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27 nov 2019 · cipline et les modèles d'optimisation linéaire sont très répandus La plupart des modèles présentés proviennent des notes de cours de
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l'ensemble des contraintes forment un polytope • la solution optimale se trouve sur un sommet de ce polytope Optimisation linéaire – p 11/141
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Introduction 2 Résolution graphique 3 La méthode du simplexe 4 Analyse de sensibilité 5 Dualité 6 Extensions Réf MTH8415: Optimisation linéaire
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? On a x1 = x2 = 0 ? Solution de base réalisable : {2xA + xB = 800} ? {xA + 2xB = 700} Cours - Introduction à la programmation linéaire LAAS CNRS Page
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La programmation linéaire est la théorie des syst`emes d'inégalités linéaires programme linéaire poly`edre algorithme du simplexe
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Solution optimale car :¯Ci ? 0 ?i Fin de l'algorithme Page 16 10 Sup de cours par M Manolessou- Optimisation - Linéaire
Introduction à la programmation linéaire
Informations pratiques2
Enseignant
Denis Arzelier : directeur de recherche au LAAS-CNRSContacts
Tel : 05 61 33 64 76 - email : arzelier@laas.fr
Web-page
http ://homepages.laas.fr/ ≂arzelierOrganisation du cours➊
5cours
1h15 :
06h15Cours magistral en amphi avec supports de cours
4séances TD
1h15 :
05h00Exercices d'application
2séances TP
2h45 :
5h30 Application avec support Python sous Notebook Jupyter1examen final
:1h15Durée totale = 18h00
Cours - Introduction à la programmation linéaire LAAS CNRSExemple I : problème de production3
✍Problème 1 Maximiser le profit d'un fabriquant de yaourts à la fraise A etB ✔Composition des yaourts de types A et BYaourt A
Yaourt B
Fraise
2 1 Lait 1 2 Sucre 0 1 ✔Disponibilité des matières pre- mières - Fraises : 800 kilos - Lait : 700 kilos - Sucre : 300 kilos ✔Profit par type de yaourt - Yaourt A : 4 euros/kilo - Yaourt B : 5 euros/kilos Cours - Introduction à la programmation linéaire LAAS CNRSExemple 1 : modélisation4
✔Variables de décision? (Ce que l'on doit décider)Nombres de yaourts de type A et de type B :x
A,x B ✔Objectif? (Ce que l'on doit optimiser)Profit :z= 4x
A+ 5x B ✔Contraintes? (Ce que l'on doit respecter) - Quantité maximale de fraises :2x A+x - Quantité maximale de lait :x A+ 2x - Quantité maximale de sucre :xProblème de programmation linéaire :
max xA,x B4x A + 5x B sous 2x A +x B x A + 2x B x B x A, x B ≥0 Cours - Introduction à la programmation linéaire LAAS CNRSExemple 2 : problème de transport5
✍Problème 2 Approvisionner à moindre coût différents clients à partir de différentes usines ✔Lieux de production et quantités produitesUsines (i?I)
Bordeaux
Biarritz
Toulouse
Productions (p
i) 2515 20 ✔Lieux et quantités de livraison
Clients (j?J)
PauBayonne
Bordeaux
Libourne
Demandes (d
j) 20 12 9 14 ✔Coûts de livraisonPrix/unité (c
ij) PauBayonne
Bordeaux
Libourne
Bordeaux
2619 0 4
Biarritz
12 2 20 24Toulouse
19 3024
28
✔Variablesx ij : quantité produite eniet livrée enj
Problème de PL :
min xij? i,j cijxij sous? i xij =d j, j?J j xij =p i, i?I x ij ≥0, i?I, j?J Cours - Introduction à la programmation linéaire LAAS CNRSExemple 3 : problème de planification6
Problème 3
Planifier la production d'articles à moindres coûts pour les4 prochains moisProduction maximale normale :
1200 articles / mois
Production maximale en heure sup :
400 articles / mois
