[PDF] Notes de Cours du module - Analyse Complexe (Math 4)

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UNIVERSITÉ DESSCIENCES ET DE LATECHNOLOGIE

HOUARIBOUMEDIENNE(1)

FACULTÉ DESMATHÉMATIQUES

DÉPARTEMENT D"ANALYSENotes de Cours du module

Analyse Complexe (Math 4)

Par

LAADJ Tou...k

(2) Pour

Deuxième année Licence

Domaine : Sciences et Technologies

Février 2014(1)

USTHB : Bab Ezzouar Alger, Algérie.

(2)Page Web : http://perso.usthb.dz/~tlaadj/

Table des matières

Table des matières

i ii

Description du Cours

i v

0 Les nombres complexes

1

0.1 L"ensemble des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

0.1.1 Opérations sur les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

0.1.2 Valeur absolue (ou module) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

0.2 Représentation graphique des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

0.2.1 Courbes dans le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

0.3 Forme polaire des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

0.3.1 Formule de De Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

0.3.2 Racines d"un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1 Fonctions élémentaires

7

1.1 Fonctions complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.1 Fonctions uniformes et multiformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.2 Fonctions inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.3 Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.4 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.5 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 0

1.2 Fonctions élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1

1.2.1 Les fonctions polynômiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1

1.2.2 Les fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 i

Table des matières

1.2.3 Les fonctions exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1

1.2.4 Fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 2

1.2.5 Les fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 2

1.2.6 Fonctions logarithmiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 2

1.2.7 La fonctionz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 4

1.2.8 Fonctions trigonométriques inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 4

1.2.9 Fonctions hyperboliques inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 4

2 Dérivation dans le domaine complexe

1 5

2.1 Domaines dans le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 5

2.2 Fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 7

2.2.1 Dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 7

2.2.2 Conditions de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 8

2.2.3 Fonctions harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 9

2.2.4 Règles de dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 1

2.2.5 Règle de l"Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 1

2.2.6 Points singuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 2

3 Intégration dans le domaine complexe

2 3

3.1 Chemins et courbes dans le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 4

3.2 Intégration le long d"une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 5

3.2.1 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 7

3.3 Théorèmes de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 0

3.3.1 Domaines simplement ou multiplement connexes . . . . . . . . . . . . . .

3 0

3.3.2 Théorème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 0

3.3.3 Primitives et intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 2

3.3.4 Formule intégrale de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 3

4 Séries in...nies, séries de Taylor, séries de Laurent

3 5

4.1 Séries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 5

4.1.1 Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 6

4.2 Séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 6

4.2.1 Rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 7

4.3 Séries de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 8 ii

Table des matières

4.3.1 Quelques séries particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 8

4.4 Séries de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 9

4.4.1 Classi...cation des singularités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 1

5 Théorème des résidus

4 3

5.1 Résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 3

5.1.1 Calcul des résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 4

5.2 Le théorème des résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 6

5.3 Application du théorème des résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 7

5.3.1 Théorèmes particuliers utilisés pour le calcul d"intégrales . . . . . . . . .

4 7

5.3.2 Application aux transformées de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 8

5.3.3 Calcul d"intégrales dé...nies diverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 0

Références57

iii

Description du Cours

Objectif du Cours

L"objectif du module Analyse Complexe (Math 4) est de maîtriser les concepts et les résultats

fondamentaux de la théorie des fonctions complexes de variables complexes de manière à pouvoir

les utiliser dans d"autre cours.

Ces notes de cours donnent les principales dé...nitions et les résultats fondamentaux, illustrés

par des exemples.

Contenu du Cours

Les nombres complexes

Fonctions complexes

Dérivation complexe, équations de Cauchy-Riemann

Intégration complexe, Théorème de Cauchy

Séries in...nies, séries de Taylor, séries de Laurent

Théorème des résidus

iv

Description du Cours

Résultats d"apprentissage

À la ...n du cours, l"étudiant doit avoir une bonne compréhension de la théorie des fonctions

complexes à variable complexe et devrait être en mesure d"appliquer ces connaissances pour résoudre les exercices dans une variété de contextes. En particulier, l"étudiant doit être capable de :

Comprendre ce qu"une dérivation complexe est.

