[PDF] Cours de mathématiques Partie IV – Probabilités MPSI 4

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Lycée Louis-Le-Grand, ParisAnnée 2013/2014

Cours de mathématiques

Partie IV - Probabilités

MPSI 4

Alain TROESCH

Version du:

30 mai 2014

Table des matières

1 Dénombrement3

I Combinatoire des ensembles finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 3 II Combinatoire des ensembles d"applications . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 4 II.1 Applications quelconques;p-listes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 II.2 Lemme du berger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 5

II.3 Injections;p-listes d"éléments distincts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

II.4 Surjections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 6 III Combinatoire des sous-ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 6

IV Bijection, Déesse de la Combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 7

V Tirages : les quatre modèles fondamentaux . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 8

VI Pourquoi la combinatoire? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 9

VI.1 Compter, calculer des probabilités . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 9

VI.2 Établir des égalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 9

2 Espaces probabilisés11

I Espaces probabilisables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 11

I.1 Notion d"expérience aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 11

IIσ-algèbres d"événements (ou tribus) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 12

III Espaces probabilisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 14

III.1 Mesures de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 14

III.2 Probabilités uniformes sur un univers fini . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 15

III.3 Ensembles négligeables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 16

IV Conditionnement et indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 16

IV.1 Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 16 IV.2 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 16

V Les trois théorèmes fondamentaux du calcul des probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

V.1 Formule des probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 18 V.2 Formule des probabilités composées . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 20 V.3 Formules de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 20

VI Principes généraux du calcul des probabilités . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Variables aléatoires25

I Aléas et variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 25

I.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 25 I.2 Loi d"une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 27

2Table des matières

I.3 La variablef(X). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

I.4 Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 28

I.5 Loi de probabilité d"une variable aléatoire discrète . .. . . . . . . . . . . . . . . . 29

II Moments d"une v.a.r.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 30

II.1 Espérance mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 30 II.2 Variance (dispersion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 32 II.3 Moments d"ordre k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 33 II.4 Espérance et variance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 34

III Lois discrètes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 35

III.1 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 35 III.2 Loi de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 36 III.3 Loi binomiale - nombre de succès . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 36

III.4 Loi géométrique - temps d"attente du premier succès . .. . . . . . . . . . . . . . . 37

IV Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 38

IV.1 Tableau récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 38

V Inégalités et convergences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 39

V.1 Convergence en probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 39

V.2 Inégalités en probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 39

V.3 Loi faible des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 40

4 Vecteurs aléatoires43

I Loi d"un vecteur aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 43

I.1 Vecteur aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 43 I.2 Loi conjointe, lois marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 43 I.3 Loi d"un vecteur aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 45 I.4 Lois conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 46

II Indépendance de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 46

II.1 Couples de variables aléatoires indépendantes . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 46 II.2 Familles de v.a.r. indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 47 II.3 Fonctions de variables indépendantes . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 48

III Étude deg(X1,...,Xn). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

III.1 La variableg(X1,...,Xn). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 III.2 Loi et espérance deZ=g(X1,...,Xn). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 III.3 Exemples : Espérance deX+Y, deXY. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 III.4 Covariance, variance d"une somme . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 50 III.5 Matrice des variances-covariances . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 52

IV Stabilité des lois classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 53

1

Dénombrement

Le dénombrement est à la base d"un grand nombre de calculs de probabilités, notamment dans une

situation d"équiprobabilité : dans ce cas, en effet, de façonassez intuitive, la probabilité d"un événement

est le rapport entre le nombre d"issues favorables et le nombre total d"issues possibles. Même dans des

situations plus complexes, les dénombrements élémentaires gardent une place centrale.

Pour cette raison, le dénombrement semble trouver sa place naturelle au début d"un cours de probabilité,

même si ses applications sont beaucoup plus diverses dans l"ensemble des mathématiques.

I Combinatoire des ensembles finis

Comme nous l"avons déjà défini dans les fondements, le cardinal d"un ensemble fini correspond de façon

intuitive à son nombre d"éléments. De façon plus rigoureuse:

Définition 1.1.1 (Cardinal d"un ensemble)

Eest de cardinaln?N, si et seulement s"il existe une bijection?: [[1,n]]→E. On noteCard(E) =n, ou|E|=n, ou encore?E=n.

En particulier :

• |E|= 0si et seulement siE=∅,

• |[[1,n]]|=n.

