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“MS2_2G3_chapitrecomplet" — 2014/4/17 — 18:39 — page 1 — #1?

GÉOMÉTRIE1

Vecteurs

Connaissances du collège nécessaires à ce chapitre ?Connaître les propriétés du parallélogramme ?Lire les coordonnées d'un point ?Additionner et soustraire des nombres relatifs ?Reconnaître une situation de proportionnalité

Auto-évaluation

Des ressources numériques pour préparer

le chapitre sur manuel.sesamath.net@

1Lire les coordonnées des points suivants.

1)A3)C5)O7)J

2)B4)D6)I

+I +J O B +A C +D E

2Calculer mentalement.

1)3-5+6-(-7)3)3-3×(-2) +2

2)-4+3

-4-(-5)4)5+ (-3-2) -3-(-4)

3Dans chaque cas, peut-onaffirmer queABCDest

un parallélogramme?

1)AB=CD

2)AB=CDetAD=BC

3)AB=CDet(AB)//(CD)

4)[AC]et[BD]ont même milieu

4Les tableaux suivants sont-ils des tableaux de

proportionnalité? -235 3 3 5 ⎷22-63

3-4,53

4 4

31⎷210,5

1 “MS2_2G3_chapitrecomplet" — 2014/4/17 — 18:39 — page 2 — #2?

Activités d'approche

ACTIVITÉ1Patinage mathématique

L"entraîneur (un brin facétieux) de Ryan Gou- gère (troisième au championnat de troisième district inter-cantonal de patinage artistique) lui demande de travailler un mouvement.

Il le lui décrit de la façon suivante :

•La partie de ton corps, située enA

doit finir enB.

•Tout pointCde ton corps doit finir en un

pointDtel que les segments[AD]et[CB] aient le même milieu. AB

1)Reproduire la figure puis construire Ryan Gougère en position après le mouvement.

2)Quel est ce mouvement mystérieux?N"y aurait-il pas une manière plus simple de décrire l"imagedu pointC?

ACTIVITÉ2Zellige

Cette activité consiste à étudier l"enchaînementde deux translations sur un damier de carreaux

Zellige, un carrelage décoratif originaire de l"AntiquitéMéditerranéenne et du Moyen Orient.

40
30
20 10 41
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29

19#»u

v#»r#» w#»s t 1)

Enchaînement 1

a)Quelle est l"image du carreau 13 par latranslation de vecteur#»u? b)Quelle est l"image de cette image par latranslation de vecteur#»v?

c)Émettre une conjecture sur la nature dela transformation correspondant à l"en-chaînement de ces deux translations.

On notera#»u+#»vlescaractéristiques de

cette nouvelle transformation.

2)Enchaînement 2

a)Quelle est l"image du carreau 13 par latranslation de vecteur#»s? b)Quelle est l"image de cette image par latranslation de vecteur#»t? c)Émettre une conjecture sur#»s+#»t.

3)Enchaînement 3

a)Quelle est l"image du carreau 13 par latranslation de vecteur#»v? b)Quelle est l"image de cette image par latranslation de vecteur#»r? c)Émettre une conjecture sur#»v+#»r. 2

Chapitre G1.Vecteurs

“MS2_2G3_chapitrecomplet" — 2014/4/17 — 18:39 — page 3 — #3?

Activités d'approche

ACTIVITÉ3Sans carreaux

Tracer trois vecteurs et placer un pointAcomme sur la figure ci-dessous. A× #»u #»v #»w

1)Construire le pointCtel que# »AC=#»v+#»v.

2)Construire le pointBtel que# »AB=#»u+#»v+#»w.

DÉBAT4La Valette

L"île de Malte, de par sa position stratégique dans la mer Méditerranée, a fait l"objet de grandes

convoitises et invasions avant d"obtenir son indépendanceen 1964.

