[PDF] Cours de Mathématiques L1 Résumé des chapitres

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Cours de Math´ematiques L1

R´esum´e des chapitres

Hassan Emamirad

Universit´e de Poitiers

Version 2009/2010

TABLE DES MATI`ERES3

Table des mati`eres

1 Nombres complexes5

1.1 Le corpsC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Suites convergentes dansC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Equations dansC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Th´eor`eme fondamental de l"alg`ebre . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 7

1.5 Repr´esentations trigonom´etriques . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 8

1.6 R´ef´erences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10

2 Fonctions et fonctions r´eciproques11

2.1 Notions d"application et fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 11

2.2 Injection, surjection et bijection . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 12

2.3 Fonction continue et d´erivable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 13

2.4 Fonction r´eciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 14

2.5 Fonctions classiques r´eciproques . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 16

2.6 R´ef´erences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19

3 Equations diff´erentielles21

3.1 G´en´eralit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 21

3.2 Equations diff´erentielles lin´eaires du premier ordre. . . . . . . . . . . . . . 22

3.3 Equations diff´erentielles non-lin´eaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . 23

3.4 Dynamique des populations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 25

3.5 Equations diff´erentielles lin´eaires homog`enes du second ordre . . . . . . . . 27

3.6 Equations diff´erentielles lin´eaires non-homog`enesdu second ordre . . . . . . 28

3.7 R´ef´erences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30

4 Int´egration31

4.1 Fonctions int´egrables au sens de Riemann . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 31

4.2 Propri´et´es de l"int´egrale de Riemann . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 34

4TABLE DES MATI`ERES

4.3 Int´egrales de fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 36

4.4 M´ethodes de calcul des int´egrales . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 37

4.4.1 M´ethode de changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . .. . 37

4.4.2 M´ethode d"int´egration par parties . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 38

4.5 Int´egrales impropres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 40

4.6 Calcul approch´e d"int´egrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 41

4.6.1 M´ethode des rectangles : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

4.6.2 M´ethode des trap`ezes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 42

4.6.3 M´ethode du point m´edian : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42

4.6.4 M´ethode de Simpson : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.6.5 Remarques : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.7 Int´egrales des fonctions `a valeurs dansC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.8 R´ef´erences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43

Chapitre 1Nombres complexes1.1 Le corpsC

On commence par donner la d´efinition de Karl Friedrich Gauss(1777-1855) et William

Rowan Hamilton (1805-1865).

D´efinition 1.1.1

SoitCl"ensemble des couples ordonn´es(x,y), o`uxetysont r´eels, tels que pour tous

´el´ements(x,y)et(x?,y?), on a

(i)

´Egalit´e :(x,y) = (x?,y?)?x=x?,ety=y?.

(ii)Addition :(x,y) + (x?,y?) = (x+x?,y+y?). (iii)Multiplication :(x,y)(x?,y?) = (xx?-yy?,xy?+yx?). L"ensembleCs"appelle l"ensemble desnombres complexes. Il existe une identification entreR2etC, donn´ee par R

2?(x,y)?→z=x+ iy= (x,0) + (0,1)(y,0)?C,

o`u i = (0,1) est un nombre complexe tel que (i)

2= (0×0-1×1,0×1 + 1×0) = (-1,0) =-1.

Th´eor`eme 1.1.1

Les lois d"addition et multiplication des nombre complexesv´erifient les propri´et´es (1)Commutativit´e :z+z?=z?+z,z z?=z?z (2)Associativit´e :(z+z?) +z??=z+ (z?+z??)et(z z?)z??=z(z?z??). (3)Distributivit´e :z(z?+z??) =z z?+z z??.

61. Nombres complexes

D´efinition 1.1.2

On appellepartie r´eelleRezetpartie imaginaireImz, les nombres r´eelsxetytels quez=x+iy. Leconjugu´e zdez=x+iyest le complexez=x-iy.

Proposition 1.1.1

On a pour tous complexeszetz?deZ,

(a) zz?=zz?; (b)Pour tout entiern?Non a zn=zn.

