[PDF] Cours Mathématiques MP 16 oct. 2015 Cours Mathé

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Cours Mathématiques MP

david Delaunay

16 octobre 2015

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Première partie

Algèbre

3

Chapitre 1

Groupes

1.1 L"ensembleZ=nZ

1.1.1 Relation d"équivalence

DéfinitionOn appelle relation d"équivalence sur un ensembleEtoute relation binaireRvérifiant1)Rest réflexive i.e.8x2E;xRx;2)Rest symétrique i.e.8x;y2E;xRy)yRx:3)Rest transitive i.e.8x;y;z2E;xRyetyRz)xRz;ExempleL"égalité est une relation d"équivalence surE.

ExempleL"équivalence des suites (ou de fonctions au voisinage dea2R) est une relation d"équivalence.

ExempleL"équivalence des matrices deMn;p(K).

RemarquePlus généralement, pour une applicationf:E!F, la relationRdonnée par xRy,f(x) =f(y) définit une relation d"équivalence surE. RemarqueEn fait, une relation d"équivalence se comprend comme "une égalité modulo certains critères» . 5

1.1. L"ENSEMBLEZ=NZ1.1.2 Classe d"équivalence

SoitRune relation d"équivalence surE.

DéfinitionOn appelle classe d"équivalence d"un élémentxdeEpour la relationR, le sous-ensemble noté

Cl(x)formé des éléments qui sont en relation avecx

Cl(x)=

déffy2E=xRyg

La classe d"équivalence dexest encore souvent notéex;x;^x,...ExempleConsidéronsE=fa;b;c;d;egetf:E! f0;1;2gdéfinie par

f(a) = 0;f(b) = 1;f(c) = 0;f(d) = 1etf(e) = 2

La relationRdéfinie par

xRy,f(x) =f(y)

est une relation d"équivalence que l"on peut visualiser ainsiPour celle-ciCl(a) =Cl(c) =fa;cg,Cl(b) =Cl(d) =fb;dgetCl(e) =feg.

RemarqueCl(x)réunit les éléments deEqui sont "égaux modulo la relationR» .

Théorèmea)8x2E;x2Cl(x);b)8x;y2E,xRy)Cl(x) =Cl(y);c)8x;y2E,x6 Ry)Cl(x)\Cl(y) =;Ainsi une classe d"équivalence n"est jamais vide et deux classes d"équivalence distinctes sont

disjointes.dém. : x2Cl(x)car la relationRest réflexive. SixRyalors pour toutz2Cl(y)on ayRzet doncxRzpar transitivité. AinsiCl(y)Cl(x)et par symétrie on a l"autre inclusion et donc l"égalité. Enfin, par contraposée, siCl(x)\Cl(y)6=;alors pour un certainz2Cl(x)\Cl(y), on axRzetyRz donc par symétrie et transitivité, on obtientxRy. RemarqueSiyest élément d"une classe d"équivalenceCl(x)alorsxRyet doncCl(x) =Cl(y). Ainsi,

tout élément d"une classe d"équivalence détermine celle-ci.http://mp.cpgedupuydelome.fr 6

CHAPITRE 1. GROUPES

Définition

Tout élémentyd"une classe d"équivalence est appelé représentant de celle-ci.1.1.3 Ensemble quotient

SoitRune relation d"équivalence surE. Les classes d"équivalence réalisent une partition deE; cette

partition est obtenue en regroupant entre eux les éléments qui sont "égaux modulo la relationR» .

ExempleConsidérons la relation d"équivalence précédente surE=fa;b;c;d;eg. Celle-ci réalise une partition deEen 3 classes d"équivalence. DéfinitionOn appelle ensemble quotient deEparRl"ensemble des classes d"équivalence pour rela-

tionR.On le noteE=R.RemarqueE=Rse comprend comme l"ensemble obtenu lorsqu"on "identifie entre eux les éléments

qui sont égaux moduloR» . ExempleL"ensembleQdes nombres rationnels se construit comme l"ensemble quotient deZZ? pour la relation (a;b)R(c;d),ad=bc La classe d"équivalence d"un couple(a;b)est alors notéea=b.

1.1.4 L"ensembleZ=nZ

Soitn2N?.

DéfinitionOn définit surZla relation de congruence modulonpar ab[n],nj(ba)Proposition La relation de congruence modulonest une relation d"équivalence surZ.dém. : La relation est réflexive caraa[n]puisquenj(aa). La relation est symétrique carab[n])ba[n]puisquenj(ba))nj(ab). Enfin, la relation est transitive carab[n]etbc[n])ac[n]puisquenj(ba)etnj (cb))nj(ca). http://mp.cpgedupuydelome.fr 7

1.1. L"ENSEMBLEZ=NZDéfinition

Poura2Z, on noteala classe d"équivalence dea2Zpour la relation de congruence modulon.Ainsi a=fa+kn=k2Zg=a+nZDéfinition On noteZ=nZl"ensemble quotient deZpour la relation de congruence modulon.Théorème Z=nZest un ensemble fini ànéléments qui sont

0;1;:::;(n1)dém. :

0;1;:::;(n1)sont des éléments deZ=nZ.