Théotime a été fasciné par ce mélange de cultures dès sa première visite de l"île et conseille le

voyage à tous ses amis. Il se fait un plaisir de fournir à ceux qui le désirent le plan ci-dessous

de La Valette, capitale de l"île. Il y a marqué d"une croix quelques sites à visiter : •A: Musée Archéologique•C: Cathédrale Saint John•G: Musée de la guerre •B: Lower Barraca Gardens•E: Église carmélite

Terminusdes bus

Upper

BarracaGardens×

BFort

SaintElmo×

G× E

A×CMint street

Bakery street

Republic street

Merchant street

Saint Paul street

Naïm veut visiter le musée d"archéologie, la cathédrale Saint John, Lower Baccara Gardens, le

musée de la Guerre, l"église Carmélite dans cet ordre.

Naïm arrive à la Valette, au terminus des bus, avec le plan de Théotime et a la désagréable

surprise de constater que le gouvernement maltais a remplacé tous les noms de rues en anglais par des noms maltais. Il n"arrive plus à se repérer.

1)Proposer une méthode pour repérer les sites sélectionnés par Naïm.

2)Proposer une méthode pour définir les déplacements entre chacun des sites.

Chapitre G1.Vecteurs3

“MS2_2G3_chapitrecomplet" — 2014/4/17 — 18:39 — page 4 — #4?

Activités d'approche

ACTIVITÉ5Coordonnées

Partie 1 : coordonnées d'un vecteur

1)Construire un repère(O;I,J). On notera# »OI=#»ıet# »OJ=#»?.

2)Placer dans ce repère les pointsM,P,Rtels que :

a)# »OM=2#»ıb)# »OP=3#»?c)# »OR=2#»ı+3#»?

4)Placer dans le repère le pointNde coordonnées(-5;1).

5)Donner une égalité vectorielle liant# »ON,#»ıet#»?.

6)On considère un point quelconqueEde coordonnées(xE;yE).

Donner une égalité vectorielle liant# »OE,#»ıet#»?. Les coefficients obtenus dans la décomposition du vecteur# »OE en fonction des vecteurs #»ıet#»?sont appelés coordonnées du vecteur# »OE.

Partie 2 : coordonnées de deux vecteurs

Compléter la figure de la partie1.

1)Placer le pointStel que# »OM=# »NS. Lire les coordonnées du pointS.

2)Conjecturer une relation liant les coordonnées des pointsM,N,S.

3)Conjecturer une relation liant les coordonnées de deux vecteurs égaux.

ACTIVITÉ6Opérations

Partie 1 : coordonnées d'une somme

1)Dans un repère(O;I,J), placer les points suivants.

2)Construire les pointsR,SetTtels que :

a)# »AR=# »AB+# »ACb)# »AS=# »ED+# »DBc)# »CT=# »BC+# »ED

3)Lire les coordonnées des vecteurs suivants :

a)# »ARb)# »ABc)# »ACd)# »ASe)# »EDf)# »DBg)# »CTh)# »BCi)# »ED

4)Quelles relations lient les coordonnées du vecteur#»u+#»và celles des vecteurs#»uet#»v?

Partie 2 : vecteurs colinéaires

On considère un repère(O;I,J).

1)Soit#»u?-1

4? et #»v? 5 2? . Calculer les coordonnées des vecteurs suivants.

2)Un cas simple et pratique

a)Placer un vecteur# »ABde coordonnées? 2 3? et un vecteur # »CDde coordonnées? 4 6? b)Que peut-on dire de ces coordonnées?

3)Parmi les vecteurs suivants, lesquels sont colinéaires?

•#»a?-6

3?•#»b?

0

5?•#»c?

8 -4?•#»d? 3

0?•#»e?

0 4? 4

Chapitre G1.Vecteurs

“MS2_2G3_chapitrecomplet" — 2014/4/17 — 18:39 — page 5 — #5?

Cours - Méthodes

1.Translations - Vecteurs associés

DÉFINITION :Translation

On considère deux pointsAetBdu plan.

On appelletranslation qui transformeAenBla transformation qui, à tout pointMdu plan, associe l"unique pointM?tel que[AM?]et[BM]ont même milieu. AB MM \\AB MM

VOCABULAIRE:

Le pointM?est appeléimagedu pointM.

On dit également queMest letranslatédeM?.

REMARQUE:Unetransformationsert àmodélisermathématiquement un mouvement. Lasymétrie centraleest la transformation qui modélise le demi-tour. Latranslationest la transformation qui modélise le glissement rectiligne. Pour la définir, on indique la direction, le sens et la longueur du mouvement.

