[PDF] La notion de fonction en mathématique entre enseignement

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Master en enseignement secondaire I

La notion de fonction en mathématique entre enseignement ukrainien et suisse

Auteur : Popovych Polina

Directrice : Mme Tinembart Sylviane

Membre de jury : M. Clivaz Stéphane

Lausanne, le 13 mai 2019

Table des matières

Introduction

Question de recherche et hypothèse

Cadre théorique la transposition didactique

Contextualisation

Démarche de recherches

La fonction en mathématiques, du savoir scientifique au savoir enseigné, illustration

Réponse à la question de recherche

Conclusion et questions ouvertes

Bibliographie

Annexes

Introduction

Question de recherche et hypothèse

a) Réflexions préalables b) Hypothèse

Les manuels ukrainiens donnent aux élèves un accès plus approfondi aux connaissances

théoriques par rapport aux romands grâce à la théorie introduite et

présentée aux élèves et les exercices pratiques à effectuer en classe et à domicile. En

conséquence, les compétences travaillées ainsi que les buts visés ne sont pas identiques pour le

même niveau scolaire.

Cadre théorique la transposition didactique

Le temps des études

La transposition didactique : du savoir savant au savoir enseigné objet

Contextualisation

a. Système éducatif ukrainien

Les principes généraux :

Le système de notation :

Le système de certification

principales :

La langue et la littérature

Les sciences sociologiques

Les mathématiques

Les sciences de la nature

Les technologies

La santé et la culture physique

Les compétences générales à développer lors des études secondaires : La communication en langue ukrainienne soit en langue de la communauté nationale:

La communication en langue étrangère

Les compétences mathématiques

Les compétences dans les sciences de la nature et les technologies

Les compétences informatiques et numériques

Les compétences sociales

Les connaissances des bases de la culture

Les bases de connaissances écologiques et de santé Les mathématiques dans le système éducatif ukrainien Programme 1 : le programme de base sans la spécialisation renforcée avec la langue

Les branches

ment Les disciplines scolaires niveaux

5 6 7 8 9

Programme 2 : le programme de bases sans la spécialisation renforcée avec la langue

Les branches

Les disciplines

scolaires différents niveaux

5 6 7 8 9

Total

Total (sans tenir compte de

partage des classes en groupes)

Total (sans tenir compte de partage

des classes en groupes) Programme 3 : Le programme avec la spécialisation dans les branches techniques :

Les branches

Les disciplines

scolaires différents niveaux

5 6 7 8 9

Total (sans tenir compte de partage

des classes en groupes) différents niveaux

5 6 7 8 9

Total (sans tenir compte de partage des

classes en groupes) f xĺkf xfxĺfx cossintan sincos sinĮsinĮcosĮĮ

Système éducatif suisse2

Impulsions pour la coopération internationale en matière " éducation ».

Expériences du système scolaire suisse

Démarche de recherche

Critères de comparaison

o o o o o o o o o o La fonction en mathématique, du savoir scientifique au savoir enseigné, illustration a. La notion de fonction et ses propriétés n une fonction݂

Test de la droite verticale

xy

Définition 1݂limite au point a

݂bornée

݂croissanteܫ

݂décroissanteܫ

݂monotone

݂taux de variation moyen de la fonction

Théorème (La dérivabilité implique la continuité)݂ݔൌܿ

Théorème de la fonction monotone݂

Théorème des valeurs extrêmes݂ܽǡܾ maximum relatif au

Théorème des valeurs critiques݂

݂concave vers le haut

concave vers le bas

݊degré du polynômeܽ

et al & al o o o o =b²-4ac n e. Synthèse de la comparaison 0 10 20 30
40
50
60
Les tâches contenant la proportionnalité dans les manuels Suisses( 9ème Harmos) et Ukrainiens ( 8ème

Harmos / 6ème année)

MERBevzMerzliak

0% 10% 20% 30%
40%
50%

MERIsterMaliovanii

les exercices de type B dans les manuels correspondant à la 9ème Harmos

Notion de fonction

Représentations des fonctions

Proportionnalité /fonction linéaire /fonction affine

0%10%20%30%40%50%60%70%80%

Les exercices de type A

dans les manuels correspondant à la 9ème

Harmos

MERIsterMaliovanii

0% 10% 20% 30%
40%
50%
60%

Les exercices de type C dans les

manuels correspondant à la

9ème Harmos

MERIsterMaliovanii

0 20 40
60
80

MERIsterMaliovanii

La répartition des exercices sur la fonction

linéaire / la fonction affine dans les manuels Les exercices de type ALes exercices de type BLes exercices de type C

