Cours de Mathématiques MP*
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Cours Mathématiques MP
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Mathématiques en MP*
Ce livre contient des chapitres indispensables de mathématiques de deuxi`eme année de CPGE fili`ere MP. Les chapitres de ce cours ont étés inspirés des.
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Exercices & Problèmes Maths 2e année MP
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16 oct. 2015 Cours Mathématiques MP ... http://mp.cpgedupuydelome.fr ... Le cours de première année relatif aux polynômes à coefficients réels ou ...
Cours de Mathématiques MP*
Cours de Mathématiques MP*. Denis FAVENNEC. Transcrit par Benjamin DUFOUR JULES. Année scolaire 2014-2015. Page 2. 2. MP. ? B.Dufour-Jules
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Cet ouvrage est issu d'un cours polycopié utilisé depuis quelques années par les él`eves de la classe de Spéciales MP* du Lycée FAIDHERBE de LILLE.
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A. Antibi L. d'Estampes et interrogateurs
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réduit grandement la quantité de travail pour apprendre son cours ce qui laisse François Brunou
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5 nov. 2013 Cours Mathématiques MP ... http://mp.cpgedupuydelome.fr ... Remarque Les résultats qui précèdent se transposent à l'étude en cours.
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A. Antibi L. d'Estampes et interrogateurs
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FILIÈRE MP
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ÉPREUVE ORALE
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Dernière mise à jour : le 13/09/18
Banque épreuve orale de mathématiques session 2019, CCP-MP Mise à jour : 13/09/18Introduction
L"épreuve orale de mathématiques des CCP, filière MP, se déroule de la manière suivante :
25mn de préparatio nsur table.
25mn de passage à l"oral.
Chaque sujet proposé est constitué de deux exercices :un exercice sur 8 p ointsis sude la banque publique accessible sur le site http://ccp.scei-concours.fr
un exercice sur 12 p oints. Les deux exercices proposés portent sur des domaines différents. Ce document contient les112 exercices de la banque pour la session 2019:58 exercices d"analyse ( exercice 1 à exercice 58).
36 exercices d"algèbre (exercice 59 à exercice 94).
18 exercices de probabilités (exercice 95 à exercice 112).
Dans l"optique d"aider les futurs candidats à se préparer au mieux aux oraux des CCP, chaque exercice de la
banque est proposé, dans ce document, avec un corrigé. Il se peut que des mises à jour aient lieu en cours d"année scolaire.Cela dit, il ne s"agira, si tel est le cas, que de mises à jour mineures : reformulation de certaines questions pour
plus de clarté, relevé d"éventuelles erreurs, suppression éventuelle de questions ou d"exercices.
Nous vous conseillons donc de vérifier, en cours d"année, en vous connectant sur le site : http://ccp.scei-concours.frsi une nouvelle version a été mise en ligne, la date de la dernière mise à jour figurant en haut de chaque page.
Si tel est le cas, les exercices concernés seront signalés dans le présent document, page 3.
Remerciements à David DELAUNAY pour l"autorisation de libre utilisation du fichier source de ses corrigés des
exercices de l"ancienne banque, diffusés sur son sitehttp://mp.cpgedupuydelome.fr NB : la présente banque intègre des éléments issus des publications suivantes : A. Antibi, L. d"Estampes et interrogateurs, Banque d"exercices de mathématiques pour le programme2003-2014 des oraux CCP-MP,Éd. Ress. Pédag. Ouv. INPT,0701(2013) 120 exercices.
http://pedagotech.inp-toulouse.fr/130701 D. Delaunay, Prépas Dupuy de Lôme, cours et exercices corrigés MPSI - MP, 2014. http://mp.cpgedupuydelome.fr L"équipe des examinateurs de l"oral de mathématiques des CCP, filière MP.Contact: Valérie BELLECAVE, coordonnatrice
des oraux de mathématiques des CCP, filière MP. vbellecave@gmail.comCC BY-NC-SA 3.0 FR Page 2
Banque épreuve orale de mathématiques session 2019, CCP-MP Mise à jour : 13/09/18MISES À JOUR :
Les mises à jour signalées sont des mises à jour par rapport à la dernière version publiée sur le site des concours,
en date du 18/09/17. mise à jour du 13/09/18: exercice 3corrigé 3. : (fg)(n+1)(x) =nX k=1 n k +n k1 f (n+1k)(x)g(k)(x) +n 0 f (n+1)(x)g(0)(x) +n n f (0)(x)f(n+1)(x) remplacé par (fg)(n+1)(x) =nX k=1 n k +n k1 f (n+1k)(x)g(k)(x) +n 0 f (n+1)(x)g(0)(x) +n n f (0)(x)g(n+1)(x) exercice 8corrigé 2.(a) : vosinage changé en voisinage. exercice 17corrigé 2. ligne 7 : rajout de absolument. exercice 29corrigé 3. : une hypothèse rajoutée.exercice 47énoncé : disque ouvert de convergence remplacé par intervalle ouvert de convergence.