PROPRIÉTÉ

On considère quatre pointsA,B,CetD.

Dire que la translation qui transformeAenBtransformeCenD équivaut à dire queABDCest unparallélogramme(éventuellement aplati). PREUVEC"est la conséquence de la propriété : "un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales se coupent en leur milieu».

DÉFINITION :Vecteurs associés

À chaque translation est associé unvecteur.

PourAetBdeux points, levecteur# »ABest associé à la translation qui transformeAenB. Lanotation"vecteur# »AB» regroupe les trois informations la définissant : la direction (celle de la droite(AB)), le sens (deAversB) et la longueurAB.

Aest l"originedu vecteur etBsonextrémité.

DÉFINITION

Deux vecteurs qui définissent la même translation sont ditségaux.

Deux vecteurs égaux ont

même direction; même sens; même longueur. /A B/ C D

Chapitre G1.Vecteurs5

“MS2_2G3_chapitrecomplet" — 2014/4/17 — 18:39 — page 6 — #6?

Cours - Méthodes

PROPRIÉTÉ

# »AB=# »CDsi et seulement siABDCest un parallélogramme (éventuellement aplati).

MÉTHODE 1Construire un vecteurEx.15p. 12

Exercice d'application

Placer trois pointsA,BetCnon alignés.

Construire le pointDtel que# »CD=# »AB.

Correction

On construit le parallélogrammeABDC.

AB CD REMARQUE:Une translation peut être définie par un point quelconque et son translaté.

Il existe donc une

infinitéde vecteurs associés à une translation. Ils sont tous égaux. Le vecteur choisi pour définir la translation est un représentantde tous ces vecteurs.

La translation

ne dépend pasdu représentant choisi pour la définir. On le note souvent#»u.

DÉFINITION :Vecteur nul

Le vecteur associé à la translation qui transforme un point quelconque en lui-même est levecteur nul, noté#»0. Ainsi,# »AA=# »BB=# »CC=...=#»0

DÉFINITION :Vecteur opposé

Le vecteur# »BAde la translation qui transformeBenAest appelévecteur opposéà# »AB.

NOTATION:

Le vecteur opposé à# »ABse note-# »ABet on a l"égalité# »BA=-# »AB.

La notation←-ABn"existe pas.

REMARQUE:

Deux vecteursopposésont même direction, même longueur mais sont de sens contraires.

2.Opérations sur les vecteurs

A.Additions

PROPRIÉTÉ :Enchaînement de translations

L"enchaînement de deux translations est également une translation.

PROPRIÉTÉ :Relation de Chasles

SoitA,B,Ctrois points.

L"enchaînement de la translation de vecteur# »ABpuis de la translation de vecteur# »BC est la translation de vecteur# »ACet on a :# »AB+# »BC=# »AC. REMARQUE:# »AB+# »BA=# »AA=#»0.

PROPRIÉTÉ

Soit# »ABet# »CDdeux vecteurs. Alors :# »AB+# »CD=# »CD+# »AB# »AB+#»0=# »AB

6

Chapitre G1.Vecteurs

“MS2_2G3_chapitrecomplet" — 2014/4/17 — 18:39 — page 7 — #7?

Cours - Méthodes

PROPRIÉTÉ :Propriété du parallélogramme

SoitA,B,C,Dquatre points.

Dire que# »AD=# »AB+# »ACéquivaut à dire que ABDCest un parallélogramme.# »AB# »

AC# »AB

+# »ACBA C D

PREUVE

On suppose que# »AD=# »AB+# »AC.

On utilise la relation de Chasles pour décomposer# »AD:# »AD=# »AC+# »CD=# »AB+# »AC.

On ajoute# »CAaux deux membres de l"égalité :# »CA+# »AC? ???+# »CD=# »AB+# »AC+# »CA????. On utilise à nouveau la relation de Chasles avec # »CA+# »AC=#»0 et# »AC+# »CA=#»0.

Donc, la relation de départ est équivalente à :# »CD=# »ABetABDCest un parallélogramme.