Poura;b2 f0;:::;n1g,

a=b)nj(ba))a=b

Par suite, les classes

0;1;:::;(n1)sont deux à deux distinctes.

Pour touta2Z=nZ, en considérant le rester2 f0;1;:::;n1gde la division euclidienne deaparn, on obtienta= r. Ainsi toutes les classes d"équivalence figurent parmi0;1;:::;(n1). ExempleZ=2Z=f0;1g,Z=3Z=f0;1;2g,Z=4Z=f0;1;2;3g, etc.

PropositionPour touta;b;a0;b02Z,

aa0[n]etbb0[n])a+ba0+b0[n]etaba0b0[n]dém. : nja0aetnjb0bentraînentnj(a0+b0)(a+b) = (a0a) + (b0b)etnj(a0b0)(ab) = (a0a)b0+a(b0b) DéfinitionOn définit deux opérations+etsurZ=nZen posant a+b= défa+betab= défab

RemarqueLa définition ci-dessus est consistante puisque le résultat de ces opérations ne dépend pas

des représentantsa;bchoisis pour chaque classe.http://mp.cpgedupuydelome.fr 8

CHAPITRE 1. GROUPES

ExempleDansZ=6Z,3 +5 =8 =2ou encore3 +5 =3 +1 =2.35 =15 =

3ou encore35 =31 =3 =3.

1.2 Structure de groupe

1.2.1 Définition

DéfinitionOn appelle groupe tout couple(G; ?)formé d"un ensembleGet d"une loi de composition interne?surGvérifiant :1)?est associative i.e.

8a;b;c2G;(a ? b)? c=a ?(b ? c);

2)?possède un neutre i.e.

9e2G;8a2G;a ? e=a=e ? a

cet élémenteest alors unique;3) tout élément deGest symétrisable?i.e.

8a2G;9b2G;a ? b=e=b ? a

cet élémentbest alors unique et appelé symétrique dea, notéa1.Si de plus la loi?est commutative, on parle de groupe abélien.Lorsque la loi est notéeou., on dit que le groupe est noté multiplicativement (e!1,

a ? b!ab)Lorsque la loi est notée +, on dit que le groupe est noté additivement(e!0,a ? b!a+b, a

1! a). Cette dernière notation est réservée au groupe commutatif.Attention :Lorsque la loi?n"est pas commutative :

- la neutralité deese vérifie par deux compositions; - l"inversibilité d"un élément se vérifie par deux compositions; - on a(a ? b)1=b1? a1. Exemple(C;+);(R;+);(Z;+)sont des groupes abéliens de neutre 0. Exemple(C?;);(R?;);(R+?;)sont des groupes abéliens de neutre 1. Exemple(GLn(K);)est un groupe non commutatif de neutreIn.http://mp.cpgedupuydelome.fr 9

1.2. STRUCTURE DE GROUPE

1.2.2 Itéré d"un élément

Soit(G;?)un groupe de neutree.

DéfinitionPoura2Getk2Z, on noteakl"itéré d"ordrekde l"élémenta:- pourk >0,ak= défa ?? a(ktermes);- pourk= 0,a0= défe;- pourk <0,ak= défa1?? a1(jkjtermes).Proposition On a

8k;`2Z,ak? a`=ak+`et(ak)`=ak`dém. :

Il suffit de discuter selon les signes des exposants d"itérations considérés, c"est un peu lourd...

RemarqueSi le groupe est noté additivement, on notek:al"itéré d"ordrekdea. On a alors k:a+`:a= (k+`):aet`:(k:a) = (k`):a

Attention :En général

(a ? b)p6=ap? bp

En effet

(a ? b)p= (a ? b)?(a ? b)? ::: ?(a ? b) et a p? bp= (a ? a ? ::: ? a)?(b ? b ? ::: ? b)

Cependant, siaetbcommutent alors(a ? b)p=ap? bp

1.2.3 Le groupe symétrique

DéfinitionOn noteSEl"ensemble des permutations deEi.e. des bijections deEversE.Théorème

(SE;)est un groupe de neutre IdE.Ce groupe est non commutatif dès que CardE>3.ExempleSn=S(f1;:::;ng)est un groupe de cardinaln!.

Parmi ses éléments signalons :

- les transpositions= (i j)vérifiant2=Id; - lesp-cyclesc= (a1a2::: ap)vérifiantcp=Id.http://mp.cpgedupuydelome.fr 10

CHAPITRE 1. GROUPES

1.2.4 Le groupe(Z=nZ;+)

Théorème(Z=nZ;+)est un groupe abélien ànéléments de neutre0.De plus

8a2Z=nZ,a=(a)dém. :

a+b=(a+b) =(b+a) =b+ adonc+est commutative surZ=nZ. (a+b) + c=a+b+ c=(a+b) +c=a+ (b+c) = a+ (b+ c)donc+est associative surZ=nZ. a+0 =a+ 0 = a=0 + adonc0est élément neutre de(Z=nZ;+). a+(a) =aa=0 =(a) + adoncaest symétrisable eta=(a).