Voyons maintenant les différentes règles de calcul des cardinaux relatives aux différentes constructions

possibles sur les ensembles. Proposition 1.1.2 (Cardinal d"une union disjointe)

SoitA,B,A1,...,Andes ensembles finis.

1. SiA∩B=∅, alors|A?B|=|A|+|B|.

2. Plus généralement, si pour tout(i,j)?[[1,n]]2tel quei?=j,Ai∩Aj=∅, alors

|A1? ··· ?An|=|A1|+···+|An|. Proposition 1.1.3 (Cardinal d"un complémentaire)

SiA?B, alors???BA??=|B| - |A|.

4CHAPITRE 1. DÉNOMBREMENT

Proposition 1.1.4 (Cardinal d"un sous-ensemble)

SiA?B, alors|A|?|B|, avec égalité si et seulement siA=B.

On en déduit notamment une caractérisation fort similaire àcelle qu"on a pour les isomorphismes en

dimension finie : Corollaire 1.1.5 (Caractérisation des bijections)

SoitAetBdeux ensembles finis de même cardinal, etf:A→B. Alors les 3 propriétés suivantes sont

équivalentes :

(i)fest bijective (ii)fest injective (iii)fest surjective Proposition 1.1.6 (Cardinal d"une union quelconque)

SoitAetBdes ensembles finis. On a :

|A?B|=|A|+|B| - |A∩B|.

Plus généralement, on a :

Théorème 1.1.7 (Formule du crible de Poincaré, ou formule d"inclusion-exclusion, HP)

SoitA1,...,Andes ensembles finis. Alors :

|A1? ··· ?An|=n? k=1(-1)k-1?

1?i1<···

I?[[1,n]]

I?=∅(-1)|I|-1??????

i?IA i????? Proposition 1.1.8 (Cardinal d"un produit cartésien)

1. SoitAetBdeux ensembles finis. Alors|A×B|=|A| × |B|.

2. Plus généralement, soitA1,...,Andes ensembles finis; Alors

|A1× ··· ×An|=n? i=1|Ai|.

II Combinatoire des ensembles d"applications

II.1 Applications quelconques;p-listes

Proposition 1.2.1 (Cardinal de l"ensemble des applications) SoitEetFdeux ensembles finis. On rappelle qu"on noteFEl"ensemble des applications deEversF.

Alors|FE|=|F||E|.

II Combinatoire des ensembles d"applications5

Définition 1.2.2 (p-listes)

Unep-listed"éléments deF(oup-uplet) est un élément(x1,...,xp)deFp.

Unep-liste peut être vue indifféremment comme un élément d"un produit cartésienF× ··· ×F, ou de

l"ensembleF[[1,p]]des fonctions de[[1,p]]dansF, associantxiài. Ce second point de vue aura l"avantage

de mieux comprendre certaines propriétés imposées sur une liste. Ainsi, les listes d"éléments distincts

correspondent aux fonctions injectives.

Évidemment, les deux points de vue amènent de façon immédiate le dénombrement suivant :

Proposition 1.2.3 (Nombre dep-listes)

Le nombre dep-listes d"éléments deFest|F|p.

Enfin, étant donnéEun ensemble fini, L"ensembleP(E)peut être mis en bijection avec l"ensemble des

applications deEvers{0,1}viales fonctions caractéristiques. On obtient donc : Proposition 1.2.4 (Cardinal de l"ensemble des parties) |P(E)|= 2|E|.

II.2 Lemme du berger

Lemme 1.2.5 (Lemme du berger)

Soitf:E→Fune application surjective. On suppose qu"il existe un entierk?N?tel que pour tout

y?F,|f-1(y)|=k(tous les éléments deFont le même nombrekd"antécédents). Alors|E|=k·|F|.

Remarque 1.2.6

Le lemme du berger permet de formaliser la notion de " choix successif ». Il est souvent utilisé de

façon implicite dans les raisonnements. Il faut essentiellement en retenir que lorsqu"on fait des choix

successifs, et qu"à chaque étape, le nombre de possibilité ne dépend pas de la situation dans laquelle on

se trouve (c"est-à-dire des choix précédents), alors le nombre total de possibilités s"obtient en faisant le

produit du nombre de possibilités à chaque étape. II.3 Injections;p-listes d"éléments distincts Théorème 1.2.7 (Dénombrement des injections) SoitAetBdeux ensembles de cardinaux respectifspetn. Alors, sip?n, le nombre d"injections de

AversBestApn=n!

(n-p)!. Sip > n, il n"existe pas d"injection deAversB. Une transcription en terme de listes donne alors : Proposition 1.2.8 (Dénombrement desp-arrangements) SoitFde cardinalnetp?n. Le nombre dep-listes d"éléments distincts deF(oup-arrangements de

F) estApn=n!