Th´eor`eme 1.1.2

(1)Pour la loi de l"addition,0 = (0,0)est l"´el´ement neutre et pour chaquez= (x,y), -z= (-x,-y)est l"oppos´e dez, i.e.z+ (-z) = 0. (2)Pour la loi de la multiplication,1 = (1,0)est l"´el´ement neutre et pour chaquez= (x,y)?= (0,0),1 z= z zz=x-iyx2+y2est l"´el´ement inverse dez, i.e.z(z-1) =z z zz= 1.

On r´esume l"ensemble des propri´et´es cit´ees dans les th´eor`emes 1.1.1 et 1.1.2 en disant

queCest uncorps.

D´efinition 1.1.3

On appellemoduledez=x+iyle nombre r´eel :|z|=?

x2+y2=⎷zz

Proposition 1.1.2

On a pour tous complexeszetz?et tout entierndeZ:

(a)Le module d"un nombre complexezest la distance entre l"origine et le pointz. On peut comparer les modules|z|et|z?|de deux nombres complexeszetz?, mais pas ces nombres eux-mˆemes : il n"existe pas de relation d"ordre naturelle dansC. (b)In´egalit´es triangulaires :Pour touszetz?deC, on a : (c)|z z?|=|z||z?|; (d)??z z???=|z||z?|; (e)|zn|=|z|n;

1.2 Suites convergentes dansC

D´efinition 1.2.1

Soit{zn}n?Nune suite d"´el´ements deC. On dira que la suite{zn}n?Nestconvergente s"il existe un nombre complexez, tel que pour tout? >0, il existe un entierNassez grand tel que sin≥N, alors |zn-z|< ?.

1.3. EQUATIONS DANSC7

1.3 Equations dansC

D´efinition 1.3.1

On appelle´equation alg´ebriqueune ´equation du typePn(z) = 0, o`u P n(z) =a0zn+a1zn-1+···+an-1z+an,(1.1) o`u les coefficientsa0,a1,···,ansont des nombres r´eels ou complexes. P P

Th´eor`eme 1.3.1

SiPn(z)est le polynˆome de degr´endonn´e par a k=n!(-a)n-k k!(n-k)!(1.3) alors le nombre complexeaest racine d"ordrendePn(z). En effet d"apr`es la formule du binˆome de Newton on a :

Pour tousaetbdeCet tout entiern≥1, on a :

(a+b)n=n? k=0? n k?an-kbk o`u ?n k?est le coefficient du binˆomen! k!(n-k)! donn´e par le triangle de Pascal ci-contre.1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1 En rempla¸cantapar-aetbparzon obtient l"expression (1.1) avecakdonn´e par (1.3). Ainsi le polynˆomePn(z) = (-a+z)n= (z-a)nadmet une seule racinea, de l"ordre de multiplicit´en.

1.4 Th´eor`eme fondamental de l"alg`ebre

Sia,betcsont trois nombres r´eels et si 4ac-b2>0, alors l"´equationax2+bx+c= 0 admet deux racines dansC, donn´ees par z 1=-b

2a+ i⎷

4ac-b2

2aetz2=-b2a-i⎷

4ac-b2

2a

81. Nombres complexes

En 1799, Gauss a montr´e que chaque polynˆome `a coefficients r´eels admet au moins une racine dansC. Th´eor`eme 1.4.1 (Th´eor`eme fondamental de l"alg`ebre) Chaque polynˆome `a coefficients r´eels ou complexes admet aumoins une racine dansC.1

Corollaire 1.4.1

Chaque polynˆome `a coefficients r´eels ou complexes de degr´enadmet exactementnracines dansC(compt´ees avec leurs multiplicit´es).

1.5 Repr´esentations trigonom´etriques

Chaque couple (x,y)?R2peut ˆetre repr´esent´e soit par ses coordonn´ees cart´esiennes xety, soit par ses coordonn´ees polaires (r,θ) o`ur=? x2+y2etθ= arctanyx, six >0 et y >0. Dans la figure ci-dessous, on trouve le sch´ema d"une tellerepr´esentation. Donc un nombre complexe peut ˆetre repr´esent´e soit parz=x+iy, ou bien parz=r(cosθ+isinθ). L"angleθ, qui est l"angle entreOZetOxs"appelleargumentdez.