exercice 48corrigé 2.c :dnetan;kintroduits en début de corrigé.exercice 49corrigé 1.b :Mchangé enKqui est introduit (pas forcément leMde la remarque précédente).
exercice 52 énoncé : question 2.a reformulée. exercice 53corrigé 1.c autre méthode :sup x2[0;+1[jfn(x)j=fn(13 14 n) =14314 nremplacé par sup x2[0;+1[jfn(x)j=fn(13 14 n) =334 4n. exercice 64énoncé : rajout de l"adjectif finie.exercice 69corrigé 2. : pour le calcul du polynôme caractéristique,Xchangé enetPA(X)changé enA.
exercice 71énoncé : énoncé reformulé.exercice 83énoncé : première ligne remplacée par : Soituetvdeux endomorphismes d"unR-espace vectorielE.
exercice 84corrigé : soultion changé en solution. exercice 94énoncé et corrigé : mod(17)et mod(15)remplacés par[15]et[17]. exercice 98corrigé : succés remplacé par succès. exercice 103énoncé : introduction des paramètres1,2,etp. exercice 109corrigé : Autre méthode rajoutée pour 2.exercice 110énoncé et corrigé : question 1.(a) reformulée et corrigé 1.(a) reformulé.
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Banque épreuve orale de mathématiques session 2019, CCP-MP Mise à jour : 13/09/18BANQUE ANALYSE
EXERCICE 1 analyse
Énoncé exercice 1
1.On considère deux suites n umériques(un)n2Net(vn)n2Ntelles que(vn)n2Nest non nulle à partir d"un
certain rang etuns+1vn. Démontrer queunetvnsont de même signe à partir d"un certain rang. 2. Déterminer le signe, au v oisinagede l"infini, de : un=sh1n tan1nCorrigé exercice 1
1.P arh ypothèse,9N02N=8n2N;n>N0=)vn6= 0.
Ainsi la suiteunv
n est définie à partir du rangN0.De plus, commeuns+1vn, on alimn!+1u
nv n= 1.Alors,8" >0,9N2N=N>N0et8n2N;n>N=)u
nv n16". (1)Prenons"=12
. Fixons un entierNvérifiant(1).Ainsi,8n2N;n>N=)u
nv n1612C"est-à-dire,8n2N;n>N=) 12
6unv n1612On en déduit que8n2N;n>N=)unv
n>12Et donc,8n2N;n>N=)unv
n>0. Ce qui implique queunetvnsont de même signe à partir du rangN. 2.Au v oisinagede +1, sh(1n
) =1n +16n3+o1n 3 ettan1n =1n +13n3+o1n 3 . Doncuns+116n3. On en déduit, d"après 1., qu"à partir d"un certain rang,unest négatif.CC BY-NC-SA 3.0 FR Page 4
Banque épreuve orale de mathématiques session 2019, CCP-MP Mise à jour : 13/09/18EXERCICE 2 analyse
Énoncé exercice 2
On posef(x) =3x+ 7(x+ 1)2.
1.Décomp oserf(x)en éléments simples.
2.En déduire que fest développable en série entière sur un intervalle du type]r;r[(oùr >0).
Préciser ce développement en série entière et déterminer, en le justifiant, le domaine de validitéDde ce
développement en série entière. 3. (a)Soit Panxnune série entière de rayonR >0.
On pose, pour toutx2]R;R[,g(x) =+1X
n=0a nxn. Exprimer, pour tout entierp, en le prouvant,apen fonction deg(p)(0). (b) En déduire le dév eloppementlimité de fà l"ordre 3 au voisinage de 0.Corrigé exercice 2
1. En utilisan tles métho deshabituel lesde décomp ositionen élémen tssimple s,on trouv e: f(x) =3x+ 1+4(x+ 1)2. 2.D"après le cours, x7!1x+ 1etx7!1(x+ 1)2sont développables en série entière à l"origine.