(n-p)!.

6CHAPITRE 1. DÉNOMBREMENT

Corollaire 1.2.9 (Nombre de permutations d"un ensemble)

1. SoitEun ensemble fini. Alors|SE|=|E|!

2. En particulier,|Sn|=n!

II.4 Surjections

Dénombrer les surjections est un problème plus dur (lié à ce qu"on appelle les nombres de Stirling). Nous

nous contentons ici d"un exemple.

Exemple 1.2.10

Le nombre de surjections de[[1,n]]dans[[1,n-1]]est(n-1)!?n 2?

III Combinatoire des sous-ensembles

Nous rappelons la définition du coefficient binomial

Définition 1.3.1 (Coefficient binomial)

Lecoefficient binomial?n

k? est le nombre de parties àkéléments de[[1,n]].

Nous avons déjà vu au début de l"année l"expresion du coefficient binomial pourk?[[0,n]](les autres

valeurs sont nulles) :?n k? =n! k!(n-k)!.

Nous nous évertuerons dans ce chapitre à ne considérer, dansla mesure du possible, que la définition

combinatoire du coefficient binomial, et non son expression.

Nous avons déjà eu l"occasion de mentionner le fait que la définition combinatoire même du coefficient

binomial fournit diverses inerprétations possibles en terme de dénombrement, les plus importantes étant

les suivantes :

•?n

p? est le nombre de mots de longueurn, constitué deplettresaetn-plettresb. ?n p? est le nombre de chemins de longueurnconsitués deppas vers le haut etn-ppas vers la droite.

Ainsi,

?a+b a? est le nombre de chemins constitués de pas à droite et vers le haut, reliant(0,0)à(a,b).

La définition combinatoire du coefficient binomial permet d"obtenir assez élégamment certaines formules,

comme par exemple la formule du binôme.

Exemple 1.3.2

Démonstration combinatoire de la formule du binôme :(a+b)n=n? k=0? n k? a kbn-k.

Évidemment, on peut préférer la classique démonstration par récurrence pour prouver cette formule, mais

la formule du multinôme montre toute la puissance de cette méthode, la démonstration combinatoire

étant dans cette situation à peine plus délicate que celle dela formule du binôme (contrairement à la

démonstration par récurrence beaucoup plus fastidieuse) :

IV Bijection, Déesse de la Combinatoire7

Définition 1.3.3 (Coefficient multinomial)

Soitn?N?,k?N?eti1,...,ikdes entiers naturels tels quei1+···+ik=n. Lecoefficient multinomial?n

i

1,...,ik?

est le nombre de partitions ordonnées(A1,...,Ak)àkparts de[[1,n]], telles que pour tout j?[[1,k]],|Aj|=ij Théorème 1.3.4 (Formule du multinôme, HP)

Soit(x1,...,xk)?Rketn?N. On a :

(x1+···+xk)n=? (i1,...,ik)?Nk i

1+···+ik=n?

n i

1,...,ik?

x i11···xikk.

Évidemment, cette formule n"est vraiment utile en pratiquequ"après avoir explicité les coefficients multi-

nomiaux : Proposition 1.3.5 (Expression des coefficients multinomiaux) Soit(i1,...,ik)?Nktels quei1+···+ik=n. On a ?n i

1,...,ik?

=n! i1!···ik!.

IV Bijection, Déesse de la Combinatoire

La bijection étant au coeur-même de la définition du cardinal, elle tient un rôle central dans un grand

nombre de problèmes de dénombrement. On obtient en particulier le principe fondamental suivant :

Méthode 1.4.1 (Principe fondamental du dénombrement)

Pour montrer que deux ensembles ont même cardinal, il suffit deconstruire une bijection entre eux.

Ainsi, pour déterminer le cardinal d"un ensemble, on le met souvent en bijection avec un ensemble " de

référence » dont on connaît le cardinal. Exemple 1.4.2 (Démonstration combinatoire de la symétrie des coefficients binomiaux)

Le passage au complémentaire définit une bijection de l"ensemble des parties àkéléments de[[1,n]]vers

l"ensemble des parties àn-kéléments de[[1,n]]. On obtient donc de manière purement combinatoire

la formule?n k? =?n n-k?

