LES VECTEURS (Partie 1)
La tortue rose est l'image de la tortue verte par la translation de vecteur noté ÐÐÐÐÐ?. Page 2. 2 sur 7. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-
Espaces vectoriels de dimension finie 1 Base
Trouver les composantes du vecteur w = (11
Les vecteurs
Ces propriétés montrent que le calcul vectoriel est très voisin du calcul sur les nombres. 3- Applications. On dit que deux vecteurs sont colinéaires lorsqu'on
VECTEURS ET DROITES
( ) un vecteur directeur de D. Un point M(x ; y) appartient à la droite D si et seulement si les vecteurs AM ! "!!
VECTEURS ET REPÉRAGE
Le vecteur HHHHH? a pour coordonnées = ? . ? ?. Méthode : Déterminer les coordonnées d'un vecteur par calcul. Vidéo https://youtu.be/
Annexe B : Les vecteurs Scalaires et vecteurs
Dans le plan un vecteur U peut toujours se décomposer de façon unique en une somme de deux vecteurs
Points et vecteurs dans un repère Résumé de cours et méthodes
On exprime la relation vectorielle avec les coordonnées. • En utilisant que deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes abscisses et les
Vecteurs Résumé de cours et méthodes
Pour cela on exprime ces deux vecteurs en fonction des points de la figure de base
TRANSLATION ET VECTEURS
TRANSLATION ET VECTEURS. Activités de groupe : La Translation (Partie1) : http://www.maths-et-tiques.fr/telech/trans_gr1.pdf. La Translation (Partie2) :.
Valeurs propres vecteurs propres
? est dite valeur propre de la matrice A s'il existe un vecteur non nul X ? n tel que. AX = ?X. • Le vecteur X est alors appelé vecteur propre de A associé à
Valeurs propres,
vecteurs propresDans ce chapitre, nous allons définir et étudier les valeurs propres et les vecteurs propres d"une matrice.
Ce chapitre peut être vu comme un cours minimal pour comprendre la diagonalisation ou comme une introduction à la théorie de la réduction des endomorphismes.Notations.
Kest un corps. Dans les exemples de ce chapitre,KseraRouC. Les matrices seront des éléments deMn(K),
c"est-à-dire des matrices carrées, de taillenn, à coefficients dansK.1. Valeurs propres et vecteurs propres
1.1. Motivation
Voici deux transformations simples définies par une matrice : 1. h:x y 7!2 0 0 2 x y =2x 2yL"applicationhest une homothétie deR2(centrée à l"origine). SiDest une droite passant par l"origine,
alors elle est globalement invariante par cette transformation, c"est-à-dire siP2Dalorsh(P)2D(mais
on n"a pash(P) =P). On retient ici que n"importe quel vecteurxyest envoyé sur son double 2xy. 2. k:x y 7!2 0 0 3 x y =2x 3y L"applicationkn"est plus une homothétie. Cependant l"axe(Ox)est globalement invariant park; demême, l"axe(Oy)est globalement invariant. On retient qu"un vecteur du type(x0)est envoyé sur son
double 2(x0), alors qu"un vecteur du type0yest envoyé sur son triple 30y.Pour une matrice quelconque, il s"agit de voir comment on se ramène à ces situations géométriques simples.
C"est ce qui nous amène à la notion de vecteurs propres et valeurs propres.1.2. DéfinitionsDéfinition 1.
SoitA2Mn(K).
est ditevaleur proprede la matriceAs"il existe un vecteur non nulX2Kntel queAX=X.• Le vecteurXest alors appelévecteur propredeAassocié à la valeur propre. VALEURS PROPRES,VECTEURS PROPRES1. VALEURS PROPRES ET VECTEURS PROPRES21.3. Exemples
Exemple 1.
SoitA2M3(R)la matrice
A=0 @1 3 3 2 112 87 61A
Vérifions queX1=0
@1 0 11 A est vecteur propre deA.En effet,
AX 1=0 @1 3 3 2 112 87 61A0 @1 0 11 A =0 @2 0 21
A =20 @1 0 11 A =2X1. DoncX1est un vecteur propre deAassocié à la valeur propre1=2.
Vérifions queX2=0
@0 1 11 A est vecteur propre deA.On calculeAX2et on vérifie que :
AX2=13X2
DoncX2est un vecteur propre deAassocié à la valeur propre2=13.Vérifions que3=7 est valeur propre deA.
Il s"agit donc de trouver un vecteurX3=0
@x 1 x 2 x 31A tel queAX3=7X3. AX
3=7X3()0
@1 3 3 2 112 87 61A0 @x 1 x 2 x 31
A =70 @x 1 x 2 x 31
A 0 @x
1+3x2+3x3
2x1+11x22x3
8x17x2+6x31
A =0 @7x1 7x2 7x31 A 8 :6x1+3x2+3x3=02x1+4x22x3=0
8x17x2x3=0On résout ce système linéaire et on trouve comme ensemble de solutions :
¦ttt
jt2R© . Autrement dit, les solutions sont engendrées par le vecteurX3=0 @1 1 11 A On vient de calculer queAX3=7X3. AinsiX3est un vecteur propre deAassocié à la valeur propre 3=7.Exemple 2.
Soit A=0 1 1 1Le réel=1+p5
2 est une valeur propre deA. En effet : A1 =1 VALEURS PROPRES,VECTEURS PROPRES1. VALEURS PROPRES ET VECTEURS PROPRES3Exemple 3.
Soit A =0 @cossin0 sincos00 0 11
Ala matrice de la rotation de l"espace d"angleet d"axe(Oz). SoitX3=001
. AlorsAX3=X3. DoncX3est un vecteur propre deAet la valeur propre associée est 1.Exemple 4.
Soit A=0 1 11Le complexej=12
+ip3 2 =ei23 est une valeur propre deA. En effet : A1 j =j1 j1.4. Cas d"une matrice diagonale
Le cas idéal est celui d"une matrice diagonale. Il est en effet très facile de lui trouver des valeurs propres et
des vecteurs propres. C"est le but de la " diagonalisation » de se ramener à ce cas!Exemple 5(Cas d"une matrice diagonale).
SoitAla matrice diagonale
A=0 B BBBB@ 10 0 020000n10 0 0n1 C
CCCCA.
Alors les scalaires1,...,nsont des valeurs propres deA, admettant respectivement comme vecteurs propres associés : X 1=0 B BB@1 0 01 CCCAXn=0
B BB@0quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46[PDF] LES VECTEURS ( alignement de points)
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