[PDF] Résume du cours de Mécanique Analytique

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Resume du cours de Mecanique Analytique

jean-eloi.lombard@ep .ch

22 janvier 2009

Table des matieres

1

Equations de Lagrange1

1.1 Calcul des variations

3

1.2 Principe de moindre action

3

1.3 Theoreme des extremumms lies

4

1.4 Principe de moindre action et contraintes holonomes

4

1.5 Contraintes Integrales

4

1.6 Theoreme de Noether

5 2

Equations de Hamilton5

2.1 Introduction

5

2.2 Crochets de Poisson

6

2.3 Transformation canonique et fonction generatrice

6

2.4 Transformation canonique et structure symplectique

8

2.5 Transformation canonique et crochet de Poisson

8

2.6Equation de Hamilton-Jacobi. . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.6.1 Cas general

9

2.6.2Hindependant det. . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

2.6.3 Separation des variables

9

3 Espace des phases

9 1

Equations de Lagrange

Denition 1 (Integrale premiere)Uneintegrale premiereest une fonc- tion des positions, des vitesses et du temps qui est conservee au cours du temps. Remarque 1Chaque integrale premiere conduit a uneequation dierentielle du premier ordre. 1 Denition 2 (Contrainte holonome)Unecontrainte holon^omeest une contrainte ou les vitesses n'apparaissent pas, elle peut se mettre sous la forme : f(r1;:::;rn;t) = 0 Denition 3 (Systeme de coordonnees generalisees)Un systeme de coordonneesqjavecj= 1;:::;3Nkqui permet de decrire un systeme sa- tisfaisant leskcontraintes holon^omes auxquelles il est soumis est unsysteme de coordonees generalisees. Denition 4 (Force generalisee)Pour un systeme deNparticules decrit parncoordonnees generaliseesqj,les forces generaliseessont denie par : Q j=X iF i@ri@qj Proposition 1Si les forcesFjdependent d'un potentielValors : Q j=@V@q j Denition 5 (Deplacement virtuel)Un deplacement innitesimal est dit virtuelsi a un instant donne il satisfait les contraintes holon^omes imposees par le systeme. Principe 1 (de d'Alembert)Pour tout deplacement virtuelri: X i(Fi_pi)_ri= 0

Denition 6 (

Equations de Lagrange)SoitTl'energie cinetique du systeme, Vl'energie potentielle etL=TVle Lagrangien, alors lesequations de

Lagrangesont denies par :

ddt @L@_qj @L@q j= 0(1)

Denition 7 (Variable cyclique)Si@L@q

j= 0, c'est-a-dire Lagrangien ne depend pas deqjalors la quantite@L@_qj=cst:et on dit que la variableqjest cyclique. Denition 8 (Impulsion generalisee)L'impulsion generaliseede la co- ordonneesqjest denie par : p j:=@L@_qj 2 Denition 9 (Systeme isole)Un systeme est ditisolesi son Lagrangien ne depends pas du temps @L@t = 0. On deni alors la fonction hamiltonienne hpar : h(q1;:::;qn;_q1;:::;_qn) =X i_qi@L@_qiL=cst:

1.1 Calcul des variations

Les equations de Lagrange ont la m^eme forme que les equations d'Euler introduite dans le cadre des calculs de variations.

Denition 10 (

Equation d'Euler)Soit la fonctionnelle1Iqui a toute fonctiony(x) associe

I[y] =Z

x2 x

1F(y;y0;x)dx

avecx1;x2des bornes d'integrations xees ety0=dydx . La fonctiony(x) qui rendsIextremal avec les conditionsy(x1) =y1ety(x2) =y2est donnee par l'equation d'Euler : ddx @F@y 0 @F@y = 0 (2)

1.2 Principe de moindre action

Denition 11 (Action)L'actionest la fonctionnelle des trajectoires denie par :

S[fqi(t)g] =Z

t2 t

1L(fqig;f_qig;t)dt

Principe 2 (de moindre action)Dans l'ensemble des trajectoires pos- sibles allant defq1iga l'instantt1afq2iga l'instantt2la trajectoire physique est celle dont l'action est extremale (en generale minimal). Remarque 2Il peut y avoir plusieurs trajectoires extremales. Proposition 2Le principe de moindre action est equivalent aux equations de Lagrange. La fonctionelleS[fqi(t)g] est extremale si les trajectoiresfqi(t)g satisfont l'equation d'Euler. Il sut de prendreF=L,x=tetyi(x) =qi(t) pour retrouver les equations de Lagrange.1 une fonctionnelle est une fonction de l'espace des fonctions derivable dansR 3