Exemplen= 2,Z=2Z=f0;1g.

01 0 01 1

10Exemplen= 3,Z=3Z=f0;1;2g.

012 0 012 1 120
2

201RemarqueDans une table d"opérations, sur chaque ligne figure chaque élément de groupe; cela

provient de la bijectivité de l"applicationx7!a ? xsurG. On a la même propriété sur les colonnes.

ThéorèmePour touta2Z=nZetk2Z

k:a=kadém. :

Par récurrence pourk2N.

Cask= 0:0:a=0 =0:a.

Supposons la propriété vraie au rangk>0.

(k+ 1):a=k:a+ a=

HRka+ a=ka+a=(k+ 1)a

Récurrence établie.

Pourk2Z, on peut écrirek=pavecp2N.

On a alors

k:a=(p:a) =pa=pa=ka http://mp.cpgedupuydelome.fr 11

1.2. STRUCTURE DE GROUPE

1.2.5 Produit fini de groupes

DéfinitionSoit?1;:::;?ndes lois de composition interne sur des ensemblesE1;:::;En. On appelle loi produit surE=E1 Enla loi?définie par (x1;:::;xn)?(y1;:::;yn)= déf(x1?1y1;:::;xn?nyn)Proposition Si(G1;?1),...,(Gn;?n)sont des groupes de neutrese1;:::;enalorsG=G1:::Gn muni de la loi produit?est un groupe de neutree= (e1;:::;en).De plus :

- l"inverse d"un élément(x1;:::;xn)2Gest(x11;:::;x1n);- si tous les groupes(G1;?1),...,(Gn;?n)sont commutatifs, le groupe(G;?)l"est aussi.dém. :

Soitx= (x1;:::;xn),y= (y1;:::;yn)etz= (z1;:::;zn)éléments deG1:::Gn. On a x ?(y ? z) = (:::;xi?i(yi?izi);:::) et (x ? y)? z= (:::;(xi?iyi)?izi;:::)

Puisque les lois?isont associatives, on obtient

x ?(y ? z) = (x ? y)? z

L"élémenteest neutre car

x ? e= (:::;xi?iei;:::) =xete ? x= (:::;ei?ixi;:::) =x L"élémentxest symétrisable de symétriquex0= (x11;:::;x1n)car x ? x

0= (:::;xi?ix1

i;:::) =eetx0? x= (:::;x1 i?ixi;:::) =e

Ainsi(G;?)est bien un groupe.

Si de plus les lois?isont toutes commutatives

x ? y= (:::;xi? yi;:::) = (:::;yi? xi;:::) =y ? x ExempleSi(G;?)est un groupe de neutreealors(Gn;?)est un groupe de neutre(e;:::;e). ExemplePour(G1;?1) = (G2;?2) = (Z;+), la loi produit surZ2que nous notons+est définie par : (x1;x2) + (y1;y2) = (x1+y1;x2+y2) (Z2;+)est un groupe abélien de neutre0Z2= (0;0).http://mp.cpgedupuydelome.fr 12

CHAPITRE 1. GROUPES

ExemplePour(G1;?1) = (R+?;)et(G2;?2) = (R;+), la loi produit surR+?Rque nous notons ?est définie par : (r;)?(r0;0) = (rr0;+0) (R+?R;?)est alors un groupe abélien de neutree= (1;0).

De plus

(r;)1= (1=r;)

1.3 Sous-groupes

(G;?)désigne un groupe de neutree.

1.3.1 Définition

DéfinitionOn appelle sous-groupe d"un groupe(G;?)toute partieHdeGvérifiant :1)e2H;2)8x;y2H;x ? y12H.ExemplefegetGdes sont sous-groupes de(G;?).

RemarqueLe point 1) peut aussi être transposé enH6=;car alorsH6=;et 2) entraînee2H. Le point 2) peut aussi être transposé en 2a)8x;y2H;x ? y2Het 2.b)8x2H;x12H. RemarqueSi le groupe est noté additivement 1) et 2) se relisent02Het8x;y2H;xy2H.

ThéorèmeSiHest un sous-groupe d"un groupe(G;?)alors(H;?)est un groupe de même neutre.ExempleL"ensemble des racinesn-ième de l"unité est

U n=fz2C=zn= 1g

C"est un sous-groupe de(C?;).

(Un;)est le groupe des racinesn-ième de l"unité.

Rappelons

U n=n e2ik=n=k2J0;n1Koquotesdbs_dbs10.pdfusesText_16

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