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Poursuivons en nous intéressant à la multiplication de trois matrices. Pour calculer le produit nous pouvons soit commencer par multiplier les deux premières
Chapitre 2 1 2.4. Produits matriciels
Produits matriciels. 1.1 Produit de matrices carrées. On a l'habitude de faire des produits de nombre;. Par exemple. 2 × 3=6.
3 Matrices `a coefficients dans un corps
Nous définissons de plus le produit ”ligne-colonne” qui permet de multiplier une matrice n lignes et p colonnes par une matrice p lignes et m colonnes. L'
MATRICES
3 sur 9. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 3) Produit d'une matrice carrée par une matrice colonne.
Généralités sur les matrices
3. kA kA. 4. A B. B A. Pour toute matrice le produit est une matrice carrée symétrique et les éléments de sa diagonale principale sont non négatifs.
Considérons les matrices `a coefficients réels : A = - ( 2 1
2) Calculer la matrice A = T32(3)D2(-2)T2
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Les matrices - Lycée dAdultes
est une matrice de 3 lignes et 4 colonnes. Définition 3 Soit M une matrice m × n. ... 3. Produit de matrices. 3.1. Produit d'une matrice par par un ...
CHAPITRE 3 MATRICES APPLICATIONS LINÉAIRES
https://webusers.imj-prg.fr/~patrick.polo/1M002/MIPI23ch3-14fev.pdf
Exercices Corrigés Matrices Exercice 1 – Considérons les matrices
Calculer s'ils ont un sens
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8 nov 2011 · Sa matrice est le produit des matrices de f et g Proposition 4 Soient EFG trois espaces vectoriels f une application linéaire de E dans F
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Dans l'introduction aux matrices nous avons écrit un système de deux équations à deux in- connues en utilisant un produit de matrices
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a) La matrice de la composée de deux applications linéaires est le produit des matrices b) L'application linéaire associée `a un produit de matrices est la
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Le produit d'une matrice A = ai j de Mnp() par un scalaire ? ? est la matrice ?ai j formée en multipliant chaque coefficient de A par ? Elle est notée ? · A
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La produit de A et B est la matrice notée A x B dont les colonnes correspondent au produit de la matrice A par chaque colonne de la matrice B Exemple : Vidéo
Comment calculer le produit de 3 matrices ?
Pour calculer le produit, nous pouvons soit commencer par multiplier les deux premières entre elles et terminer en multipliant le résultat par la troisième, soit commencer par multiplier les deux dernières entre elles et terminer en multipliant la première par ce résultat.Comment calculer le produit de deux matrices d'ordre 3 ?
1. On multiplie dans l'ordre, élément par élément, chaque élément d'une ligne de la première matrice A par chaque élément d'une colonne de la deuxième matrice B et ce, pour l'ensemble des éléments des deux matrices. 2. On effectue la somme de ces produits pour obtenir une nouvelle matrice.- Déterminant d'une matrice de dimension 3
Il suffit alors d'effectuer les produits des coefficients de chaque diagonale et d'en faire la somme si la diagonale est descendante ou la différence si la diagonale est ascendante. Ce n'est toutefois pas toujours la méthode la plus simple ou la plus rapide.
Chapitre 2
1 2.4. Produits matriciels
1.1 Produit de matrices carr´ees
On a l"habitude de faire desproduits de nombre;
Par exemple
2×3 = 6
et on est habitu´e aux propri´et´s suivantes•il n"y a pas de diviseur deO: si un produit de deux nombres est nul
c"est que l"un de ces deux nombres est nul•le produit de deux nombres est commutatif:2×3 = 3×2
et plus generalement pour tous nombresbeta a×b=b×a On va g´en´eraliser le produit de nombre auproduit des tableaux de nombres, c"est `a-dire au produit dematrices. SiB=?b1b2
b 3b4? ,A=?a1a2 a 3a4? sont deux matrices carr´ees de taille 2 (avec deux lignes et deux colonnes) on d´efinit b3×a1+b4×a3b3×a2+b4×a4?
B×Aest aussi une matrice de taille 2.
Par exemple, si
B=?6 7
8 9? ,A=?1 2 3 5? alorsB×A=?6×1 + 7×3 6×2 + 7×5
8×1 + 9×3 8×2 + 9×5?
=?27 4735 61?1
Pour les d´ebutants on dispose le calcul ainsi
1 2 3 56 7 27 47
8 9 35 61
Cette d´efinition peut ˆetre ´etendue `a n"importe quel matricen×no`un est un entier naturel (1,2,...,819...): `a la position d"indicei,jdeB×A on place le produit de lai-`eme ligne deBpar laj-`eme colonne deA. Le produit des matrices a des propri´et´es ´etranges par rapport au produit de nombres•il y a des diviseurs deO: si un produit de deux matrices est nul (toutes les composantes sont nulles) il peut arriver qu"aucune des deux matrices ne soit nulle.Par exemple SiB=?1-2
-2 4? etA=?2 4 1 2? ,2 4 1 21-2 0 0
-2 4 0 0 autrement ditB×A=?1×2 +-2×1 1×4 +-2×2
-2×2 + 4×1-2×4 + 4×2? =?0 00 0?•le produit de deux matrices n"est pas toujours commutatif:
A×B?=B×A
. Par exemple si comme tout `a l"heureA=?2 4 1 2? etB=?1-2 -2 4?1-2 -2 42 4-6 12
1 2-3 62
autrement ditA×B=?2×1 + 4× -2 2× -2 + 4×4
1×1 + 2× -2 1× -2 + 2×4?