De plus, on a8x2]1;1[,11 +x=+1P
n=0(1)nxn.Et,8x2]1;1[,1(1 +x)2=+1P
n=1(1)n+1nxn1( obtenu par dérivation du développement précédent).On en déduit quefest développable en série entière en tant que somme de deux fonctions développables en
série entière.Et8x2]1;1[,f(x) = 3+1P
n=0(1)nxn+ 4+1P n=0(1)n(n+ 1)xn.C"est-à-dire :8x2]1;1[,f(x) =+1X
n=0(4n+ 7)(1)nxn. NotonsDle domaine de validité du développement en série entière def.D"après ce qui précéde,]1;1[D.
NotonsRle rayon de convergence de la série entièreX(4n+ 7)(1)nxn.D"après ce qui précédeR>1.
Posons, pour tout entier natureln,an= (4n+ 7)(1)n. Pourx= 1etx=1,limn!+1janxnj= +1doncX(4n+ 7)(1)nxndiverge grossièrement.DoncR61,162Det162D.
On en déduit queD= ]1;1[.
3. (a)Soit Panxnune série entière de rayonR >0.
On pose, pour toutx2]R;R[,g(x) =+1X
n=0a nxn.D"après le cours,gest de classeC1sur]R;R[.
De plus,8x2]R;R[,
g0(x) =+1X
n=1na nxn1=+1X n=0(n+ 1)an+1xn g00(x) =+1X
n=1n(n+ 1)an+1xn1=+1X n=0(n+ 1)(n+ 2)an+2xn.CC BY-NC-SA 3.0 FR Page 5
Banque épreuve orale de mathématiques session 2019, CCP-MP Mise à jour : 13/09/18 et, par récurrence, on a :8p2N,8x2]R;R[,g(p)(x) =+1X
n=0(n+ 1)(n+ 2):::(n+p)an+pxn=+1X n=0(n+p)!n!an+pxn.Ainsi, pour toutp2N,g(p)(0) =p!ap.
C"est-à-dire, pour toutp2N,ap=g(p)(0)p!.
(b)fest de classeC1sur]1;1[. Donc d"après la formule de Taylor-Young, au voisinage de0,f(x) =3X p=0f (p)(0)p!xp+o(x3). (*)Or, d"après 3.(a), pour tout entierp,f(p)(0)p!est aussi la valeur dupièmecoefficient du développement en
série entière def. Donc, d"après 2., pour tout entierp,f(p)(0)p!= (4p+ 7)(1)p. (**) Ainsi, d"après (*) et (**), au voisinage de0,f(x) =3X p=0(4p+ 7)(1)pxp+o(x3). C"est-à-dire, au voisinage de0,f(x) = 711x+ 15x219x3+o(x3).CC BY-NC-SA 3.0 FR Page 6
Banque épreuve orale de mathématiques session 2019, CCP-MP Mise à jour : 13/09/18EXERCICE 3 analyse
Énoncé exercice 3
1.On p oseg(x) = e2xeth(x) =11 +x.
Calculer, pour tout entier naturelk, la dérivée d"ordrekdes fonctionsgethsur leurs ensembles de
définitions respectifs. 2.On p osef(x) =e2x1 +x.
En utilisant la formule de Leibniz concernant la dérivéenièmed"un produit de fonctions, déterminer, pour
tout entier naturelnet pour toutx2Rnf1g, la valeur def(n)(x). 3.Démon trer,dans le cas g énéral,la form ulede Leibniz, utilisée dans la question précéden te.
Corrigé exercice 3
1.gest de classeC1surRethest de classeC1surRnf1g.
On prouve, par récurrence, que :
8x2R,g(k)(x) = 2ke2xet8x2Rnf1g,h(k)(x) =(1)kk!(1 +x)k+1.
2.gethsont de classeC1surRnf1gdonc, d"après la formule de Leibniz,fest de classeC1surRnf1g
et8x2Rnf1g: f (n)(x) =nX k=0 n k g (nk)(x)h(k)(x) =nX k=0 n k 2 nke2x(1)kk!(1 +x)k+1=n!e2xnX k=0(1)k2nk(nk)!(1 +x)k+1. 3.Notons (Pn)la propriété :
Sif:I!Retg:I!Rsontnfois dérivables surIalors,fgestnfois dérivable surIet :8x2I,(fg)(n)(x) =nX
k=0 n k f (nk)(x)g(k)(x).Prouvons que(Pn)est vraie par récurrence surn.
La propriété est vraie pourn= 0et pourn= 1(dérivée d"un produit).Supposons la propriété vraie au rangn>0.
Soitf:I!Retg:I!Rdeux fonctionsn+ 1fois dérivables surI.Les fonctionsfetgsont, en particulier,nfois dérivables surIet donc par hypothèse de récurrence la
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