Citer, tirer et appliquer les équations de Cauchy-Riemann. Comprendre et appliquer le théorème de Cauchy et la formule intégrale de Cauchy Étudier les propriétés de convergence d"une série de puissance complexe. Appliquer les théorèmes de Taylor et de Laurent pour obtenir des développements en série de puissance. Identi...er et classi...er les singularités de fonctions complexes et trouver des résidus.

Tirer et appliquer le théorème des résidus pour calculer des intégrales réelles en utilisant

des résidus. v C hapitre0

Les nombres complexesSommaire

0.1 L"ensemble des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

0.1.1 Opérations sur les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

0.1.2 Valeur absolue (ou module) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

0.2 Représentation graphique des nombres complexes . . . . . . . . . .

3

0.2.1 Courbes dans le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

0.3 Forme polaire des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

0.3.1 Formule de De Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

0.3.2 Racines d"un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 0.1 L"ensemble des nombres complexes

Question :Trouver un nombre réel solution de l"équation algébriquex2+ 1 = 0: Réponse :Il n"existe pas de nombre réelxqui soit solution de l"équationx2+ 1 = 0: 1

0.1. L"ensemble des nombres complexes

Pour donner des solutions à cette équation et à des équations semblables, on introduit un

ensemble plus grand que celui des nombres réels. On appelle cet ensemble les nombres com- plexes.Un nombre complexezs"écrit sous la forme dite algébrique : z=x+iyoùxetysont des nombres réels, etiest appelé l"unité imaginaire, a la propriétéi2=1. Le nombrexest appelée la partie réelle dez;on notex= Re(z). Le nombreyest appelée la partie imaginaire dez, on notey= Im(z). L"ensemble des nombres complexes est notéC.Dé...nition 1 a)Deux nombres complexeszetz0sont égaux si et seulement si

Re(z) = Re(z0)etIm(z) = Im(z0):

b)Siy= 0on dit quezest réel, six= 0on dit quezest unimaginaire pur. c)Le nombre complexez=xiyest appelé le conjugué dez.Remarque 2

0.1.1 Opérations sur les nombres complexes

Addition :(x+yi) + (u+vi) = (x+u) + (y+v)i:

Soustraction :(x+yi)(u+vi) = (xu) + (yv)i:

Multiplication :(x+yi)(u+vi) =xu+xvi+yui+yvi2=xuyv+ (xv+yu)i:

Division :x+yiu+vi=x+yiu+viuviuvi=xuxvi+yuiyvi2u

2+v2=xu+yvu

2+v2+yuxvu

2+v2i:Soientzetwdeux nombres complexes. On a les propriétés suivantes :

(1)z+w=z+w(2)zw=zw(3)z=z(4)z+z= 2Re(z)(5)zz= 2Im(z)i.Remarque 3 2

0.2. Représentation graphique des nombres complexes

0.1.2 Valeur absolue (ou module)

La valeur absolue ou module d"un nombre complexez=x+iyest dé...nie par jzj=jx+iyj=px

2+y2:Dé...nition 4

Exemple 1

j3 + 4ij=q(3)2+ 42=p9 + 16 = p25 = 5:Sizetwsont deux nombres complexes, on a les propriétés suivantes : (1)jzwj=jzjjwj(2)zw =jzjjwj; w6= 0(3)jzj=jzj(4)zz=jzj2.

(5)jz+wj jzj+jwj(inégalité triangulaire)(6)jzwj jzj jwj.On a les propriétés suivantes :

(1)px

2=jxjetx2=jxj2six2R(2)z26=jzj2siIm(z)6= 0:

(3)jzj= 0()z= 0(4)z2R()z=z.Remarque 5 Sizetwsont deux nombres complexes tels quew6= 0, alors on a : zw =zw w w =zw jwj2.Remarque 6

Exemple 2

2 + 3i12i=(2 + 3i)(1 + 2i)1

2+ (2)2=45

+75
i.0.2 Représentation graphique des nombres complexes xy

P(a;b)b

aUn nombre complexea+ibpouvant être considéré comme un couple ordonné de nombres réels, nous pouvons représenter de tels nombres par des points d"un plan desxyappeléplan complexe.