Voici quelques autres exemples, qui représentent des situations très classiques, à bien connaître :

Exemples 1.4.3

1. Dénombrer lesp-listes(k1,...,kp)d"entiers strictement positifs tels quek1+···+kp=n.

2. Dénombrer lesp-listes(k1,...,kp)d"entierspositifs ou nulstels quek1+···+kp=n.

3. Dénombrer lesp-listes strictement croissantes d"éléments de[[1,n]].

4. Dénombrer lesp-listes croissantes d"éléments de[[1,n]].

8CHAPITRE 1. DÉNOMBREMENT

V Tirages : les quatre modèles fondamentaux

On récapitule ici les dénombrements étudiés précédemment dans la situation concrète de tirages. C"est

souvent sous cette forme qu"apparaissent les dénombrements dans des problèmes de probabilités.

La question qu"on se pose est de trouver le nombre de façons detirerpboules parminboules numérotées

(donc discernables). Ce nombre dépend bien entendu du mode de tirage. Nous rappelons ici les quatre

modes possibles de tirage (le dernier étant plus anecdotique que les 3 premiers). Tirage successif avec remise, ou arrangements avec répétition

On a un ordre précis des boules (tirage successif), avec d"éventuelles répétitions (tirage avec remise). Un

résultat correspond donc à unep-liste d"éléments de[[1,n]] Proposition 1.5.1 (Dénombrement des tirages successifs avec remise) Le nombre de tirage successifs avec remise depboules parminestnp.

Tirage successif sans remise, ou arrangements

On a toujours un ordre de tirage, mais cette fois, les répétitions ne sont plus autorisés. Un résultat

correspond donc à unep-liste d"éléments distincts de[[1,n]]. Proposition 1.5.2 (Dénombrement des tirages successifs sans remise) Le nombre de tirages successifs sans remise depboules parminestApn=n! (n-p)!. Tirage simultané, ou combinaison (sans répétition)

On perd la notion d"ordre du tirage : il n"y a plus de première boule tirée, puis de seconde etc. Il ne peut

évidemment pas y avoir de répétition. Ainsi, un résultat estun sous-ensemble àpéléments de[[1,n]].

Proposition 1.5.3 (Dénombrement des tirages simultanés) Le nombre de tirages simultanés depboules parminest?n p? Tirage simultané avec répétitions, ou combinaison avec répétition (" Ma parole, Monsieur Troesch a perdu la boule! »)

Il peut s"agir de :

•Tirage simultané d"une boule dans chacune despurnes non numérotées contenant chacunenboules

numérotées;

•Tirage simultané dans une urne contenant une infinité d"exemplaire de chacune des boules numérotées

de1àn, en proportions égales; •Tirage successif avec remise dans une urne contenantnboules, puis oubli de l"ordre de tirage

Un résultat est donc donné par le nombre d"occurrence de chaque boule dans le tirage, positif ou nul, de

somme égale au nombre de boules tirées. On a donc autant de façons de tirer de la sorte que den-uplets

(k1,...,kn)tels quek1+···+kn=p. Proposition 1.5.4 (Nombre de tirages simultanés avec répétitions) Le nombre de tirages simultanés avec répétitions depboules parminest?n+p-1 p?

VI Pourquoi la combinatoire?9

VI Pourquoi la combinatoire?

VI.1 Compter, calculer des probabilités

Exemple 1.6.1

Probabilité d"obtenir un total de6en lançant3dés à 6 faces.

VI.2 Établir des égalités

Idée :dénombrer de deux manières différentes le même ensemble, de manière à obtenir des relations,

dont certaines ne sont pas toujours évidentes à démontrer analytiquement. Méthode 1.6.2 (Démonstration combinatoire d"une formule)

1. Trouver un modèle adapté à la formule, autrement dit un ensemble d"objets dont le dénombrement

fournira un des membres de l"égalité. Pour cela, il est préférable de s"aider du membre le plus

simple de l"égalité.

2. Dénombrer cet ensemble de deux façons différentes. Souvent, on procède d"une part à un dénom-

brement direct, et d"autre part à un dénombrement après avoir effectué un tri (de façon formelle,

cela revient à définir une partition de l"ensemble). Le résultat d"un dénombrement par tri se

traduit par une somme.

3. Évidemment, cette méthode n"est adaptée qu"à des formules portant sur des nombres entiers, si

possible positifs. Il est parfois possible de se ramener à cette situation par un prétraitement de la

formule à démontrer.

Exemples 1.6.3

1. Formule de Pascal :?n

k? =?n-1 k-1? +?n-1 k? 2. n?k=0? n k? = 2 n.

3. Formule de Vandermonde :

n?k=0? N k?? M n-k? =?N+M n?