θz= (x,y)

xy r=|z|

Figure. 1.1

Th´eor`eme 1.5.1

Chaque nombre complexe a une repr´esentation en coordonn´ees polaires, donn´ee par z=reiθ=r(cosθ+ isinθ) (1.4) o`ur=|z|etθ= arg(z).

1Jean le Rond d"Alembert, (1717-1783) en donne une 1re d´emonstration en 1743, Gauss dans sa th`ese

en 1799 (il a 22 ans) en montre les lacunes, et donne la 1re d´emonstration compl`ete.

1.5. REPR´ESENTATIONS TRIGONOM´ETRIQUES9

La formule (1.4) a des cons´equences tr`es utiles - Par exemple on peut donner les racinesn-i`emes de l"unit´e, autrement dit, r´esoudre donne en identifiantr= 1 etθ=2kπ n. C"est-`a-dire k= e2kπi nk= 1,···,n sont lesnracines dezn-1 = 0.

´equidistante sur le cercle unit´e.

2= eiπ/2

3= e3iπ/4

4=-1

5= e5iπ/4

7= e-iπ/4

Figure. 1.2

-Formule de De Moivre (cosθ+ isinθ)n= cosnθ+ isinnθ(1.5) - Les formules e i(a±b)= eiae±ibpermettent de trouver cos(a±b) = cosacosb?sinasinbsin(a±b) = sinacosb±cosasinb. - Les formules e ia±eibpermettent d"´ecrire cosa+ cosb= 2cosa+b

2cosa-b2.

cosa-cosb=-2sina+b

2sina-b2.

sina+ sinb= 2sina+b

2cosa-b2.

101. Nombres complexes

1.6 R´ef´erences

On peut consulter tout livre de Terminales S ou :

[1]Fran¸cois LIRET, Dominique MARTINAIS,Cours de Math´ematiques, Alg`ebre

1re Ann´ee, Cours et exercices avec solutions. DUNOD 2003 [cote B.U. 512 LIR] ou ancienne

´edition (1997) [cote B.U. 512 (076) LIR] chapitre 3 [2]Philippe PILIBOSSIAN, J-Pierre LECOUTRE,Alg`ebre, rappel de cours, exercices et probl`emes r´esolus, DUNOD 1998 [cote B.U. 512(076) PIL] chapitre 3 [3]Dominique PROCHASSON,Alg`ebre 1re ann´ee, exercices corrig´es. DUNOD

1999 [cote B.U. 512 (076) PRO] chapitre 2.

Chapitre 2Fonctions et fonctions r´eciproques2.1 Notions d"application et fonctionD´efinition 2.1.1Uneapplicationfd"un ensembleEvers un ensembleFassocie `a tout ´el´ementxdeE,

un unique ´el´ementydeF. Cet ´el´ementyest alors not´ef(x)et est appel´e image dexpar

f. On appellegraphede l"applicationf, l"ensemble des couples(x,f(x))deE×Fo`ux parcourtE.

D´efinition 2.1.2

Sif:E→Fest une application, l"ensembleEs"appelle lasource(ouensemble de d´epart) defet l"ensembleFest lebut(ouensemble d"arriv´ee).

D´efinition 2.1.3

On appellerestrictiond"une applicationf:E→F`a une partieAdeE, l"application not´eef|AdeAdansF, qui `a tout ´el´ement deAassocie l"´el´ementf|A(x) =f(x)deF.

D´efinition 2.1.4

On appellefonction, toute application d"une partieDd"un ensembleC(qui sera souvent un corps) `a valeurs dansR,C(fonctions dites num´eriques) ou un espace de vecteurs (fonctions dites vectorielles). L"ensembleDest appel´edomaine de d´efinitionde la fonctionf.

D´efinition 2.1.5

Sif:E→Fetg:F→Gsont des applications, on appelle compos´ee defetget on noteg◦fl"application deEdansGqui `a toutxdeE, associe l"´el´ementg(f(x))deG. Attention `a ne pas confondreg◦fetf◦g...