À chaque nombre complexez=a+ibcorrespond un

pointP(a;b)du plan. 3

0.3. Forme polaire des nombres complexes

0.2.1 Courbes dans le plan complexe

Cerclexy

rjzz0j=rz 0x 0y

0Le cercle de rayonret de centrez0=x0+iy0est dé...ni

par l"équationjzz0j=r:

Segments

Le segment de droite reliant deux points complexesz0 etz1est l"ensemble des points fz2C= z= (1t)z0+tz1; t2[0;1]g:xy z 0z 1x 0y 0x 1y

1Courbes

xy af(a)bf(b)En général, une courbey=f(x); x2[a;b]oùf est une fonction continue, correspond à l"ensemble de points fz2C= z=x+if(x) = (x;f(x)); x2[a;b]g:

0.3 Forme polaire des nombres complexesP(x;y)r

O xySiP(x;y)désigne un point du plan complexe corre- spondant au nombre complexez=x+iy, nous voyons que x=rcos; y=rsin; oùr=px

2+y2=jx+iyjest le module ou la valeur

absolue dez=x+iy, etest appelé l"amplitude ou l"argument dez=x+iy, notéargz, est l"angle que fait le vecteur !OPavec le demi-axe positifOx.

On en tire

z=x+iy=r(cos+isin); 4

0.3. Forme polaire des nombres complexes

qui est appelée laforme polaireouforme trigonométriquedu nombre complexez. Si < , alors l"angleest appelé l"argument principal, noté par Arg. On a argz=Arg+ 2k; k2Z:

0.3.1 Formule de De Moivre

Siz1=x1+iy1=r1(cos1+isin1),z2=x2+iy2=r2(cos2+isin2), alors z

1z2=r1r2fcos(1+2) +isin(1+2)g;(0.1)

z 1z 2=r1r

2fcos(12) +isin(12)g:

Une généralisation de (

0.1 )c onduità z

1z2:::zn=r1r2:::rnfcos(1+2+:::+n) +isin(1+2+:::+n)g;

ce qui, siz1=z2=:::=zn=z, conduit à z n=fr(cos+isin)gn=rnfcos(n) +isin(n)g; qui est appelée formule de De Moivre.

0.3.2 Racines d"un nombre complexe

Un nombrezest appelé racinen-ième d"un nombre complexea+ibsizn=a+ib, et nous

écrivonsz= (a+ib)1n

ouz=npa+ib. D"après la formule de De Moivre z= (a+ib)1n =fr(cos+isin)g1n =r1n cos+2kn +isin+2kn ; k= 0;1;2;:::n1:

Exemple 3

Calculer les racines quatrièmes de1.

On a

4p1 =fcos(0 + 2k) +isin(0 + 2k)g14

= cos2k4 +isin2k4 ; k= 0;1;2;3:

Pourk= 0; z0= cos0 +isin0 = 1 ;k= 1; z1= cos2

+isin2 =i; k= 2; z1= cos+isin=1 ;k= 3; z3= cos32 +isin32 =i:5

0.3. Forme polaire des nombres complexes

Exemple 4

Calculer

3p1i: On a 3 p1i= (1i)13 =p2 cos4 +isin4 13 p2 13 cos 4 + 2k3 +isin 4 + 2k3 6p2 cos12 +2k3 +isin12 +2k3 ; k= 0;1;2:

Pourk= 0; z0=6p2

cos12 +isin12 ;k= 1; z1=6p2 cos712 +isin712 k= 2; z2=6p2 cos54 +isin54 :6 C hapitre1

Fonctions élémentairesSommaire

1.1 Fonctions complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.1 Fonctions uniformes et multiformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.2 Fonctions inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.3 Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.4 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.5 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2 Fonctions élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.1 Les fonctions polynômiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.2 Les fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.3 Les fonctions exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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