4. Formule de sommation :

p? k=0? n+k n? =?n+p+ 1 n+ 1?

5. C"est un cas particulier d"une formule plus générale, de type Vandermonde :

n k=0? k N?? n-k M? =?n+ 1

M+N+ 1?

Ces trois dernières formules ne sont pas explicitement au programme, mais il peut être utile de les con-

naître (et de savoir les redémontrer). Elles peuvent intervenir notamment dans certains calculs d"espérance

ou de variance.

10CHAPITRE 1. DÉNOMBREMENT

2

Espaces probabilisés

I Espaces probabilisables

I.1 Notion d"expérience aléatoire

Uneexpérience aléatoireest une donnée intuitive : c"est une expérience dont le résultat ne dépend que

du hasard.

Définition 2.1.1 (Univers)

•Unrésultat, ou uneissuede l"expérience est une donnée issue de l"expérience aléatoire; une même

expérience peut fournir différents résultats, suivant ce qu"on veut étudier de l"expérience.

•L"universΩest l"ensemble des issues possibles d"une expérience. On l"appelle aussi parfois ensemble

(ou univers) des possibles.

Une même expérience peut fournir plusieurs univers différents suivant ce qu"on veut en tirer.

Intuitivement, un événement correspond à un groupement d"issues possibles vérifiant une certaine pro-

priété. Ainsi, il s"agit d"un ensemble d"issues, donc d"un sous-ensemble de l"univers. Définition 2.1.2 (Évenement, définition intuitive)

Un événement est un sous-ensemble deΩ. Pour certaines raisons techniques, lorsqueΩn"est pas fini, on

est parfois amené à se restreindre et à ne pas considérer tousles sous-ensembles comme des événements,

ce que nous formaliserons plus loin avec la notion de tribu.

La plupart des notions ensemblistes ont une traduction dansle langage des probabilités, afin de mieux

traduire leur interprétation intuitive.

Terminologie 2.1.3 (Vocabulaire probabiliste)

•Événement élémentaire, ouépreuve: un singleton{ω} ?Ω. •Événement certain: l"événementΩ. •Événement impossible: l"événement∅. •Événement contraire de l"événementA: l"événement

A=?ΩA.

•AentraîneBsiA?B

•Événement "AetB»:A∩B

•Événement "AouB»:A?B

•AetBsont ditsincompatiblessiA∩B=∅.

•une famille{Ai,i?I}est diteconstituée d"événements deux à deux incompatiblessi pour tout

(i,j)?I2tel quei?=j,AietAjsont incompatibles.

12CHAPITRE 2. ESPACES PROBABILISÉS

Définition 2.1.4 (Système complet d"événements)

Un système complet d"événements est une famille{Ai,i?I}formant une partition deΩ. Autrement

dit :

•Les événementsAisont non vides;

•La famille est constituée d"événements deux à deux incompatibles; i?IA i= Ω.

IIσ-algèbres d"événements (ou tribus)

Souvent, la définition de la mesure de probabilité sur tous les sous-ensembles deΩ, n"est pas pertinente,

ou peut poser des problèmes techniques. Pour cette raison, il peut être intéressant de pouvoir ne définir

la mesure de probabilité que sur une classe particulière de sous-ensembles deΩ. L"objet de ce paragraphe

et du suivant est de définir un type satisfaisant de classe de sous-ensembles à laquelle se restreindre.

Voici nos exigences pour la construction d"une telle classe:

•L"événement certainΩet l"événement impossible ont une probabilité, donc appartiennent à la classe;

•Pour tout événementAdont on sait calculer la probabilité, on voudrait pouvoir calculer la probabilité

de A; •Si on dispose d"une probabilité surAetB, on voudrait disposer d"une probabilité surA?B.

•Plus généralement, on souhaite pouvoir calculer la probabilité d"une union infinie dénombrable d"événe-

ments. Cela nous amène à la définition suivante : Définition 2.2.1 (σ-algèbre, ou tribu, HP)

SoitΩun univers (fini ou non). Uneσ-algèbreAd"événements surΩ(ou tribu) est un sous-ensemble

TdeP(Ω)telle que :

1.Ω? A;

2.?A? P(Ω), A? A=?

A? A(stabilité par complémentation);

3. Pour tout famille dénombrable(Ai)i?Id"éléments deT,?

i?IAiest dansT(stabilité par union dénombrable) Nous complétons les propriétés imposées par la définition par les suivantes : Proposition 2.2.2 (Propriétés des tribus, HP)quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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