[PDF] Théorie des Ensembles

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NOUVELLE BIBLIOTHÈQUE MATHÉMATIQUE

THÉORIE DES ENSEMBLES

Nouvelle bibliothèque mathématique

1. M. Demazure,Cours d'algèbre

2. R. Mneimné,Éléments de géométrie. Actions de groupes

3. J.-P. Kahane et P. G. Lemarié-Rieusset,Séries de Fourier et ondelettes

4. R. et A. Douady,Algèbre et théories galoisiennes

5. J.-L. Krivine,Théorie des ensembles

de l'Éducation nationale, de la Recherche et de la Technologie

JEAN-LOUIS KRIVINE

Théoriedes ensembles

CASSINI

JEAN-LOUISKRIVINEest professeur à l'Université Paris 7 depuis 1971. Il est l'auteur de plusieurs ouvrages de logique:

Éléments de logique mathématique

, en collaboration avec Georg Kreisel (Dunod,

1967; North Holland, 1967; Springer, 1972).

Théorie axiomatique des ensembles(P.U.F., 1972; Reidel, 1971). Lambda-calcul, types et modèles(Masson, 1990; Ellis Horwood 1993).

Catalogage Électre-Bibliographie

Krivine, Jean-Louis

Théorie des ensembles.

ŠParis: Cassini, 1998.

Nouvelle bibliothèque mathématique

Š5

ISBN 2-84225-014-1

RAMEAU: ensembles, théorie des

ensembles, théorie axiomatique des forcing

DEWEY: 510 : Fondements des mathématiques

Public concerné: 2e et 3e cycle-Recherche

Mathematics Subject Classification (1991): Primary 03Exx, 04-01, 04-02.

Secondary 03B30, 06E10, 03G05.

Imprimé sur papier permanent.

c

Cassini, Paris, 1998.

àmesparents

Introduction

La théorie des ensembles, issue des travaux de Georg Cantor au siècle der- s'écrivent les mathématiques. Il y a beaucoup de systèmes d'axiomes pos- sibles pour la théorie des ensembles, mais le consensus s'est finalement réa- lisé sur l'un des plus puissants: lathéorie de Zermelo-Fraenkel.Cen'estpas, il s'en faut de beaucoup, que la formalisation des mathématiques nécessite toute la force de cette théorie, mais bien plutôt à cause de l'intérêt mathéma- tique qu'elle présente par elle-même, de sa propre beauté interne. Le présent ouvrage, du moins on l'espère, la fera découvrir au lecteur, dans un parcours à travers ces étranges et incroyables objets mathématiques que sont lesmo- dèlesde la théorie des ensembles, dus essentiellement à l'invention de deux Bertrand Russell a défini les mathématiques comme la science où l'on observé, et particulièrement dans le domaine qui nous occupe ici : à cause du de montrer que la théorie des ensembles ne comporte pas de contradiction. On ne sait donc pas si un modèle de la théorie de Zermelo-Fraenkelexiste, ce qui constitue la première étrangeté d'un tel objet, et pas la moindre. Tout ce que l'on peut obtenir, dans cette direction, c'est la non-contradiction relative: si l'on admet qu'une certaine théorie (celle de Zermelo-Fraenkel, par exemple) est consistante, c'est-à-dire non-contradictoire, alors elle le reste en question, que l'on transforme en un modèle des axiomes étudiés. théorie des ensembles, que l'on obtient par les méthodes dites du "modèle intérieur» (première partie), et du "forcing» (seconde partie). Les axiomes de 1

2Introduction

Zermelo-Fraenkel sont introduits dans leschapitres1 et 2, qui développent les éléments indispensables pour toute démonstration de consistance relative - un des points essentiels étant la technique de définition par induction sur les ordinaux. Plusieurs exemples de modèles intérieurs sont ensuite construits dansles chapitressuivants. Le dernier, et le plus important, est, auchapitre 8, 1 Les chapitres 12 et suivants, dans la seconde partie, exposent les résul- tats de Cohen sur l'indépendance de ces axiomes [2], et quelques-unes des applications de sa méthode du "forcing», ainsi que le rapport avec la théorie des algèbres de Boole complètes. En particulier, au chapitre 17, on montre un résultat fort connu de Robert Solovay sur la non-contradiction relative de l'axiome:"Toutepartiede

Rest mesurable au sens de Lebesgue».