122. Fonctions et fonctions r´eciproques

Th´eor`eme 2.1.1

La loi◦est associative, i.e. sif:E→F,g:F→Geth:G→Hsont des applications, alors on a :(h◦g)◦f=h◦(g◦f). Il y a plusieurs fa¸cons de d´efinir une fonction :

•En g´en´eral une fonction s"´ecrit comme compos´ee de fonctions classiques (outre les fonc-

tions que l"on les verra dans une prochaine section, l"addition, multiplication, inversion, ou puissance peuvent ˆetre consid´er´es comme des fonctions classiques).

•Par morceaux : l"ensemble de d´efinition est r´eunion de plusieurs intervalles, et on utilise

une formule particuli`ere sur chaque intervalle :

Par exemple :

1(x) six?]- ∞,a[,

f

2(x) six?[a,b],

f

3(x) six?]b,∞[

•Par disjonction de cas. Par exemple :

f(x) =???1 qsix=pqest une fraction irr´eductible

0 sixest irrationnel.

•Par int´egration.Par exemple :

f(x) =? x 0

φ(t)dt.

•Comme int´egrale d´ependant d"un param`etrePar exemple : f(x) =? 2 1

φ(t,x)dt.

•De mani`ere implicite.Par exemple,f(x) =yunique solution de l"´equation (d"inconnuey)F(x,y) = 0.

•Et de bien d"autres mani`eres encore...

2.2 Injection, surjection et bijection

Le probl`eme de la recherche dey=f(x) est (th´eoriquement) r´esolu sifest une application. Par contre, se pose le probl`eme de la recherche dexv´erifiantf(x) =yo`uy est donn´e dansF. Quand il existe, un telxest appel´eant´ec´edentdey. On distingue habituellement deux probl`emes : celui de l"existence d"aumoins un ant´ec´edent, et celui de l"unicit´e (cas o`u chaqueydeFa 0 ou 1 ant´ec´edent).

2.3. FONCTION CONTINUE ET D´ERIVABLE13

D´efinition 2.2.1

Sif:E→Fest une application,

On appelleimage defet on noteImfl"ensemble desydeFqui admettent au moins un ant´ec´edentxparf. On dit quefestsurjectivesi on a :Imf=F, c"est `a dire si pour toutydeFil existe au moins unxdeEv´erifiant :y=f(x). On dit quefestinjectivesi toute ´egalit´ef(x) =f(x?)impliquex=x?. On dit quefestbijectivesi elle est injective et surjective, c"est `a dire si tout ´el´ement ydeFadmet un et un seul ant´ec´edentxparf. Dans ce cas, on appelleapplication r´eciproquedefet on notef-1l"application deFdansEd´efinie par : pourtdansF, f -1(t)est l"uniquexdeEtel quef(x) =t. Remarquons que six=x?alors l"´egalit´ef(x) =f(x?) est ´evidente (c"est l"unicit´e de l"image dexpar l"applicationf). Dire quefest injective, c"est affirmer que la r´eciproque est vraie. Rappelons qu"il s"agit d"une implication : "si par hasardf(x) =f(x?), alorsx=x?". En passant `a la contrapos´ee, l"injectivit´e peut s"´ecrire : six?=x?alorsf(x)?=f(x?). Remarquons enfin qu"une application injectivefdeEdansFinduit une bijection f deEsur l"ensembleImf.

D´efinition 2.2.2

SiAest une partie deE, on appelleimagedeAparf, et on notef(A)l"ensemble des f(x)pourx?A. Autrement dit, un ´el´ementydeFappartient `af(A)si et seulement s"il existe au moins unxdeAtel quey=f(x). En particulier, on aImf:=f(E). SiBest une partie deF, on appelleimage r´eciproquedeBparfet on notef-1(B) l"ensemble desxdeEv´erifiant :f(x)?B.

2.3 Fonction continue et d´erivable

D´efinition 2.3.1

Soitfune fonction num´erique d´efinie sur une partieIdeR. On dira quefestcontinue au pointx?I, si et seulement si pour toute suite{xn}n?Nconvergente versx, on a lim xn→xf(xn) =f(x) et on dira quefestcontinue dansIsi elle est continue en tout point deI. On peut exhiber des fonctions discontinues en les d´efinissant par morceaux. Par exemple f(x) =???1 six≥a, -1 six < a.