25,8 % au 10ème 46,94 % à 11ème)

28.5724.49

46.94
type Atype Btype C

Réponse à la question de recherche

x m an

Conclusion et questions ouvertes

Bibliographie

Recherches en didactique des mathématiques, 12(1), première année. De la construction mathématique à sa représentation Comment classer les questions de mathématiques ? (

Calcul différentiel.

Recherches en didactiques des mathématiques, 7

Education et

didactique, 5

élémentaires, intégrales.

courbes, équations différentielles. La transposition didactique. Du savoir savant au savoir enseigné.

Enseignement et apprentissage

des mathématiques. Que disent les recherches psychopédagogiques ? Un dispositif pour évaluer des savoirs mathématiques au début, pendant et

Pratiques : linguistiques, littératures,

didactiques, 97-98,

Le triangle pédagogique.

Introduction à la didactique des sciences et des mathématiques. , 3( vol. XXIV), Au-delà des didactiques le didactique. Les débats autour de concepts fédérateurs.

Expériences su système scolaire suisse.

Spirale- révue de recherches en éducation, 15, La classe de mathématiques : activités des élèves et pratiques des enseignants.

Pensée et Langage.

Les annexes

Les 9ème HARMOS

MER 9ème Harmos :

Maliovanii, Litvinenko, Boyko, Algèbre 7, qui correspond au niveau de 9ème Harmos :

55.6 % exercices de type A, 22.2 % exercices type B, 22,2 % exercices type C. Nombre

total des exercices : 9.

MER 9ème Harmos :

33.3 % exercices de type A, 16.7 % exercices de type B, 50 % exercices de type C. Nombre

total des exercices 6.

22 % exercices de type A, 26 % exercices de type B, 52 % exercices de type C. Nombre

Maliovanii, Litvinenko, Boyko, Algèbre 7, qui correspond au niveau de 9ème Harmos :

45.5 % exercices de type A, 9 % exercices de type B, 45.5 % exercices de type C. Nombre

MER 9ème Harmos :

30.8% exercices de type A, 46.2 % exercices de type B, 50 % exercices de type C. Nombre

21.7 % exercices de type A, 30.4 % exercices de type B, 47.9% exercices de type C. Nombre

Maliovanii, Litvinenko, Boyko, Algèbre 7, qui correspond au niveau de 9ème Harmos :

20.6 % exercices de type A, 20.6 % exercices de type B, 58.8 % exercices de type C.

Nombre total des exercices 34.

0% 10% 20% 30%
40%
50%
60%
70%
80%

Notion de fonctionReprésentations des

fonctions

Proportionnalité

/fonction linéaire /fonction affine

Les exercices de type A dans les manuels

correspondant au 9ème Harmos

MERIsterMaliovanii

0% 10% 20% 30%
40%
50%

MERIsterMaliovanii

les exercices de type B dans les manuels correspondant au 9ème Harmos

Notion de fonction

Représentations des fonctions

Proportionnalité /fonction linéaire /fonction affine

MER 9ème Harmos :

0% 10% 20% 30%
40%
50%
60%

Notion de fonctionReprésentations des

fonctions

Proportionnalité /fonction

linéaire /fonction affine Les exercices de tpe C dans les manuels correspondant au

9ème Harmos

MERIsterMaliovanii

Maliovanii, Litvinenko, Boyko, Algèbre 7, qui correspond au niveau de 9ème Harmos La page copiée du manuelMaliovanii, Litvinenko, Boyko, Algèbre 7, qui correspond au niveau de 9ème Harmos La classification des problèmes de la proportionnalité présentés dans le MER : Le manuel de Merzliak A.G., Polonskii V.B., Yakir M.S. (6ème année scolaire soit 8ème

Harmos)

La page copiée de manuel Merzliak A.G., Polonskii V.B., Yakir M.S. (6ème année scolaire soit 8ème Harmos) Le manuel de Bevz G.P. et Bevz V.G. (6ème année scolaire soit 8ème Harmos) : La page copiée de manuel Bevz G.P. et Bevz V.G. (6ème année scolaire soit 8ème Harmos)

Les 10ème HARMOS

MER :

38.7 % exercices de type A, 35.5 % exercices de type B, 25.8 % exercices de type C.