En théorie des ensembles, on fait constamment référence au deuxième lative» d'une théorie par rapport à une autre (on parlera, par exemple, de "théories équiconsistantes»). Mais ce théorème lui-même peut être consi- déré comme unrésultat de consistance relative, et une preuve "sémantique» enestdonnéeauchapitre9. Le présent ouvrage constitue aussi une introduction aux considérables développements qu'a connus la théorie des ensembles à la suite des tra- les innombrables résultats de consistance relative obtenus par la méthode du "forcing», mais aussi la théorie des grands cardinaux, l'axiome de déter- mination, particulièrement le remarquable résultat de Donald Martin sur la détermination des jeux boréliens [21], la théorie descriptive des ensembles, la théorie de Ronald Jensen de la structure fine de L,... Plusieurs cours de troisième cycle, que j'ai donnés à l'Université Paris 7, sentiellement le contenu de laThéorie axiomatique des ensembles[16], parue en 1969, puis en 1972, aux Presses Universitaires de France). Le niveau requis est donc, àpeuprès, celui dudeuxièmecycle universitaire de mathématiques, mais il n'est supposé aucune connaissance mathématique spécifique, mis à part le dernier chapitre, qui utilise des rudiments de théorie de la mesure. Toutefois, on suppose que le lecteur possède une certaine pratique de la théorie naïve des ensembles et de la méthode axiomatique. Les connaissances logiques requises ne sont pas d'un niveau plus élevé, 1 Les chiffres entre crochets renvoient à la bibliographie, page 261.

Introduction3

mais sont malheureusement beaucoupmoins répandues (en France): il s'agit de notions élémentaires sur le calcul des prédicats du premier ordre (forme prénexe, modèles d'un système d'axiomes du premier ordre, etc.). Elles sont utilisées à partir du chapitre 4; toutes les démonstrations sont faites (sauf pour la réduction d'un énoncé à la forme prénexe), mais sans doute trop rapidement pour un lecteur qui n'en aurait jamais entendu parler. Quelques notions supplémentaires de théorie des modèles, qui ne servent pas explicitement dans le texte, aideraient néanmoins beaucoup à la com- préhension: par exemple, il est facile de saisir la distinction entre les entiers intuitifs et les entiers d'un univers, ou entre ce qu'on appelle dans ce livre les énoncés et les formules, si l'on connaît l'existence des modèles non stan- dard de l'arithmétique de Peano. De même, la remarque page 48 va de soi, pour ainsi dire, lorsqu'on connaît le théorème de complétude du calcul des prédicats. Ces notions de logique sont indispensables pour la lecture du chapitre 9 On les trouvera, par exemple, dans [3] (tome 1), [15] (chapitres 1, 2, 3), [22] (chapitres 1, 2, 3), [25] ou [28]. Le point de vue adopté dans ce livre pourra paraître étrange à ceux qui considèrent que la théorieaxiomatiquedes ensembles doit être placée au dé- but des mathématiques (ce qui est peut-être vrai pour la théorienaïve). En effet, on ne demande pas au lecteur d'oublier unseul instant ce qu'il sait déjà en mathématiques; au contraire, on s'appuie essentiellement sur l'habitude, qu'il a acquise, de manier des théories axiomatiques, pour lui en présen- ter une nouvelle: la théorie des relations binaires qui satisfont les axiomes de Zermelo-Fraenkel. Ensuite, et peu à peu, apparaît le trait qui la distingue parmi toutes les théories axiomatiques: les notions que l'on est amené natu- rellement à introduire pour étudier les modèles de cette théorie sont exacte- ment parallèles aux notions fondamentales des mathématiques (entiers na- turels, ensembles finis ou dénombrables, fonctions, etc.); et comme le vo- notion, on est contraint d'utiliser dans le modèle les mots courants du lan- gage mathématique, évidemment dans un sens tout différent de leur sens habituel. L'exemple classique de ce phénomène est connu sous le nom de Skolem, si la théorie des ensembles est consistante, elle possède un modèle dénombrable. Comment est-ce possible, puisqu'en théorie des ensembles, on peut définir des ensembles non dénombrables, comme

Rpar exemple?

Ce "paradoxe» provient, bien sûr, de ce que le mot "dénombrable» change

4Introduction

de sens quand on l'interprète dans un modèle de la théorie des ensembles. On s'aperçoit, en fin de compte, que même le sens habituel de tous ces mots mathématiques courants n'est pas aussi clair qu'il y paraît de prime abord, et on peut chercher à le mieux comprendre à l'aide des nouveaux outils que nous a fournis l'étude de la théorie des ensembles (si l'on se posait ce problème en premier, on serait tenté, par manque d'outils, de l'escamoter en disant qu'en mathématiques, on ne fait que manipuler des symboles vides de sens). Il reste à déterminer ce qu'apporte exactement la théorie des ensembles, et plus généralement la logique, sur cette grande question de la signification des mathématiques. La découverte de relations extrêmement étroites et pro- fondes entre les preuves mathématiques et les programmes informatiques apporte un éclairage radicalement nouveau à ce problème philosophique ancien, et nous oriente vers des solutions quelque peu inattendues. En effet, la question qui se pose maintenant, est celle de la signification informatique des programmes associés aux axiomes et aux théorèmes de la théorie de Zermelo-Fraenkel. Il s'agit ici, non plus de philosophie, mais de recherche scientifique; un domaine de recherche passionnant, dont nous reparlerons ailleurs... Tous mes remerciements vont à René Cori, pour les nombreuses corrections, de forme ou de fond, d'importance ou de détail, toujours pertinentes, qu'il m'a suggérées.