1.3 Theoreme des extremumms lies

Pour miniser la fonctionF(x;y) sous la contraintef(x;y) = 0 il sut de minimiser la fonction

H(x;y;) =F(x;y) +f(x;y)

avecun multiplicateur de Lagrange, ce qui revient a resoudre le systeme : 8>< :@H@x = 0,@F@x +@f@x = 0 @H@y = 0,@F@y +@f@y = 0 @H@ = 0,f(x;y) = 0

1.4 Principe de moindre action et contraintes holonomes

Proposition 3Supposons un systeme a 3Ndegres de libertes decrit par un LagrangienLet soumis akcontraintes holonomesfj(fxig;t) = 0 pour toutj= 1;:::;kest equivalent a un probleme a 3N+kdegres de libertes decrit par le Lagrangien ~L=L+X j jfj et les equations du mouvement sont donnees par : (ddt @~L@_qi @~L@q i= 0i= 1;:::;3N f j(fqig;t) = 0j= 1;:::;k Remarque 3Les multiplicateurs de Lagrangejsont des fonctions du temps et non des constantes comme dans le probleme des extremums lies.

Remarque 4Les contraintes sont donnees par :

R i=irfi

1.5 Contraintes Integrales

Pour extremaliser

Z x2 x

1F(x;y;y0)dx y(x1) =y1;y(x2) =y2)

sous la contrainte Zx2 x

1f(x;y;y0)dx=c

il sut de resoudre le probleme d'extremalisation de l'integraleG=F+f (2Rqui verie la contrainte). 4

1.6 Theoreme de Noether

Theoreme 1 (de Noether)Pour chaque symetrie continue du Lagran- gien il y a une quantite conservee. Supposons un systeme aNdegre de libertes associes aux coordonnees generaliseesqi. Le systeme est caracterise par un LagrangienL(fqig;f_qig;t) et supposons qu'il est invariant pour un changement de coordonneesqi!qi(s) qui ne depends que d'un parametre s, soit :

L(qi;_qi;t) =L(qi(s);_qi(s);t)

donc dds

L(qi(s);_qi(s);t) = 0

et le theoreme de Noether stipule que la quantite C=nX i=1@L@_qi@q i(s)@s =cst:(3) est constante. 2

Equations de Hamilton

2.1 Introduction

Denition 12 (Hamiltonien)LeHamiltonienest deni par la transfor- mation de Legendre du Lagrangien qui remplace les vitesses _qipar les im- pulsions generaliseespi=@L@_qi, soit :

H(qi;pi;t) =X

ip i_qiL(qi;_qi;t)(4)

Denition 13 (

Equations canoniques ou de Hamilton)Lesequations

canoniquesouequations de Hamiltonsont donnees par : (_qi=@H@p i_pi=@H@q i(5)

Remarque 5Supposons que

1. l' energiecin etiquene d ependspas du carr ede la vitesse 2. le p otentielne d ependpas de la vitesse alors : H=T+V et le Hamiltonien est egal a l'energie. 5

2.2 Crochets de Poisson

Denition 14 (Crochet de Poisson)Soit deux fonctionsf;gdeqi,piet det. Lecrochet de Poissonest deni par : ff;gg=X i @f@q i@g@p i@f@p i@g@q i (6)

Proposition 41.ff;gg=fg;fg

2.ff;cg= 0 sicest une constante

3.ff;qig=@f@p

ietff;pig=@f@q i

4.fpi;pjg=fqi;qjg= 0 etfqi;pjg=ij

5. @ff;gg@t =f@f@t ;gg+ff;@g@t g

6.ff1+f2;gg=ff1;gg+ff2;gg

7.ff1f2;gg=f1ff2;gg+f2ff1;gg

8. iden tited eJacobi : ff;fg;hgg+fg;ff;hgg+fh;ff;ggg= 0 Denition 15 (Integrale premiere)f(q;p;t) est uneintegrale premiere2 si et seulement si@f@t +ff;Hg= 0 et sifn'est qu'une fonction deqet depalorsf(q;p) est une integrale premiere si et seulement si ff;Hg= 0 Theoreme 2 (de Poisson)Sifetgsont des integrales premieres alors ff;ggl'est aussi. Remarque 6SiHne depends pas du temps, alorsHest une integrale premiere.