MÉTHODE 2Construire la somme de deux vecteursEx.21p. 13 On remplace l"un des deux vecteurs par un représentant : •soit de même origine afin d"utiliser la règle du parallélogramme; •soit d"origine l"extrémité de l"autre afin d"utiliser la relation de Chasles.

Exercice d'application

1)Construire un carréABCD

de centreO.

2)Construire les vecteurs

#»u=# »AB+# »ODet #»v=# »AD+# »OC

Correction

ABC D O #»u

Avec la relation

de Chasles A ABC D O #»v

Avec la règle

du parallélogramme REMARQUE:# »AB+# »AC=#»0 si et seulement siAest le milieu du segment[BC].

B.Soustraction

DÉFINITION

Soustraire un vecteur, c"est additionner son opposé.

Exemple

Soit trois pointsA,BetCnon alignés.

Donner un représentant du vecteur

#»u=# »AB-# »AC.

Correction

#»u=# »AB-# »AC #»u=# »AB+# »CA #»u=# »CA+# »AB #»u=# »CBen utilisant la relation de Chasles.

Chapitre G1.Vecteurs7

“MS2_2G3_chapitrecomplet" — 2014/4/17 — 18:39 — page 8 — #8?

Cours - Méthodes

3.Coordonnées d'un vecteur

DÉFINITION

Dans un repère(O;I,J), on considère la translation de vecteur#»u qui translate l"origineOen un pointMde coordonnées(a;b). Lescoordonnées du vecteur#»usont les coordonnées du pointM. On a #»u=# »OMet on note#»u? a b? +a+ bO #»u +I+ J+ M

PROPRIÉTÉ

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ces vecteurs ont les mêmes coordonnées.

PROPRIÉTÉ

Dans un repère(O;I,J), les coordonnées du vecteur# »ABsont? x B-xA y B-yA? PREUVESoitA,BetMde coordonnées respectives(xA;yA),(xB;yB)et(xM;yM)dans un repère(O;I,J)tels que# »OM=# »ABetOMBAest un parallélogramme. A+xM

2=xB+xO2

y A+yM

2=yB+yO2soit?

x

A+xM=xB

y

A+yM=yBsoit?

x

M=xB-xA

y

M=yB-yA

MÉTHODE 3Lire les coordonnées d'un vecteurEx.38p. 15

Exercice d'application

Lire les coordonnées du vecteur#»usur la figure ci- dessous. /I-

J#»u

Correction

/I-

J#»u

+4 -3

Les coordonnées de#»usont?

4 -3? MÉTHODE 4Construire un vecteur à partir de ses coordonnéesEx.42p. 15

Exercice d'application

représentant d"origineA(6;2)du vecteur ude coordonnées?-4 3?

Correction

+I +J O-4 +3#»u A+ 8

Chapitre G1.Vecteurs

“MS2_2G3_chapitrecomplet" — 2014/4/17 — 18:39 — page 9 — #9?

Cours - Méthodes

MÉTHODE 5Repérer un point défini par une égalité vectorielleEx.44p. 15

Exercice d'application

Dans un repère ortho-

gonal(O;I,J), on a les pointsA(-2;3),B(4;-1) etC(5;3).

Calculer les coordonnées

1)du vecteur# »AB;

2)du pointDtel que# »AB=# »CD.

Correction

1)Les coordonnées du vecteur# »ABsont?

x B-xA y B-yA? soit?

4-(-2)

-1-3? Donc # »ABa pour coordonnées? 6 -4?

2)On cherche(xD;yD), les coordonnées du pointDtel que# »AB=# »CD.

Or, "si deux vecteurs sont égaux alors ils ont mêmes coordonnées». Donc le couple(xD;yD)est la solution du système :? x

D-xC=xB-xA

y

D-yC=yB-yAsoit?

x D-5=6 y

D-3=-4soit?

x

D=6+5=11

y

D=-4+3=-1

Les coordonnées du pointDsont(11;-1).

PROPRIÉTÉ :Somme de deux vecteurs

Si#»uet#»vsont deux vecteurs de coordonnées respectives? x y?quotesdbs_dbs46.pdfusesText_46

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