21.7 % exercices de type A, 30.4 % exercices de type B, 47.9% exercices de type C.

Maliovanii, Litvinenko, Boyko, Algèbre 7, qui correspond au niveau de 9ème Harmos :

20.6 % exercices de type A, 20.6 % exercices de type B, 58.8 % exercices de type C.

0 10 20 30
40
50
60
70

MERIsterMaliovanii

La répartition des exercices sur la fonction

linéaire / la fonction affine dans les manuels Les exercices de type ALes exercices de type BLes exercices de type C

Merzliak, Polonskii, Yakir :

Merzliak, Polonskii, Yakir, Algèbre 8ème année :

O. S. Ister :

La page de manuel O. S. Ister, Algèbre 8ème année MER :

Les 11ème HARMOS

MER : aݕൌܽݔ൅ܾ

La proportionnalité

28.57 % exercices de type A, 24.49 % exercices de type B, 46.94 % exercices de type C.

Le graphique suivant montre la répartition des exercices dans le MER : Maliovanii, Litvinenko, Boyko, Algèbre 9, qui correspond au niveau de 11ème Harmos :

28.5724.49

46.94
type Atype Btype C La page de manuelMaliovanii, Litvinenko, Boyko, Algèbre 9, qui correspond au niveau de 11ème Harmos Ister, 2017, Algèbre, 9ème année qui correspond à la 11ème HARMOS : La page de manuelIster, 2017, Algèbre, 9ème année qui correspond à 11ème HARMOS :

La partie théorique

MER + aide-

mémoire

Maliovanii,

Litvinenko, Boyko

Ister

La fonction (ou une

ensemble de départ

E vers un ensemble

relation qui, à chaque élément de E, fait correspondre exactement un

élément de F. Si f

désigne cette fonction, on note f :

E - F.

la définition au sens strict. la définition au sens strict. pas explicitement introduit par une construction et exemplification la définition au sens strict schémas dépend

Illustration

de schémas par la construction et

Introduites par les

exemples

Représenter la fonction signifie trouver son

de valeurs de la variable indépendante) et déterminer la règle selon laquelle on peut mettre à correspondance chaque valeur de la variable indépendante avec une seule valeur de la variable dépendante. illustrées

Le manuel contient la quatrième

représentation : par la description verbale.

Cette représentation

est aussi illustrée fonction de la partie nombre. mémoire la définition au sens strict points du plan, dont les abscisses correspondent aux valeurs de la variable départ, les ordonnées correspondent aux valeurs de la variable dépendante qui ni illustrée au sens strict

Le zéro de la fonction désigne la valeur de

laquelle la valeur de la fonction (la variable dépendante) est égal à zéro vu lors de sommet de parabole

Le sommet de la

parabole est un minimum de la fonction x՜ܽ

Si ܽ

maximum de la fonction si ܽ des dessins schématiques

Le maximum

absolu et le minimum absolu sont introduits par la définition au sens strict

Le maximum absolu

correspond à la plus grande valeur de minimum absolu correspond à la plus petite valeur de

Le terme de la

fonction monotone la monotonie est présentée implicitement avec le contre-exemple.

Les deux concepts sont donnés au sens strict

Ne sont pas

introduits dans

Introduits par la

définition et

Introduits par la

définition au sens strict

Ne sont pas

explicitées dans sont introduites par une construction et ensuite par une déduction de la règle

MER + aide-

mémoire

Maliovanii,

Litvinenko,

Boyko Ister

La fonction est

introduite par la définition au sens strict

Le concept est introduit par la

définition au sens strict

Les noms sont

explicités explicitement explicités

Le manuel explicite la règle

démontrée à ne sont pas explicitées

Les propriétés ne

sont pas explicitées ni démontrées dans le manuel

Les points

principaux sont explicités

Explicités par les

schémas

Les règles

suivantes sont

Les liens ne sont

pas explicités formulées de façon explicite

Vu aussi lors de

la construction de graphiques à transformations de graphiquesquotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

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