2.3 Transformation canonique et fonction generatrice

Denition 16 (Transformation canonique)Unetransformation cano- niqueest un changement de variablesQi(qi;pi;t)Pi(qi;pi;t) tel que les equations du mouvement sont encore des equations canoniques. Il s'agit donc de transformations telles qu'il existe une fonctionK(Qi;Pi;t) veriant : dP idt =@K@Q i dQ idt =@K@P i2 c'est-a-diref(q;p;t) ne varie pas en fonction du temps 6 La fonctionKest l'equivalent de l'Hamiltonien dans les nouvelles coor- donnees. D'apres le principe variationnel l'existence d'une fonctionF(qi;pi;Qi;Pi;t) veriant : X ip i_qiH(qi;pi;t) =X iP i_QiK(Qi;Pi;t) +dFdt est une condition susante surF. Proposition 5 (Transformations canoniques principales)Les quatres transformations canoniques principales sont :

1.F(qi;pi;Qi;Pi;t) =F1(qi;Qi;t) et on pose :

p i=@F1@q i P i=@F1@Q i etK=H+@F1@t

2.F(qi;pi;Qi;Pi;t) =F2(qi;Pi;t)P

iQiPiet on pose : p i=@F2@q i Q i=@F2@P i etK=H+@F2@t

3.F(qi;pi;Qi;Pi;t) =P

iqipiF3(pi;Qi;t) et on pose : q i=@F3@p i P i=@F3@Q i etK=H+@F3@t

4.F(qi;pi;Qi;Pi;t) =P

iqipiP iPiQi+F4(pi;Pi;t) et on pose : q i=@F4@p i Q i=@F4@P i etK=H+@F4@t 7

2.4 Transformation canonique et structure symplectique

Denition 17 (Matrice jacobiennne de la transformation)Posons : x= (q1;:::;qn;p1;:::;pn) y= (Q1;:::;Qn;P1;:::;Pn) et denissons la matriceMpar : M ij=@yi@x j et la matriceM1est : M

1ij=@xi@y

j Proposition 6Les relations deduites de l'existence des fonctionsF1,F2, F

3etF4s'ecrivent :

tMJM=J avec : J=0In In0 etInla matrice identite de dimensionn. Denition 18 (Matrice symplectique reelle)Une matrice est ditesym- plectique reellesi elle satisfait la condition : t MJM=J Proposition 7Une transformation est canonique si et seulement si sa ma- trice jacobienne est symplectique. Theoreme 3L'ensemble des matrice symplectique (2N2N) forme un groupe appele le groupe reel symplectique noteSP2N(R). Proposition 8SiMest une matrice symplectique reelle alorsdet(M) = 1

Proposition 9

tMJM=J,MJtM=J

2.5 Transformation canonique et crochet de Poisson

Theoreme 4Le crochet de Poisson est invariant par rapport a une trans- formation canonique. Remarque 7Il est donc possible d'utiliser le crochet de Poisson pour verer si une transformationQ(q;p;t),P(q;p;t) est canonique : fQi(q;p;t);Pj(q;p;t)g=ij 8 2.6

Equation de Hamilton-Jacobi

2.6.1 Cas general

Denition 19L'equation aux derivees partielles

H q

1;:::;qn;@f@q

1;:::;@f@q

n +@f@t = 0 (7) estl'equation d'Hamilton-Jacobi.

2.6.2Hindependant det

LorsqueHne depends pas explicitement du temps la solution peut tou- jours s'ecrire sous la forme :

S(q1;:::;qn;2;:::;n;t) =W(q1;:::;qn;1;:::;n)n+1t

et donc l'equation de Hamilton-Jacobi devient : H q

1;:::;qn;@W@q

1;:::;@W@q

n =n+1

2.6.3 Separation des variables

Denition 20 (Variable separable)Une variable est diteseparablesi on peut chercher la solution de l'equation d'Hamilton-Jacobi de la forme f(q1;:::;qn;1;:::;n;t) =f1(q1;1;:::;n;t)+f0(q2;:::;qn;1;:::;n;t) Denition 21 (Systeme completement separable)Un systeme den coordonnees est ditcompletement separablesi toutes les coordonnees du probleme sont separables. L'equation de Hamilton-Jacobi donne ensuiten equations du type : H i q j;@Sj@q j;1;:::;n;t +@Sj@t = 0

3 Espace des phases

Denition 22 (Espace de phase)L'espace a 2Ndimensions des impul- sions en fonction de leurs coordonnees conjuguees estl'espace de phase. Proposition 10Pour un systeme autonome (Hne depends pas det) l'equation des trajectoires dans l'espace de phases est donnee par :

H(q;p) =E

9 Denition 23 (Portrait de phase)Une collection d'orbites d'un systeme est unportrait de phase. Denition 24 (Variables action-angle)Pour un systeme a un degre dequotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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