Première partie

MODÈLES INTÉRIEURS

Chapitre 1

Axiomes de Zermelo-Fraenkel

Nous avons tous une idée intuitive de ce qu'est un ensemble, et c'est sur elle que nous nous appuyons pour trouver les axiomes de la théorie des ensembles (de même que la notion intuitive de l'espace à trois dimen- sions a conduit aux axiomes d'espace vectoriel). Mais ensuite, ayant écrit ces axiomes, nous étudierons toutes les structures qui les satisfont (de la même façon que, pour les espaces vectoriels, on ne s'intéresse pas seulement à l'espace R 3 ). Ces structures, qui sont appelées habituellementunivers,sont celles d'ensembles munis d'une relation binaire (la relationd'appartenance), satisfaisant les axiomes en question. axiomatiques que le lecteur connaît déjà, la théorie des groupes par exemple, ou celle des anneaux, des corps, espaces vectoriels, treillis, etc. On considère une collection d'objets, collection que l'on appellerauni- vers,etquel'ondésignerapar

U;onneditpas:"considéronsunensemble

U», car ce que nous appelleronsensembles,cesontprécisémentlesobjets de U(il est clair que quand on définit, par exemple, les espaces vectoriels, il faut éviter d'employer le même mot pour désigner l'espace vectoriel et un vecteur de cet espace). Cette collection, supposée non vide, est munie d'une relation binaire, que l'on note x?y;elleselit"xappartient ày», ou "l'ensemblexappartient

àl'ensemble

y», ou encore "xest élément dey». Bien entendu,x/?yse lit xn'appartient pas ày». On réserve le mot "appartenir» pour désigner cette relation binaire et il faut donc éviter, par la suite, de l'employer dans son sens intuitif (tout au moins sans préciser qu'on l'emploie dans son sens intuitif). On dira, par 7

8Première partie: Modèles intérieurs

exemple: l'objet xest dans la collectionU,aulieude:xappartient àU.

Même remarque pour le mot "élément».

Ununiversseprésentedonc

comme un graphe du genre de ce- lui qui est dessiné ci-contre. Sur la figure, la flèche de aversbveut dire que b?a. On a, par exemple, c?c.

Lesaxiomesdelathéoriedesen-

sembles, que nous allons énoncer maintenant, expriment les proprié- tés que l'onimpose àlarelationbi- naire ?considérée. a r br c r d r er fr

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1. Axiome d"extensionnalité

Il n'existe pas dansUdeux ensembles distincts qui ont les mêmes élé- ments; ce qu'on peut écrire: ?x?y[?z(z?x?z?y)?x=y]. Cet axiome n'est pas satisfait par la relation binaire représentée sur la figure: betcsont distincts, et ont tous deuxcpour seul élément.

Axiome de la paire

(On ne lui donne pas de numéro, car il est conséquence d'axiomes ulté- rieurs; néanmoins il est pratique de l'énoncer tout de suite).

Etant donnés deux ensembles

aetb,ilexisteunensemblec,quia comme éléments aetbet eux seulement (il est unique d'après l'axiome d'extensionnalité). Ce qui s'écrit: ?x?y∩z?t[t?z?(t=xout=y)]. L'ensemblecdont les seuls éléments sontaetbest noté{a,b}.L'axiome impose en particulier que pour tout ensemble a, il existe un ensemble, noté {a}, dont le seul élément esta(prendreaetbidentiques). Si a?=b,{a,b}est appelé unepaire.L'ensemble{a}est parfois appelé unsingleton.

Etant donnés deux ensembles

a,b,l'ensemble{{a},{a,b}}est noté(a,b) et est appelépaire ordonnée,oucouple.Ona:

Chapitre 1. Axiomes de Zermelo-Fraenkel9

Théorème 1.1.Si

(a,b)=(a ,b )alorsa=a etb=b Si a=b,alors(a,b)={{a}}et(a,b)n'a qu'un seul élément ; donc (a ,b )n'a qu'un seul élément et donca =b ;d'où{{a}} = {{a }}eta=a soita=a =b=b Si aσ=b,(a,b)a deux éléments, donc(a ,b )adeuxélémentseta

σ=b

Comme {{a},{a,b}} = {{a },{a ,b }},ilyadeuxpossibilités: ou bien {a}={a ,b }et{a,b}={a ou bien {a}={a }et{a,b}={a ,b

La première hypothèse est fausse, puisque

{a}n'a qu'un élément et{a ,b ,etdoncb=b

C.Q.F.D.

Etant donnés trois ensemblesa,b,c, on appelletriplet(a,b,c)l'ensem- ble (a,b,c)=(a,(b,c)).

Théorème 1.2.Si

(a,b,c)=(a ,b ,c )alorsa=a ,b=b etc=cquotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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