). On ne peut plus parler de probabilité d"événements car les événements élémen- On contourne cette difficulté en associant à la variable X un intervalle deRet en définissant une densité de probabilité.1.2 Densité de probabilité et espérance mathématique
Définition 1 :On appelledensité de probabilitéd"une variable aléatoire continue X, toute fonctionfcontinue et positive sur un intervalle I ([a;b],[a;+∞[ ouR) telle que :P(X?I) =?
(I)f(t)dt=1 Pour tout intervalle J= [α,β]inclus dans I, on a :P(X?J) =?αf(t)dt
D"autre part la fonctionFdéfinie par :F(x) =P(X?x)est appelée lafonction de répartitionde la variableXF(x) =?
x af(t)dtou lima→-∞? x af(t)dtRemarque :
Comme la fonctionfest continue et
positive, la probabilitéP(X?I)cor- respond à l"aire sous la courbeCf.Elle vaut alors 1 u.a.
La probabilitéP(X?J), avec J=
[α;β], correspond à l"aire du domaine délimité parCf, l"axe des abscisse et les droites d"équationx=αety=β. 1P(X?J)P(X?I)
1 u.a.
Cf βO Comme la probabilité que X prenneune valeur isolée est nulle,que l"in- tervalle J soit ouvert ou fermé im- porte peu. Ainsi :P(X?[α,β]) =P(X?[α,β[)
=P(X?]α,β]) =P(X?]α,β[) 1 F(x)C f x OPAULMILAN2 TERMINALES
1. LOIS À DENSITÉ
L"écriture(X?I)est une notation abusive carXn"est pas un nombre, mais la fonction qui associe une issue à un nombre. Elle prolonge la notation déjà utilisée pour des variables discrètes(X=a) Définition 2 :L"espérance mathématique d"une variable aléatoire continue X, de densitéfsur I, est :E(X) =?
(I)t f(t)dt1.3 Loi uniforme : densité homogène
1.3.1 Définition
Définition 3 :Une variable aléatoire X suit une loi uniforme dans l"intervalle I= [a,b], aveca?=b, lorsque la densitéfest constante sur cet intervalle. On en déduit alors la fonctionf: f(t) =1 b-a ConséquencePour tout intervalle J= [α,β]inclus dans I, on a alors :P(X?J) =β-α
b-a=longueur de Jlongueur de ILa probabilité est donc proportionnelle
à la longueur de l"intervalle considéré.
1 b-a aαβbP(X?J) O1 u.a.
Exemple :Onchoisitunnombreréelauhasarddansl"intervalle[0;5].Onassocie àXle nombre choisi. Quelle est la probabilité que ce nombre soit supérieur à 4? compris entreeetπ?quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2[PDF] recherche expérimentale définition
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