=?-6 12 -3 6? ?=B×A=?0 0 0 0? Une premi`ere application du produit de matricesOn se donne un graphe oreint´e c"est `a dire des points num´erot´es avec des fl`eches entre eux. Par exempleFigure 1:Grapheet on construit la matrice d"adjacence du graphe•on met un 1 `a la placei,js"il y a une fl`eche partant deiet allant `aj•on met un 0 `a la placei,js"il n"y a pas de fl`eche partant deiet allant
`ajDans notre exemple:A=?
????0 1 1 0 00 0 0 1 1
0 0 0 1 0
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0?
????3On peut faire le produitA2=A×A0 1 1 0 0
0 0 0 1 1
0 0 0 1 0
0 0 0 0 0
0 0 0 1 0
0 1 1 0 0 0 0 0 2 1
0 0 0 1 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
autrement ditA 2=? ????0 0 0 2 10 0 0 1 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0?
La matriceA2compte le nombre de chemins de longueur 2 entreietj!! De mˆeme la matriceA3=A×A2compte le nombre de chemins de longueur 3 entreietj!!0 0 0 2 10 0 0 1 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 04
Autrement dit
A 3=? ????0 0 0 1 00 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0?
Il y a un seul chemin de longueur 3, entre 1et 4
1.2 Composition des applications
Mais c"est pour ´etudier la composition des applications lin´eaires que la mul- tiplication des matrices va ˆetre la plus utile. On commence par rappeler le concept de la composition de deux appli- cations. La composition dey= sin(x) =f(x) avec la fonctionz= cos(y) =g(y) est la fonctionz= cos(sin(x)) = (g◦f)(x).Figure 2:composition de fonctionsOn peut composer de la mˆeme mani`ere les applications lin´eaires. Re-
tournons `a l"exemple du d´ebut de la section 2.1. La positionx=?x1 x 2? du bateau est donn´ee par une position cod´eey=?y1 y 2? . Le code est donn´e par l"application lin´eaire y=Ax, A=?1 2 3 5? .5 On avait oubli´e un d´etail : la position du bateau est transmise `a un central `a Paris, et est cod´ee `a nouveau par l"application z=By, B=?6 7 8 9? La position du bateau re¸cue `a Paris est donn´ee par la formule z=B(Ax),comme ´etant la composition dey=Axavecz=By.Figure 3:composition d"applications lin´eairesEst-ce que l"application compos´ee est lin´eaire, et si oui quelle est sa
matrice ? Nous allons aborder cette question cruciale : (a) en utilisant la force brutale, (b) en faisant un peu de th´eorie. (a) On ´ecrit les formules composantes par composante, (1) ?z1= 6y1+ 7y2, z2= 8y1+ 9y2,(2)?y1=x1+ 2x2,
y2= 3x1+ 5x2,
puis on substitue dans (1) les formules donn´ees pour lesyidans (2), ce qui donne z1= 6(x1+ 2x2) + 7(3x1+ 5x2) = (6·1 + 7·3)x1+ (6·2 + 7·5)x2
= 27x1+ 47x2, z2= 8(x1+ 2x2) + 9(3x1+ 5x2) = (8·1 + 9·3)x1+ (8·2 + 9·5)x2
= 35x1+ 61x2,6 ce qui montre que la compos´ee est bien lin´eaire et a pour matriceBA=?6·1 + 7·3 6·2 + 7·5
8·1 + 9·3 8·2 + 9·5?
=?27 4735 61?
(b) On utilise la caract´erisation des applications lin´eaires (section 2.1) pour prouver que l"applicationT(x) =B(Ax) est lin´eaire. On a :T(v+w) =B(A(v+w)) =B(Av+Aw)
=B(Av) +B(Aw) =T(v) +T(w)T(kv) =B(A(kv)) =B(kAv)
=kB(Av) =kT(v). Maintegnt que l"on sait queTest lin´eaire, il nous suffit pour trouver sa matrice de calculerT(e1) etT(e2), de sorte que la matrice deTest la matrice?T(e1)T(e2)?.On a :
T(e1) =B(Ae1) =B(de la premi`ere colonne de A)
=?6 7 8 9?? 1 3? =?27 35?T(e2) =B(Ae2) =B(de la deuxi`eme colonne de A)
=?6 7 8 9?? 2 5? =?47quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2[PDF] nombre relatif multiplication et division
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