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Exercice 1

1.Pour quelles valeurs dexles expressions suivantes ont-elles un sens?(a)ln(x-1) + ln(x+ 1)

(Rappel :lnΔexiste?Δ>0) Pour que l"expression proposée soit définie, il faut et il suffit que les deux conditions suivantes soient réalisées : ?x+ 1>0 x-1>0

Ce qui équivaut àx >1etx >-1doncx >1

ln(x-1) + ln(x+ 1)est définie sur]1;+∞[.(b)ln ?1-xx+ 2? Selon le même principe que précédemment, il faut et il suffit que

1-xx+ 2soit strictement positive.

x-∞ -2 1 +∞Signe de1-x+ +0-Signe dex+ 2-0+ +Signe de

1-xx+ 2-?+0-

En conclusion, l"expression existe si, et seulement si,x?]-2;1[.2.Ecrire plus simplement les nombres suivants :

(a)e ln2+ lne3= 2 + 3 = 5(b)e

2+ln8=e2×eln8= 8e2(c)e

-ln3+e23 (Attention ici : on connait la formuleelna=a, mais il n"y a pas de formule concernante-lna) (Il n"y a aucune formule non plus concernantea+eb) e -ln3+e23 =eln13 +23
=13 +23
= 1Exercice 2 Résoudre : (Attention : dans toutes les équations et inéquations comportant des ln, il faut veiller à ce que les solutions potentielles soient dans le domaine de validité de l"équation.)1G.Gremillot •ln2x= ln(x2-1) En raison de la strictecroissance de la fonctionln: ln2x= ln(x2-1)?2x=x2-1?x2-2x-1 = 0

Δ = 8donne les solutions potentielles :

x

1=2-⎷8

2 = 1-⎷2etx2=2 +⎷8 2 = 1 +⎷2. x

1est à rejeter car elle est négative et doncln2x1n"existe pas.

x

2convient, vu que2x2>0etx22-1>0.

L"équation possède une seule solution qui est1 +⎷2.•ln2x≥ln(x2-1) Il faut2x >0etx2-1>0, soitx >0et (x?]- ∞;-1[oux?]1;+∞[), ce qui se résume àx?]1;+∞[qui est donc le domaine de validité de l"inéquation. Pour toutxsitué dans la domaine de validité de cette inéquation, et en raison de la croissancede la fonctionln, on a : ⎷2] On doit "cumuler" les deux conditionsx?]1;+∞[etx?[1-⎷2;1+ ⎷2]. Ainsi les solutions de l"inéquation sont les réels de]1,1 +⎷2].•e

2x+5= 5

(Ici, il n"y a aucun problème de validité puisque l"exponentielle est définie surR) e

2x+5= 5?ln(e2x+5) = ln5?2x+ 5 = ln5?x=ln5-52

Exercice 3

fest définie sur]0;+∞[parf(x) =x2-8x+ 8 + 6lnx Etudier les variations defet tracer sa courbe représentative. D f=]0;+∞[puisquefcontient unlnx. limx→0+f(x) =-∞carlimx→0+lnx=-∞. lim x→+∞f(x) = limx→+∞x2(1-8x +8x

2) + 6lnx= +∞carlimx→+∞lnx= +∞

fest dérivable sur son domaine de définition et : f ?(x) = 2x-8 +6x =2x2-8x+ 6x =2(x2-4x+ 3)x Les racines du trinômex2-4x+ 3sontx1= 1etx2= 3et ce trinôme est positif à l"extérieur des racines, négatif sinon :2G.Gremillot x0 1 3 +∞f ?(x)+0-0+1 +∞f(x)? fest la fonction définie surI=]0;+∞[par : f(x) =x+ 1-lnxx

1.Pourquoi la droitedd"équationy=x+ 1est-elle asymptote à la courbe

Creprésentative def?

On sait quelimx→+∞lnxx

= 0(Résultat du cours), alors : lim x→+∞[f(x)-(x+ 1)] = limx→+∞-lnxx = 03G.Gremillot ce qui implique que la droitedd"équationy=x+ 1est-elle asymptote à la courbeCquandx→+∞.2.Etudier les positions relatives deCetd. f(x)-(x+ 1) =-lnxx .xétant positif (d"après le domaine de définition

def), cette expression est du signe de-lnx, soit donc :-positive six?]0;1]auquel casCest au-dessus ded.-négative six≥1auquel casCest au dessous ded.4G.Gremillot

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