142. Fonctions et fonctions r´eciproques

est une fonction d´efinie surR, mais discontinue au pointa?R. Si les limites `a droite et `a gauche de la fonction en un point existent, on notera lim a+f= limx→ax>af(x) la limite `a droiteet lim a-f= limx→axD´efinition 2.3.2 Soitfune fonction num´erique d´efinie sur une partieIdeR. On dira quefestd´erivable au pointx?I, si et seulement silimh→0f(x+h)-f(x) hexiste et on notera cette limite par : f ?(x) = limh→0f(x+h)-f(x) h. lad´eriv´eedefau pointxet on dira quefestd´erivable dansIsi elle est d´erivable en tout point deI. Une autre notation de la d´eriv´ee est df dx(x) :=f?(x).

Th´eor`eme 2.3.1

Soientfetgdeux fonctions num´eriques d´erivables f:I?→J, g:J?→K, o`uI,JetKsont trois parties deR. Soith=g◦f, alors h ?(x) =g?(f(x))f?(x), x?I .

2.4 Fonction r´eciproque

Une fonctionf:I?→J,est bijective d"un intervalleIsur un intervalleJ, si d"une part, elle est d´efinie surI, avec pour toutx?I, f(x)?Jd"autre part, toutydeJest image parfd"un et un seulxdeI. On peut alors parler de la fonction r´eciproqueg, d´efinie surJ, `a valeurs dansIet d´efinie par : six?J,y=g(x) est l"uniquey?Iv´erifiantf(y) =x. Nous aurons besoin des deux th´eor`emes suivants :

2.4. FONCTION R´ECIPROQUE15

Th´eor`eme 2.4.1 (Th´eor`eme de la bijection) Sifest continue, strictement monotone sur un intervalleI, alorsf(I)est l"intervalle donn´e dans le tableau ci-dessous, etfinduit une bijection˜fdeIsurf(I). De plus la fonction r´eciproqueg=˜f-1est continue, et strictement monotone de mˆeme sens de variation que f.

I[a,b]]a,b[[a,b[]a,b]

Sifcontinue strict.?f(I) =[f(a),f(b)]]lima+f,limb-f[[f(a),limb-f[]lima+f,f(b)] Sifcontinue strict.?f(I) =[f(b),f(a)]]limb-f,lima+f[]limb-f,f(a)][f(b),lima+f[ Dans un rep`ere orthonorm´e, le graphe de la fonction r´eciproquegest le sym´etrique du graphe de la fonctionfpar rapport `a la droitey=x(appel´ee premi`ere bissectrice). x y f -1(x) f(x)

Figure. 2.1

Th´eor`eme 2.4.2 (D´eriv´ee d"une fonction r´eciproque) Sifest continue, strictement monotone sur l"intervalleI, est d´erivable au pointa?I, l"application r´eciproqueg=f-1est d´erivable enb=f(a)si et seulement sif?(a)?= 0.

Dans ce cas, on a :

g ?(b) =1 f?(a)=1f?(g(b)).

162. Fonctions et fonctions r´eciproques

2.5 Fonctions classiques r´eciproques

•Fonctions n´ep´eriennes.La fonctionexponentielle, not´ee ex= exp(x),peut ˆetre d´efinie comme le limite de la suitesn(x) =?nk=0xk/k! . Cette fonction est d´efinie sur ]- ∞,∞[ `a valeurs dans ]0,∞[, elle v´erifie les propri´et´es suivantes : (a)limt→∞ex=∞,(b)limt→-∞ex= 0, (c)ex+y=exey(d)ex-y=ex ey(e)exy= (ex)y

La fonctionlogarithme n´ep´erien, not´ee ln, peutˆetre d´efinie comme fonction r´eciproque

de la fonction exponentielle . En effet, la fonction exp est continue, strictement crois-

sante sur ]-∞,∞[ `a valeurs dans ]0,+∞[. Donc elle induit une bijection entre ]-∞,+∞[

et ]0,+∞[. La fonction r´eciproque est continue, strictement croissante , d´efinie sur ]0,+∞[, v´erifie poura >0 etb >0, les propri´et´es suivantes : (a)limt→+∞ln(x) = +∞,(b)limt→0+lnx=-∞,(c)ln(a.b) = ln(a) + ln(b) (d)ln?a b? = ln(a)-ln(b)(e)pourr?R,ln(ar) =rln(a).

