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Un problème de transport détaillé
données du problème est la suivante :E F G H Offre
A 10 30 35 15 14
B 20 15 20 10 10
C 10 30 20 20 15
D 30 40 35 45 12
Demande 10 14 12 15 51
Dans un premier temps on va utiliser la méthode de Ballas Hammer pour trouver une solutionréalisable en tenant compte des coûts. Pour cela on va calculer des différences en le coût le plus petit
et le suivant pour chaque ligne et chaque colonne. On les notes " Delta ».Par exemple dans la colonne G le coût minimum est de 20 et le suivant est également de 20. Donc le
" delta » est de 0. Dans la ligne D le coût minimum est de 30, le suivant est de 35 donc le " delta » est
de 5.On repère le " delta » le plus grand sur une ligne ou sur une colonne (ici colonne F). On va chercher à
remplir dans la ligne ou la colonne sélectionnée les plus grandes quantités possibles dans là ou le
coût est le plus faible (ici case BF grisée). Il faut maintenant déterminer les nouveaux "delta» en tenant compte du fait que la ligne B disparaît : -2- demande résiduelle de G est 0. On peut donc supprimer la colonne G.On déterminer les nouveaux " delta ».
Le delta maximum est de 10 mais on a le choix entre la ligne C ou la ligne D. Peu importe le choix. la demande résiduelle de E passe à 3. -3-Le " delta » maximum est 30, sans ambiguïté on va choisir de remplir la case dont le coût est
A disparait.
données manquantes : Puisque la demande résiduelle de E est de 7, on affecte 7 à la case DE. Puisque la demande résiduelle de F est de 4, on affecte 4 à la case DF. Puisque la demande résiduelle de H est de 1, on affecte 1 à la case DH. On trouve donc la solution de Ballas Hammer qui est la suivante : Si la solution de Ballas Hammer tient compte des coûts et permet de trouver une solution de base du Stepping Stone. -4-La méthode du stepping stone
Nous allons partir de la solution de Ballas Hammer mais le principe serait le même pour chaquesolution de base initiale (en particulier pour la méthode du coin nord-ouest). On écrit une matrice où
demande (ici E) et on fixe un " potentiel » arbitraire de façon à ce que tous les potentiels soient
positifs (ici on a fixé le potentiel de E arbitrairement à 40). Explication du calcul des potentiels pas à pas :On part du potentiel arbitraire (de la demande) puis on soustrait le coût rencontré dans la colonne à
ce potentiel afin de déterminer le potentiel de la ligne.Le potentiel de C est donc 40-30=10
Le potentiel de D est 40-30 =10
case au potentiel de la ligne pour trouver les potentiels manquants en colonne. On doit pouvoir en principe calculer tous les potentiels manquants : -5- enlève le potentiel de la colonne et on rajoute le potentiel de la ligne.Exemple :
est inutile de chercher à remplir cette case.On va essayer de faire baisser le plus possible le coût. Pour cela il faut connaître les quantités que
Pour la case BH : la quantité maximum est déterminé par le raisonnement suivant : Pour remplir CH il faut trouver un circuit de cases non vides tel que : On remplit BH on vide BF on peut déplacer 1 unité. La variation du coût est 1x(-10)=-10.Pour remplir la case CH on peut faire le circuit suivant et on découvre que la quantité maxi est 1
unité pour un coût de -5 soit une variation du coût de 1x(-5)=-5 Enfin pour remplir la case DG on fait le circuit : -6-On peut déplacer maximum 7 unités pour un coût supplémentaire unitaire de -5 soit une variation
totale du coût de 7x(-5)=-35.On va donc choisir de remplir DG de 7 unités ce qui implique de vider CG de 7 unités, de remplir CE
de 7 unités et de vider DE de 7 unités. On obtient la nouvelle solution : Ré-explication de la détermination des potentiels : Calcul des variation de coût unitaire pour chaque case vide : Détermination des quantités maximales pour les cases BH et CH : Quantité maxi = 1 donc variation du coût total 1x(-10)=-10 -7- Quantité maxi 1 donc variation du coût total &x(-10)=-10CH. On obtient donc une nouvelle solution :
Est-ce une solution optimale ? Pour cela il faut re-déterminer les potentiels afin de calculer les
variations de coût unitaire pour chaque case vide.Les variations de coût unitaire sont :
la solution suivante pour un coût total de 1000 : -8-Remarque : En résolvant ce problème sur EXCEL, le tableur propose la solution suivante dont le coût
Stone en trouve une, la méthode du Simplexe (utilisée par EXCEL) en trouve une autre. Ainsi dans les
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