Sur-coût heures sup :
7 euros / article
Stockage :
3 euros / article / mois
Demande sur les 4 prochains mois :
mois 1 mois 2 mois 3 mois 4Demandes
9001100
1700
1300
Cours - Introduction à la programmation linéaire LAAS CNRS
Exemple 3 : modélisation7
✔Variables : -x t: production normale en périodet= 1,...,4 -y t: production en heure sup en périodet= 1,...,4 -st: stock en fin de périodet= 1,...,3 ✔Objectif :Minimiser7
t=4?t=1 yt+ 3 t=3?t=1 st ✔Contraintes x1+y1= 900+s
1 s1+x 2+y2=1100+s
2 s2+x 3+y3=1700+s
3 s3+x 4+y4=1300
st≥0t= 1,...,3 Cours - Introduction à la programmation linéaire LAAS CNRSQuelques remarques historiques (I)8
✔Etude des systèmes d'inégalités linéaires par J. Fourier en1827 - Méthode d'élimination de Fourier-Motzkin - Généralise l'élimination de Gauss-JordanJ. Fourier (1768-1830)
✔Formulation d'une classe restreinte de PL + Algorithme en URSS par L.V. Kantorovich en 1939L.V. Kantorovich (1912-1986)
- Réorganisation de l'industrie du bois dans une économie centralisée - Optimisation de la production industrielle de contreplaqué - Théorie de l'utilité marginale - Co-prix Nobel d'économie en 1975 (travaux en allocation optimale de ressources)✔Minimisation du coût total de transport de biens par T.C. Koopmans en 1944 pour la British Merchant Shipping
Mission
-Exchange ratios between cargos on various routes - Co-prix Nobel d'économie en 1975 (travaux en allocation optimale de ressources) - Fondation de la recherche opérationnelleT.C. Koopmans (191O-1985)
Cours - Introduction à la programmation linéaire LAAS CNRSQuelques remarques historiques (II)9
✔Algorithme du simplexe par G. Dantzig en 1947 pour l'U.S. AirForce - Problèmes militaires de planification d'opérations et d'allocation de ressources - Algorithme dans le top 10 en 2000G. Dantzig (1914-2005)
✔Algorithme de l'ellipsoïde par L.G. Kachiyan en 1979 xk -→g k xk+1 Ek Ek+1 - Algorithme en temps polynomial - Peu efficace en pratique (degré élevé du polynôme(t)) ✔Algorithme polynomial de point intérieur par N. Karmakar en1984 - Brevet U.S. Patent 4,744,028 "Methods and apparatus for efficient resource allocation" (mai 1988), débattu au sénat U.S. - Méthodes de point intérieur pour la programmation convexe(SDP) Cours - Introduction à la programmation linéaire LAAS CNRSHypothèses fondamentales et terminologie10
minx?R n(max x?R n)f( x) =c 1x1+c2x2+...+c
nxn sousa 1,1 x1+a 1,2 x2+...+a 1,n xn=b 1 a m,1 x1+a m,2 x2+...+a m,n xn=b m am+1,1 x1+a m+1,2 x2+...+a m+1,n m+1 a m+p,1 x1+a m+p,2 x2+...+a m+p,n m+p ✔Linéarité : -Fonction objectif : f( x) =c Tx -Contraintes :X={x?R
n :h( x) =A 1x-B1= 0, g(
x) =A 2x-B 2?0} ✔Continuité :x ?R n?= PLNE = x?N n -Solution réalisable : xest une solution réalisable ssi x?XRégion réalisable :
ensemble des solutions réalisablesX Cours - Introduction à la programmation linéaire LAAS CNRSGéométrie et PL (I)11
Un ensembleCest
convexe ssi le segment de droite entre deux points quelconquesx, y? Cappartient àC ?λ?[0,1], x, y? C ?(1-λ)x+λy? C z= (1-λ)x+λy, λ?[0,1]est la combinaison convexe dexety xxxyy y ✔L'enveloppe convexecoC d'un ensembleCest l'ensemble de toutes les combinaisons convexes des points deC coC=?? iλixi:x
i? C, λ i≥0,? iλi= 1?
x? Cest un point extrême d'un ensemble convexeCsi x=λx1+ (1-λ)x 2, x 1, x2? C, λ?(0,1)?x=x
1=x 2 ♥Propriétés 1L'intersection finie de plusieurs ensembles convexes n?i=1Ciest un ensemble convexe
Cours - Introduction à la programmation linéaire LAAS CNRSGéométrie et PL (II)12
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