1 2 3 4 5-1-2-3

12345
-1 -2 -3 x?-→lnx x?-→ex

2.5. FONCTIONS CLASSIQUES R´ECIPROQUES17

Figure. 2.2

•Fonction Arcsinus.La fonction sinus est continue et strictement croissante sur [-π/2,π/2]. Elle induit donc

une bijection de [-π/2,π/2] sur [-1,1], dont l"application r´eciproque est not´ee arcsin.

Ainsi pour toutx?[-1,1], on a :

y= arcsinxsi et seulement six= sinyet-π Remarquons que siy= arcsinx, on a cosy≥0 donc cosy=?

1-sin2y=⎷1-x2.

Th´eor`eme 2.5.1

La fonction arcsinus est continue sur[-1,1], d´erivable sur]-1,1[, avec si|x|<1, d dxarcsinx=1⎷1-x2.

Voici la courbe de arcsin.

1-1-2 1 -1 -2π 2 xy 2

Figure. 2.3

•Fonction Arccosinus.

182. Fonctions et fonctions r´eciproques

De mˆeme la fonction cosinus est continue et strictement d´ecroissante sur [0,π]. Elle induit donc une bijection de [0,π] sur [-1,1], dont l"application r´eciproque est not´ee arccos.

Ainsi pour toutx?[-1,1], on a :

Th´eor`eme 2.5.2

La fonction arccosinus est continue sur[-1,1], d´erivable sur]-1,1[, avec si|x|<1, d dxarccosx=-1⎷1-x2.

Voici la courbe de arccos.

1-1-2 123
xy

Figure. 2.4

Proposition 2.5.1

On a pour toutx?[-1,1],

arccosx+ arcsinx=π 2.

2.6. R´EF´ERENCES19

•Fonction Arctangente.La fonction tan ´etant p´eriodique n"est pas injective, mais sa restriction `a l"intervalle ]-π

2,π2[ est continue et strictement croissante, et

lim t→-π/2tant=-∞et limt→π/2tant= +∞ On appelle fonctionarctangentel"application r´eciproque. On a y= arctanxsi et seulement six= tanyavec-π

2< y <π2

Cette fonction est d´efinie, continue, impaire et d´erivable surRavec d dxarctanx=11 +x2.

Voici la courbe de arctan.

1 2 3 4-1-2-3-4-5

1 -1 -2π 2 xy 2

Figure. 2.5

Proposition 2.5.2

On a arctanx+ arctan1 x=???π

2six >0

2six <0.

2.6 R´ef´erences

[1]Pascal DUPONTExercices de Math´ematiques pour le 1er cycle, vol. 1 : Alg`ebre et G´eom´etrie, De Boeck 2003 [cote B.U. 512/514 (076) DUP],chap. 1, par. 3-5-4. [2]D. GUININ, B. JOPPIN,Math´ematiques Analyse MPSI (ou PCSI) Br´eal 2003 [cote B.U. 517 GUI], chapitre 1 A. et E. [3]Louis JEREMY, Pierre MIMEAU, J-Claude THIENARD,Analyse 1,

VUIBERT 1997 [cote B.U. 517.5 JER], chapitre 5.

202. Fonctions et fonctions r´eciproques

Chapitre 3Equations diff´erentielles3.1 G´en´eralit´e

Une ´equation diff´erentielle est une relation entre les d´eriv´ee successives d"un fonction

inconnuey(t). Si lesnpremi`eres d´eriv´ees de la fonctiony(t) interviennent dans cette

´equation, comme

Φ(t,y,y?,y??,···,y(n)) = 0 (3.1)

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